Уравнение вековое 341 —Определение

Уравнение вековое 341 —Определение резонансных частот 341 [c.560]

Уравнением для определения главных напряжепий служит определитель (1.15). Если его раскрыть и расположить слагаемые по степеням сг, то получим кубическое уравнение, которое называют вековым [c.26]

Следуя Лагранжу, назовем функцин, удовлетворяющие этим уравнениям, вековыми возмущениями элементов Пуанкаре r]s, Ps, Qs, и поставим своей задачей приближенное определение этих функций по способу Ляпунова — Пуанкаре. [c.720]

Н, Я, g, д, к, К. Если в (1) вместо Р подставить [/ ], то получим дифференциальные уравнения для определения вековых возмущений. Так как [/ 1 не зависит от г и г, то дифференциальные уравнения для Ь я V будут иметь вид [c.267]

Дифференциальные уравнения для определения вековых возмущений эксцентриситетов и перигелиев согласно (3) 6 имеют следующую Форму [c.314]

Все корни Г[ векового уравнения — действительные числа. Если обе формы, приводимые к сумме квадратов, являются положительно определенными, как в рассматриваемом случае, то все числа Г положительны. Это доказывается в линейной алгебре, но можно установить и непосредственно — в противном случае форма (47) не была бы положительна в малой окрестности начала координат, а это свойство должно сохраняться при преобразованиях координат (45). [c.237]

Большие периоды полураспадов (несколько дней и больше) измерить непосредственно очень трудно, а очень большие — невозможно, потому что точное определение периода должно длиться время, равное нескольким периодам. В этом случае период полураспада может быть определен методом абсолютного счета частиц, испускаемых известным количеством исследуемого препарата или при помощи векового уравнения (см. ниже). [c.104]

Докажем теперь, что из симметричности матриц А и С и аз положительной определенности матрицы А следует, что вековое уравнение (13) [или (19)] имеет только вещественные корни. [c.237]

В заключение отметим, что для консервативной системы В = II bik if = О, а Л = II а,- If и С —1 с,- )f — симметрические положительно определенные матрицы. Вековое уравнение det (А[х -j- С) = О переходит в уравнение det (С — ХЛ) = О из 40, если положить — i = Y — 1). Но, как было показано в 40, уравнение det (С — ХЛ) = 0 имеет только положительные и вещественные корни. Поэтому уравнение (П) в случае консервативной системы имеет чисто мнимые корни. [c.262]

В рассматриваемом случае можно установить простые формулы для оценки корней векового уравнения. Будем снова искать решение вида ие . Для определения столбца и получаем уравнение [см. стр. 261] [c.263]

Аналогичную процедуру можно применить и в случае корня более высокой кратности. Пусть, например, Х будет т-кратным корнем векового уравнения. В этом случае нам нужно будет получить m ортогональных и нормированных собственных векторов fli, . т- Для этого достаточно взять т любых собственных векторов а[,. .а и образовать из них соответствующие линейные комбинации. Вектор можно получить тогда, умножая а[ на соответствующий коэффициент. После этого можно образовать вектор й2, составляя линейную комбинацию векторов а[ и с, и т. д. Число постоянных, подлежащих при этом определению, будет равно сумме m первых целых чисел, т. е. у m (т + 1). Но так как эти постоянные должны удовлетворять m условиям нормирования и — т(т — 1) условиям ортогональности, то в общей сложности у нас получится ровно столько условий, сколько нужно иметь для определения всех этих постоянных. [c.358]

Уравнения п. 18 не содержат в себе никаких иных функций времени, кроме частных дифференциалов функции П поэтому, когда определяют ту часть А функции Q, которая не зависит от времени t и содержит только произвольные постоянные а,Ь,с,. . путем разложения в ряды или каким-либо иным способом, то достаточно в этих уравнениях поставить А вместо Д, и тогда мы прямо получим уравнения между величинами а,Ь,с,..., которые стали переменными, и временем t эти уравнения послужат для определения их вековых изменений, так как они совершенно свободны от всяких синусов и косинусов. [c.432]

Для определения вековых возмущений необходимо лишь вместо Q подставить непериодическую часть этой функции, т. е. первый член разложения О в ряды синусов и косинусов углов, зависящих от средних движений возмущаемой и возмущающих планет. Действительно, так как 9 является только функцией эллиптических координат этих планет, которые всегда —по крайней мере в том случае, когда эксцентриситеты и наклонения незначительны — могут быть разложены в ряды синусов и косинусов углов, пропорциональных аномалиям и средним долготам, то функцию 9 можно разложить в ряд подобного же вида, и тогда первый член, не содержащий синуса и косинуса, будет единственным, который может дать вековые уравнения. [c.114]

Приведенному методу трудно следовать, если вековое уравнение (101.7) имеет кратные корни кроме того, мы достигаем значительно более глубокого проникновения в математическую структуру проблемы, представленной уравнениями (101.4) и (101.5), начиная с начала и используя геометрию пространства Q. Предполагаем, что кинетическая энергия — положительно определенная функция (что и имеет место в случае всех естественных систем) тогда квадратичная форма [c.359]

Как было показано в предыдущем параграфе, динамическая работа фундамента турбогенератора описывается системами со многими степенями свободы, требующими вычисления высших частот колебаний. В ряде случаев необходимо выяснить формы колебаний, что можно сделать, зная лишь точные значения частот. Поэтому наиболее целесообразно решать эту задачу при помощи разложения в ряд векового уравнения движения материальных точек, позволяющего найти весь спектр частот собственных колебаний. Ранее практиковавшиеся способы расчета Л. 20, 21 и 29] не давали обобщенного решения, пригодного для определения колебаний в любом направлении. Ниже дан обобщенный способ решения. Следует заметить также, что применение уточненных схем и точной методики расчета позволяет отказаться от так называемых условных значений частот собственных колебаний, благодаря чему отпадает условность расчетной методики. [c.109]

Определение частот собственных колебаний системы из векового уравнения [c.39]

Рассмотрим алгоритм решения этих задач по МГЭ. Следует отметить, что проблема определения частот собственных колебаний упругих систем продолжает оставаться актуальной задачей. Связано это с недостатками существующих методов. Так, методы сил и перемещений позволяют определять точный спектр частот собственных колебаний (в рамках допущений, принятых при выводе дифференциальных уравнений колебаний), но частотные уравнения этих методов содержат точки разрывов 2-го рода [307]. Возможно также появление фиктивных и пропуск действительных частот вследствие замены заданной расчетной схемы на основную схему [26]. В МКЭ частоты определяются из векового уравнения [184], где спектр частот во-первых ограничен, во-вторых неточен из-за замены системы с бесконечным числом степеней свободы на систему с конечным числом степеней свободы. Аналогичные недостатки имеются и у других методов. [c.124]

Для определения величин главных напряжений служит кубическое уравнение, которое называется вековым [c.25]

Для определения вековой эволюции соз в получим следующее уравнение [c.298]

Бесконечная система (2.9) и (2.10) и должна служить для определения с, с, йр а ,. .. Приравнивая её определитель нулю, мы получим то, что мы ставили себе целью получить — вековое уравнение, связывающее при данных сор 0)3, и Г2 величины р и X (вернее X и X = р/у). [c.665]

Определение 3 — 367 - резонансная 3 — 362 — Определение по вековому уравнению 3 — 341 -- резонансная систем с сосредоточенными массами 3 — 341 Частота собственных колебаний — Определение 3 — 343, 344, 360, 383 [c.493]

Наконец, определим Ьх, Ьу, ЬХ, ЬУ при помощи уравнений (15) в правых частях все известно, за исключением постоянной Ьс. Распорядимся этой постоянной таким образом, чтобы исчезли вековые члены, которые на этот раз сами по себе не равны нулю. Таким образом, определение наших неизвестных завершено. [c.547]

Для каждого положительного или отрицательного корня уравнения (6) служат для определения отношений постоянных Ы, Р,. .. к постоянной М отметим, что все эти отношения являются также вещественными. Если все корни векового уравнения положительны, то уравнения (5) дают полное движение с 2п произвольными постоянными Мх, М.2, Мз,. .., и ех, 83,. .., 8 . Они определяются начальными значениями 0, ф,. .., 0, ф, . .. [c.400]

Равные корни векового уравнения. Когда некоторые из корней уравнения, служащего для определения равны, то из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что или 1) в выражениях для 0, ф,. .. появляются члены вида At - --f В) sin pt, или 2) в этих выражениях имеется неопределенность в коэффициентах М, N,. .., определяемых на основе п. 455. Относя систему к главным координатам, принимающим нулевые значения в положении равновесия, на основе результатов п. 460 видим, что, вообще говоря, первое предположение исключается. Если два значения равны, скажем Ьц и >22. то тригонометрические выражения для и т] имеют равные периоды, однако они не включают членов, содержащих i в качестве множителя. Физическая особенность этого случая состоит в том, что система имеет более одной совокупности главных или гармонических колебаний. Так, очевидно, что, не вводя в выражения для Г или U каких-либо членов, содержащих произведения координат, можно заменить I, r на какие-либо другие координаты t]i, для которых -f т 2 = r J, При этом остальные координаты. .. остаются без изменения. Например, можно положить = х os а -f т х sin а и I1 = Il sin а — 1 1 os а, где а имеет любое желаемое значение. Очевидно, что эти новые координаты х. > 1х, являются главными координатами в соответствии с определением в п. 459. [c.409]

В нашу задачу не входит получение подробных выражений для малых колебаний эллипсоидов Якоби, обладающих вековой, а поэтому и обыкновенной устойчивостью. Нам необходимо только рассмотреть вопрос о том, сохраняют ли они обыкновенную устойчивость за конфигурацией, в которой впервые исчезает вековая устойчивость. По определению предполагается, что при обыкновенной устойчивости все корни по А должны быть вещественными, потому что если бы хоть один корень был мнимый или комплексный, то существовало бы движение, в котором смещение (в первом порядке малости) возрастало бы до бесконечности. Кроме того, в данном случае невозможно, чтобы движение, зависящее от такого члена, как возникало в отсутствии члена Для каждого решения уравнений (5) здесь существует соответствующее решение, симметричное относительно ж -плоскости, но с измененным знаком Л, поскольку вид уравнений сохраняется, если изменяются [c.198]

Итак, для определения главных компонент тензоров деформаций следует составить в данной системе координат вековое уравнение (5.32) с коэффициентами (5.33) и найти его корни. [c.74]

Фундаментальное уравнение для определения величин gi и Ои по которым находятся средние движения перигелпев и узлов, является алгебраическим уравнением относительно g п а п-й степени, где п — число планет. Это алгебраическое уравнение дается в форме определителя с п элементами. Если этот определитель раскрыть обычным образом, то получим сумму п членов, где каждый член состоит из п сомножителей. Если число планет велико, то вычислительная работа, необходимая для раскрытия определителя, очень большая. Еслп вычислять вековые возмущения восьми больших планет ) планетной системы, то таким образом получили бы 8 = 40320 членов, каждый из которых состоит из восьми сомножителей. А так как некоторые из элементов определителя, а именно те, которые стоят на главной диагонали, состоят из двух слагаемых, то указанное число возрастет еще более, — вдвое, как отмечал Стокуелл. Уже только численные расчеты для этого уравнения с трудом можно было бы преодолеть в течение одной человеческой жизни (Стокуелл). [c.297]

Случай дифференциального уравнения е четной функцией Т(х) аналогичен интегрированию уравнения (11.280а). Надо лишь помнить, что в тех случаях, когда функция F х) характеризует влияние сил сопротивления, ее знак всегда совпадает со знаком скорости х ). Случай нечетной функции F x), содержащей член 2hx, проще. Здесь не приходится подбирать коэффициент С так, чтобы исчезли вековые члены. Поэтому отпадает необходимость определения частоты р. [c.301]

Вековое уравнение широко используется для определения периодов полураспада долгоживущих радиоактивных веществ. Этим уравнением можно пользоваться при сравнении двух взаимно превращающихся веществ, из которых второе имеет много меньший период полураспада, чем лервое Т С T l) при условии, что это сравнение производится в момент времени (Т г С [c.109]

Если на движение Земли влияют несколько тел, то потенциал при-тяжекия, зависящий от каждого из них, вычисляется тем же способом. Так как речь идет об отдаленных телах, то вместо потенциала (lOl ) надо подставить сумму стольких аналогичных членов, сколько имеется тел, создающих потенциал для такой суммы также будут иметь место высказанные выше заключения, относящиеся к интегрированию дифференциальных уравнений движения Земли вокруг центра тяжести, в частности, и то заключение, что для определения вековых действий мы приходим к квадратурам. [c.323]

Графический способ определения частот собственных колебаний представляет 0П ре1делеиный интерес. Однако в том виде, как он дан у Рауша, этот способ, с нашей точки зрения, недостаточно эффективен, так как частоты собственных колебаний системы с двумя степенями свободы значительно проще и точнее можно определить (путем раскрытая определителя векового уравнения (см. 3-3). Способ, предложенный Раушем, может стать эффективным только в том случае, если его распространить на системы со многими степенями свободы. [c.202]

Нетривиальное решение системы уравнений существует при условии равенства нулю ее детерАгинанта. Из этого условия вытекает се-кулярное (вековое) алгебраическое уравнение -й степени иоЕ, имеющее решение только при определенных значениях энергии Ei, Ео, - Еп- Наименьший из корней секулярного уравнения является наилучши.м приближением к энергии основного состояния системы при заданном базисе функций ф . Остальные корни интерпретируются как приближенные энергетические уровни возбунчденных состояний системы. [c.133]

Теория механических колебаний обязана А. Н. Крылову решением задач вибрации судов, разрабсткой методов определения критических скоростей валов и методов решения векового уравнения (уравнения частот). [c.278]

Ограничиваясь лишь определением вековых возмущений, мы заме--ним правые части этих уравнени й их средними значениями за один [c.600]

Из рассмотренных выше примеров (задачи 161 и 163) видно, что определение частоты а уже для системы с двумя точечными массами связано с трудоемким составлением и решением уравнения четвертой степени. Для системы с тремя массами мы получим уравнение шестой степени, и вообще для системы с п тeпeня щ свободы вековое уравнение оказывается 2п-го порядка. [c.556]

X. у. пстречаются в самых ра.чпообраапых областях математики, механики, физики, техники. В астрономии нри определении вековых, возмущений планет также приходят к X. у. отсюда и второе название для X. у. — вековое уравнение. [c.373]

Вековое уравнение (2,38), из которого находятся частоты нормальных колебаний, имеет поряаок 3/V, где N—число атомов, образующих молекулу. Поэтому даже в случае небольшого числа атомов N решение векового уравнения представляет нелегкую задачу. Если, однако, молекула обладает симметрией, то известными свойствамн симметрии обладают также ft нормальные колебания и колебательные собственные функции, а это приводит к существенному упрощению решения задача об определении нормальных колебаний. Поэтому в настоящем разделе мы рассмотрим Boii TBa симметрии нормальных колебаний и колебательных собственных функци . [c.95]

Для определения по значениям силовых постоянных частот колебаний, а также формы нормальных колебаний в тех случаях, когда послэдние не опре-де.тяются одними лишь свойствами симметрии, необходимо решить вековое уравнение (2,11) или (2,38). Разумеется, в действительности силовые постоянные, вообще говоря, неизвестны, однако значения частот нормальных колебаний получаются опытным путем из спектров. Поэтому соотношения между силовыми постоянными и частотами, получаемые из векового уравнения, могут быть применены для определения силовых постоянных или, иначе говоря, для нахождения вида потенциальной функции молекулы в зависимости от наблюденных частот. В самом деле, определение сил, удерживающих атомы в молекуле в равновесном положении, является одной из основных задач при изучении колебательной структуры спектров многоатомных молекул. [c.159]

Определение или вычисление этих членов и составляет элементарную теорию вековых возмуще1шй, которой обычно и довольствуются на практике. Однако не представляет принципиальных затруднений получить второе и следующие приближения в способе Пикара. Возвращаясь для этого к уравнениям [c.717]

Уравнение (43.16) называется характеристическим или векошм уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение сте пени 5 относительно ш и в общем случае имеет 5 различных вещественных и положительных корней (а = 1,2,. .., ). Определенные таким образом величины называют собственными частотами системы. В частных случаях некоторые из корней векового уравнения могут совпадать. Совпадающие собственные частоты со называются вырожденными. Если у системы имеются две совпадающие частоты со = (о = (о, то колебание с частотой а называется дважды вырожденным могут быть и трехкратно вырожденные собствен ные частоты. Вырождение собственных колебаний механической системы всегда связано с наличием определенной симметрии ее равновесной конфигурации. [c.239]

Уравнение для энергии движения есть Т+V = onst. По для исследования вековой устойчивости требуется вычислить только V, поскольку Т положительна по определению. Если V также является существенно положительной, то ни одна из координат не может превысить того малого значения, установленного энергией начального возмущения . [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...