Еще один случай колебаний

ЕЩЕ ОДИН СЛУЧАЙ КОЛЕБАНИЙ [c.173]

При обсуждении принципа цикличности в начале 228 было выяснено, что изменение того или иного параметра волны на протяжении цикла означает периодическую модуляцию излучения, выходящего из резонатора. Пользуясь представлением о типах колебаний, этот факт можно интерпретировать следующим образом в резонаторе возбуждается не один тип колебаний, а несколько (два, три и т. д.) с различными собственными частотами, и модуляция поля в целом происходит с периодами, определяемыми разностями собственных частот возбужденных типов колебаний. Периодичность модуляции полного поля означает, что его спектр содержит дискретный набор частот. Поэтому собственные частоты резонаторов не могут принимать непрерывный ряд значений и должны быть дискретны, в чем мы убедились на примерах резонаторов с плоскими и сферическими зеркалами. Интересный и практически важный случай одновременного возбуждения многих типов колебаний будет рассмотрен в 230. [c.810]

Другие интегралы зависят от природы дифференциальных уравнений каждой задачи, и нет возможности дать общее правило для их нахождения. Есть, однако, один случай, имеющий весьма обширное применение, который всегда поддается полному решению в конечных выражениях а именно — это тот случай, когда система совершает лишь очень малые колебания около своего положения равновесия. Ввиду важности этой задачи мы ей посвятим особый отдел. [c.410]

О применимости изложенных результатов при наличии дополнительных силовых воздействий на частицу и при движении частицы по неподвижной поверхности под действием гармонической силы постоянного направления. При изучении вибрационных устройств приходится иметь дело со случаем, когда частица движется по вибрирующей поверхности при наличии поля центробежных, электрических, магнитных сил, а также под воздействием потока жидкости или газа [6]. Все изложенные ранее результаты применимы к случаю, когда на находящуюся на вибрирующей поверхности частицу, кроме силы тяжести mg, действует некоторая дополнительная сила L, зависящая от координат частицы, но пренебрежимо мало изменяющаяся на расстояниях порядка смещений частицы за один период колебаний (рис. 15, а). В этом случае силу L при решении уравнений (1) и (2) можно положить постоянной [c.34]

В 35 мы предполагали величину силы сопротивления пропорциональной скорости движущейся точки. В случае сопротивления воздуха или жидкости такое предположение (при малых скоростях движения) вполне приемлемо. Мы укажем здесь еще один случай сопротивления, вызывающего затухание колебаний системы, в котором величину сопротивления также можно считать пропорциональной скорости. [c.387]

Один случай сложения гармонических колебаний заслуживает особого рассмотрения, именно, случай, когда разность периодов мала. Если мы будем следить за положением вещей в течение интервала времени, охватывающего лишь несколько периодов, мы увидим, что оба колебания почти одинаковы, как если бы их периоды были абсолютно равны в последнем случае они были [c.42]

Действительные струны и проволоки не являются идеально гибкими. Они оказывают некоторое сопротивление сгибанию это сопротивление можно разделить на две части, дающие различный эффект. Первая часть сопротивления называется вязкостью и обнаруживается в затухании колебаний. Эта часть не влияет чувствительно на периоды колебаний. Вторая часть имеет консервативный характер и увеличивает потенциальную энергию, тем самым укорачивая периоды. Полное исследование вопроса здесь не представляется уместным, но один случай, который наиболее интересен в приложении к музыкальным инструментам, допускает сравнительно простую трактовку. [c.229]

Случаю k = 1 соответствует основной тон колебаний, а случаям k = 2, 3,. .. соответствуют обертона. Если один конец неподвижен, а второй свободен, то [c.83]

Заслуживает внимания еще один аспект оптико-механической аналогии. В заданной области пространства могут распространяться световые колебания различных частот. Может случиться так, что коэффициент преломления п зависит от частоты. Это явление называется дисперсией . При наличии дисперсии первоначальный волновой фронт оптических приборах это явление называется хроматической аберрацией . Явлению дисперсии в оптике тоже может быть предложена соответствующая механическая аналогия. Механические траектории, начинающиеся перпендикулярно базисной поверхности S = О, могут несколько различаться по своей полной энергии Е. Это происходит, например, в электронном микроскопе, где тепловое движение электронов вызывает небольшой разброс значений их полной начальной энергии Е. Это приводит к дисперсии и к небольшой хроматической аберрации в картине, получаемой с помощью электронного микроскопа. [c.312]

Если тот же импульс будет распределен на конечный промежуток времени, то амплитуда последующего колебания будет меньше при условии, что сила всегда имеег Один и тот же знак. Чтобы показать это, мы можем взять случай [c.38]

Пример 9.1 . Связанные системы. Пусть на стене висят двое маятниковых часов. Приведем один из маятников в колебание с амплитудой а. Тогда может случиться, что спустя некоторое время амплитуда колебаний этого маятника уменьшится почти до нуля, а второй маятник придет в колебание с амплитудой а. Спустя еще период времени второй маятник остановится, а первый придет в колебание с первоначальной амплитудой а. Таким образом, колебание будет поочередно передаваться от одного маятника к другому. Аналогичное явление происходит в рассматриваемом ниже примере. [c.148]

Исследованию связанных колебаний в неавтономных автоколебательных системах посвящено много работ [1, 2] и др. В этих работах не учитывается динамическое взаимодействие источника энергии и колебательной системы. Связанные колебания в системе с ограниченным возбуждением рассмотрены в [3, 4]. Система, изученная в этих работах, характеризуется тем, что автоколебательный механизм возбуждения колебаний и периодическое воздействие зависят от свойств одного и того же источника энергии (автономная система), обеспечивающего функционирование системы. Следует отметить, что интересным является также случай, когда имеет место независимость этих двух механизмов возбуждения колебаний от свойств одного и того же источника энергии. В данном случае автоколебательная система с источником энергии оказывается под воздействием периодической силы, явно зависящей от времени, и уравнения, описывающие эту систему, являются неавтономными. Заметим, что подобную систему условно можно называть системой, взаимодействующей с двумя источниками энергии, в которой один из источников является неидеальным, другой — идеальным. Действительно, если периодическая сила генерировалась бы некоторым вторым источником энергии, имеющим ограниченную мощность, то такое название было бы вполне адекватным. Тогда колебания, происходящие в указанной системе, оказались бы зависящими также от свойств источника, генерирующего периодическую силу, и система, превращаясь в автономную, описывалась бы тремя уравнениями вместо двух. Чтобы не усложнять задачу, на данном этане мы моделировали неавтономную систему, описываемую уравнениями [c.34]

Во многих случаях на практике опоры вала (стойки, а иногда и подшипники) обладают достаточно большой податливостью, сравнимой с податливостью (гибкостью) самого вала. В некоторых случаях податливость вала такова, что его вместе с прикрепленными к нему деталями можно рассматривать как абсолютно твердое тело. Это один из крайних случаев — вращающееся абсолютно твердое тело на эластичной подвеске. К такого рода системам приходят обычно при рассмотрении задачи об уравновешивании ротора на балансировочных машинах. При этом центр массы может занимать произвольное положение по отношению к центру упругого сопротивления системы подвески, т. е. по отношению к центру упругой подвески . Здесь же рассмотрим симметричный случай, т. е. такой, когда опоры по своим упругим свойствам одинаковы и центр массы расположен симметрично между опорами. Однако сделаем предположение, что упругие свойства опоры не одинаковы в двух направлениях, взятых в плоскости, перпендикулярной к оси вала, а кроме того, учтем гироскопическое действие массы при косых колебаниях , т. е. при колебаниях, сопровождающихся поворотами диска. [c.130]

Это есть уравнение эллипса. Таким образом, сложное движение, возникающее при сложении двух простых гармонических колебаний, представляет собой в общем случае движение по эллипсу. Интересен один частный случай. Предположим, что амплитуды обеих составляющих одинаковы, т. е. а = , и что разность фаз а я/2. Тогда [c.19]

Вспоминаю еще один любопытный случай, тоже связанный с вибрационной техникой, но уже прецизионной. Как-то мы с Иваном Ивановичем посетили ряд научных лабораторий в Вильнюсе и Каунасе. И он заинтересовал-, ся вот чем. Как известно, если, например, в магнитофоне подать колебания высокой частоты на пьезоэлектрические преобразователи, то можно с их помощью очень плавно перемещать пленку. Звук при этом не плывет, нет никаких трущихся частей, нет подшипников. Словом, речь шла о новой, очень нужной идее. И ситуация была традиционной для нового одни не вполне понимали суть этой разработки, а другие сомневались, стоит ли вообще браться за нее, так как нужна очень высокая точность [c.29]

Амплитуда момента в плоскости первого цилиндра условно направлена вверх. Рабочие процессы в третьем и первом цилиндрах сдвинуты один относительно другого по фазе на 90 , поэтому относительная амплитуда момента направлена под углом 90-0,5 = 45° к амплитуде, первого цилиндра амплитуду в плоскости седьмого цилиндра — под углом 180-0,5= =90 и т. д. Такое же направление будут иметь вектора гармоник 4 /а> 8 /г, I2,. .., (4 + /а)-го порядков. Для З /., 7 /г. И /а. -, (4п — /г)-го порядков расположение векторов моментов будет в виде зеркального изображения рассмотренного случая. При геометрическом суммировании относительных амплитуд из формы колебаний для обеих групп гармоник фазовые диаграммы совпадают. Аналогично изложенному построены в [c.377]

При выводе приведенных экологических соотношений рассматривали самый общий случай разные участки, разные хищники и жертвы. В частных случаях могут быть рассмотрены и один хищник, и один вид жертвы, и один участок. Принципиально в экологических соотношениях ничего не изменится, но отдельные параметрические соотношения будут равны единице. Экологические соотношения прежде всего должны давать качественные характеристики системы, и незначительные числовые колебания взятых нами некоторых ориентировочных исходных данных существенно не повлияют на общую качественную оценку. [c.259]

Из фиг. 4, б видно, что при отсутствии затухания точка пересечения кривых Zq и Zqq между собой определяет расстояние центра тяжести ротора от левой опоры, когда образуется один общий узел колебания, для двух плоскостей уравновешивания, что соответствует случаю полной потери чувствительности машины. Следует отметить, что при наличии затухания, хотя и не образуется общий узел колебания, но нулевые точки линий динамического влияния для и находятся в непосредственной близости к оси х благодаря чему и в этом случае практически имеет место почти полная потеря чувствительности машины. [c.60]

Если исходная информация о нелинейных диссипативных силах базируется на экспериментальных данных, полученных в режиме моногармонических колебаний, то при использовании этой информации для анализа других режимов требуются некоторые коррективы. Наиболее часто встречается случай, когда имеет место наложение двух колебательных процессов, из которых один (с частотой О) существенным образом зависит от диссипативных факторов, а другой (с частотой со) от них практически не зависит. Подобный случай наблюдается, например, в нерезонансных зонах моногармонических вынужденных колебаний, которым сопутствуют достаточно интенсивные свободные колебания при резонансе на определенной гармонике возбуждения и одновременном воздействии достаточно интенсивного возбуждения другой частоты при совместных параметрических и вынужденных колебаниях и в ряде других случаев. [c.148]

Ситуация, когда в среднем за период энергия не проникает во второе полупространство, была названа полным внутренним отражением . Однако мгновенная составляющая потока мощности во второе полупространство отлична от нуля и периодически с периодом Т = л/(й изменяет свое направление. В один и тот же момент времени в различных точках границы энергия входит во вторую среду и выходит из нее Чем дальше от границы, тем менее интенсивны колебания частиц второй среды. Отождествляя термины луч и вектор Умова Р , можно сказать, что в этом случае луч, попадая во вторую среду, изгибается и возвращается в первую. Для оптического случая явление полного внутреннего отражения исследовалось экспериментально в тонких опытах Мандельштама [87] и Вуда 27]. Обзор современного состояния вопроса приведен в работе 215]. [c.62]

Колебания упругого твердого тела, все размеры которого одного порядка, представляют собой, с точки зрения наших настоящих задач, второстепенный интерес. Единственным случаем, который был рассмотрен, является случай сферы. Наиболее важное колебание—это то, когда один из диаметров растягивается и сжимается, в то время как перпендикулярные к нему диаметры соответственно сжимаются и растягиваются. Частота таких нормальных колебаний для обычно встречающихся значений а приближенно равна [c.202]

ПЛОСКОЙ границы, то амплитуда колебаний среды в каждой точке удваивается вследствие отражения, которое можно рассматривать как излучение от мнимого источника Р ( 73) интенсивность в этом случае увеличивается вчетверо, а излученная энергия, следовательно, удваивается по сравнению со случаем, когда тот же источник находится один в свободном пространстве. [c.286]

До сих пор мы говорили о линейных колебаниях, о неустойчивости к малым возмущениям. Лишь разговор о волнах был более общим. Один из классиков современной науки о колебаниях академик А. А. Андронов, говоря о линейном мире, мире, где господствует принцип суперпозиции, восклицал Это дико частный случай Наш мир нелинеен, наш мир — мир нелинейных систем. [c.29]

Определяя из опытной кривой затухающего колебания величину Л, по формуле (17.111) находим С и, далее, / = Логарифмический декремент колебаний характеризует затухание з а один период колебаний, но не за единицу времени. Поэтому может случиться при сопоставлении двух затухающих колебаний, что в первом из них логарифмический декремент колебаний больще, чем во втором, но время для затухания до амплитуд, составляющих определенный процент от одинаковых начальных амплитуд в первом колебательном процессе получится большим, нежели во втором. На рис. 17.46 представлены два таких случая. Действительно, отношение двух со- [c.100]

Силы демпфирования в конструкции, вызываюпдае затухание свободных колебаний, могут иметь различное происхождение трение между поверхностями скольжения, сопротивление среды, внутреннее трение, обусловленное несовершенной упругостью материала, и т.д. Простейшим, с математической точки зрения, является случай, в котором демпфирующая сила пропорциональна скорости (так называемое вязкое демпфирование). Поэтому силы сопротивления, имеющие более сложную природу, при исследовании заменяют эквивалентпъш вязким демпфированием. Последнее определяется из условия, чтобы за один цикл колебаний при действии вязких сил рассеивалось столько же энергии, сколько и при действии реальных сил. Из этих соображений определяется соотношение между коэффициентом конструкционного демпфирования G и эквивалентпъш коэффициентом вязкого демпфирования С. [c.301]

Формы колебаний лопаток разделяются на группы. К первой группе относятсч формы колебаний, в которых сама лопатка имеет один узел колебаний в задельг (рис. 20, а). Ко второй группе относятся колебания, при которых лопатка имеет дв узла колебаний (рис. 20, б), и т. д. Случай иг = О соответствует синфазным колебаниям. При нечетном числе лопаток только частота синфазной формы колебаний некратная. Остальным частотам в каждой группе соответствуют две линейно-независимые формы. При четном числе лопаток существует еще одна некратная частота, [c.252]

Важной характеристикой О. р. является его добротность. Принято различать собственную и н а-груженную добротности О. р. Собственная добротность характеризуется отношением колебат. энергии О. р. к его внутр. потерям энергии (складывающимся из потерь, связанных с коночной проводимостью стенок, и диэлектрич. потерь в полости) за один период колебаний. При нагруженной добротности к внутр. потерям прибавляются потери энергии за счет связи с внешними цепями. Собственная добротность О. р. в общем случав пропорциональна отношению его объема V к площади его внутр. поверхности Q= 2V SЬ, где б — толщина скин-слоя (см. Поверхностный эффект). В случае пря.мо-угольного О. р. для колебаний типа ТЕцц имеем [c.479]

Пусть кристалл образован одинаковыми атомалш сорта А, смещенными в результате статических искажений решетки на векторы Us (с компонентами 11 где / = 1, 2, 3) от нериодическн правильно расположенных узлов (номер узла 5 пробегает значения от 1 до А). Для простоты ограничимся случаем примитивных решеток, т. е. имеющих один атом на элементарную ячейку, п не будем принимать во внимание тепловые колебания атомов. Потенциальная энергия кристалла матрицы (без де- [c.44]

В восемнадцатой лекции мы разобрали случай, когда два бесконечно. малых шара движутся в несжимаемой жидкосп . В этом случае дл л всех частиц жидкости, не лежащих бесконечно близко к этим шарам, потенциал скоростей можно положить равным сумме зчачений, которые он имел бы, если бы в жидкости был только один из двух шаров. Если же жидкость изменяет плотность, то эю не имеет места. Представим себе, два бесконечно малых шара равных размеров, центры которых совершают бесконечно малые маятникообразные колебания по оси 2, так ч о скорости их в каждый момент равны и противоположны г.о направлению. Пусть г и г —расстояния точек, к которым откосится ср, от центров шаров движение воз.туха, аналогичное рассмотренному в конце предыдущего параграфа, при соответствующем выборе начала счета времени, будет представлено уравнением [c.267]

Для второго случая, когда один корень характеристического уравнения вещественный отрицательный, а два других крмплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, та, как видно из уравнения (91), будем иметь колебательное движение, выражаемое вторым членом уравнения, причем так как р отрицательно, то колебания будут затухающими, т.-е. процесс регулирования будет сходящимся. В этом случае кривая регулирования будет иметь вид кривой затухающих колебаний, представленной на черт. 77. [c.164]

На рис. 9.2 приведены резонансные кривые, соответствующие тем же г и б. Кривые относятся к тем точкам окружности тела для которых достигаются максимум и минимум резонансных амплитуд при проходе через резонансную зону. Кроме того, здесь приведена также резонансная кривая, принадлежащая точке, которая участвует в колебаниях лишь по первой форме (ф = 0). Вид резонансных кривых зависит от того, за какой из точек по окружности тела устаоовлено наблюдение. Еслл наблюдается точка, соответствующая [максимальным резонансным амплитудам, то при умеренных расстройках г имеется один резонансный пик, хотя вид резонансной кривой может быть несколько искажен по сравнению с номинальным случаем (ф = 0). Если наблюдение ведется за точкой, где резонансные амплитуды минимальны, то четко про- [c.176]

Ленгмюровская Т, п, представляет собой один из простейших примеров сугубо плазменной турбулентности. Для её развития существенно движение как электронов, так и ионов. При на.пичии магн. поля может развиваться чисто электронная ветвь колебаний при неподвижных ионах — т. н. геликоны (или свисты), генерируемые в магнитосфере Земли в результате развития циклотронной неустойчивости или под действием электрич. атм. разрядов. Геликоны наблюдаются и в полупроводниковой плазме. Др. случай движения электронов при неподвижных ионах, важный для физики плазменных диодов и размыкателей, а также для микро- и Z-пинчей, связан с нелинейной динамикой тока в плазме под действием внепшего и собственного, порождённого током, магн. поля. Вся эта группа эффектов, в т. ч. и турбулентность соответствующего типа, рассматриваег-ся в рамках т. н. электронной магнитной гидродин/игг/-ки (ЭМ Г). [c.184]

ФЕРРОМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС —резонансное поглощение эл.-магн. энергии ферромагнетиком, один из видов электронного магнитного резонанса в твёрдом теле. От электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) Ф. р. отличается тем, что поглощение энергии при Ф. р. на много порядков сильнее и условие резонанса (связь между резонансной частотой перем. поля и величиной пост. магн. поля) существенно зависит от формы образцов. Эти отличия вызваны тем, что Ф. р. является коллективным эффектом элементарные магн. моменты ферромагнетика сильно связаны и поглощение анергии происходит в результате взаимодействия перем. поля с суммарными магн. моментами макроскопич. объё.мов вещества. Поэтому описание Ф. р. возможно в рамках классич. макроскопич. теории. Термин Ф. р. иногда распространяют и на магн. резонанс в ферримагнетиках, поскольку теория Ф. р. применима к одному из типов колебаний намагниченности в ферримагнетиках. Однако резонанс в ферримагнетиках имеет ряд особенностей (см. Ферримагпитиый резонанс). Однородные колебания намагниченности, происходящие при Ф. р., могут рассматриваться как предельный случай элементарных возбуждений магн. системы ферромагнети-К 1—спиновых волн при волновом числе /f O. [c.306]

Из рассмотрения данной задачи следуют некоторые частные случаи. При М qFI собст-иенные частоты близки к частотам собственных колебаний консольного стержня [уравнение (б) при Af -> О переходит в уравнение os у. — О, что совпадает с уравнеинем для консольного стержня]. При очень большой массе (М -> оо) собственные частоты будут близки к частотам длн закрепленного на обоих концах стержня [уравнение (G) переходит при Af - оо в частотное уравнение длн закрепленного на обоих концах стержня sinx = 0]. Еще один частный случай получается, когда отношение массы стержня к сосредоточенной массе мало, так что инерционностью стержня можно пренебречь и учитывать только его упругость (переход к системе с одной [c.192]

Приведенные выше результаты устанавливают существование, единственность, аналитичность, а также устойчивость периодического решения лишь при достаточно малых значениях р между тем в каждой прикладной задаче теории колебаний встречаются некоторые конечные значения (.i. Сходимость рядов, а также устойчивость решений при этих конечных значениях параметра в подавляющем большинстве прикладных исследований ие изучают, так как, во-первых, это трудоемкий процесс, во-вторых, соответствуют,не оценки часто оказываются неэф ективными, ибо всегда ориентированы на худший случай. Таким образом, строго установленные локальные резу ч.таты фактически используют нелокально. По этой причине, а также в связи с тем, что обычно находят лишь один—три члена ряда, к соответствующим результатам следует относиться как к пол ченным лишь на рациональном уровне строгости , несмотря на полную строгость указанных выше теорем. Поэтому проверку результатов с помощью физического или численного эксперимента не следует считать излишней [2, 7, 8, 10]. [c.62]

На одном торце оболочки заданы граничные условия (8.53), а на другом — условия (8.55), т. е. один торец оперт, а другой — полно-сть свободен аналог — балка, один конец которой шарнирно закреплен, а другой полностью свободен. Это вырожденный случай, и первая частота свободных колебаний балки равна нулю, так как при таких граничных условиях балка превращается в механизм. Как отмечалось в предыдущем параграфе, при таких граничных условиях цилиндрическая оболочка может деформироваться без растяжений и сдвигов срединной поверхности поэтому критическое давление полубезмомент-ной оболочки при этих граничных условиях определяется формулой (8.62). [c.235]

Представляет практический интерес один частный случай демпфирования колебаний системы ориентации, когда демпфи-руюш ая связь по одному из каналов коррекции отсутствует, например по каналу вращения (й ==0). При характе- [c.217]

Затухающие колебания. Пусть теперь на систему, кроме ква-знупругой силы, действует и сила трения. Рассмотрим один частный случай (но важный в практическом отношении), когда [c.339]

Другим весьма простым примеродг является случай двух равных частиц М, симметрично прикрепленных на расстояниях а от концов туго натянутой нити, общую длину которой прхшем равной 2 а- -Ь), где 26—длина средней части нити. Очевидно, что одним из гармонических колебаний системы будет такое движение, при котором отклонения обеих частиц всегда равны и имеют один и тот же знак (рис. 16). Если Р—натяжение нити, то уравнение колебания каждой частицы будет иметь вид [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...