Линеаризированные уравнения устойчивости

В случае сферической полости решение линеаризированных уравнений устойчивости представляется рядами по сферическим функциям [c.305]

Подставляя функции и, v, w, р в линеаризированные уравнения устойчивости [c.305]

ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [c.64]

Когда нагрузка, действующая на оболочку, достигает некоторой определенной величины, первоначальная форма равновесия перестает быть единственно возможной. Математически это означает, что уравнения равновесия в этом случае могут иметь не единственное решение. Соответствующая нагрузка называется критической, она может быть определена из линеаризированных уравнений устойчивости, поскольку волнообразование происходит при малом отклонении от первоначальной формы равновесия. Критические нагрузки, найденные из линеаризированных уравнений устойчивости, называются верхними критическими нагрузками. Итак, линеаризируем уравнения (2. 77) —(2. 78). [c.64]

Видоизменим несколько уравнений разд. 1 гл. 3, вводя вместо круговой координаты 5 декартову координату у. Если I — длина панели по образующей, а длина ее дуги равна Ь, то аргументы линеаризированных уравнений устойчивости [c.86]

Система линеаризированных уравнений устойчивости сферической трехслойной оболочки, нагруженной внешним гидростатическим давлением интенсивности д, имеет вид [c.152]

Периодическое решение должно соответствовать движению на границе устойчивости, что соответствует прохождению кривой Михайлова (годограф характеристического уравнения) через начало координат и означает обращение в нуль показателя экспоненты затухания линеаризированного уравнения, т. е. [c.243]

Для исследования устойчивости полученных решений рассмотрим линеаризированное уравнение в вариациях (5.53) [c.154]

Следует заметить, что метод энергетических оценок принципиально не может дать точных значений границ устойчивости (для получения точных оценок следует обратиться к линеаризированным уравнениям), так как в этом методе знак величины, стоящей в правой части уравнения (72.1) или [c.235]

Вышеизложенные соображения относятся лишь к анализу рассматриваемого явления из соображений физического характера. Ниже в настоящей статье величины критических параметров и соответствующие формы потери устойчивости определяются в результате численного решения строгих трехмерных уравнений линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел. [c.334]

Рассмотрим вопрос о потере устойчивости композита в структуре материала. В качестве математической модели используем уравнения трехмерной линеаризированной теории устойчивости для малых начальных деформаций, когда начальное состояние определяется из уравнений линейной теории упругости (второй вариант теории малых начальных деформаций) [15]. Уравнения устойчивости запишем в безразмерной форме. Отметим, что в докритическом состоянии, в соответствии с (2), безразмерная внешняя нагрузка является пропорциональной величине продольной деформации р, которую примем в качестве параметра нагружения. С использованием концепции простого нагружения сводим задачу устойчивости к двухмерной спектральной задаче. Для этого выделим параметр нагружения при помощи замены Для решения задачи устойчивости необходимо [c.335]

Разрастание малых возмущений может обусловливаться не только неустойчивым распределением плотности в равновесном состоянии, но и некоторыми формами распределения скорости в нем. Рассмотрим, например, вопрос об устойчивости плоскопараллельного стационарного течения несжимаемой идеальной жидкости постоянной плотности, направленного вдоль оси х и имеющего скорость ио= С/(г), О, 0 . Линеаризированные уравнения гидродинамики вместо (2.3) будут иметь вид [c.81]

Для того чтобы отразить эллиптический тип исходных дифференциальных уравнений, давление в (м, и. Я)-системе необходимо определять, решая уравнение Пуассона так же, как это делалось в разд. 3.5. Методы, разработанные для анализа устойчивости решения (г , С)-системы, можно непосредственно применять и для исследования устойчивости решения (ы, и, Я)-системы. При линеаризации уравнений (3.509) члены с градиентом давления исчезают, а члены типа и ди/дх) приводятся к виду й ди/дх), где й — постоянный коэффициент. Тогда линеаризированное уравнение количества движения будет совпадать по виду с линеаризированным уравнением переноса вихря, и, следовательно, для исследования их устойчивости можно использовать одни и те же методы, получая при этом одни и те же условия устойчивости. Решать уравнение Пуассона для давления можно любым из методов, рассмотренных в разд. 3.1 и справедливых также в рассматриваемом случае по крайней мере с точки зрения линейного анализа устойчивости. Уравнениям количества движения можно придать простую консервативную форму, если, как и в случае уравнения переноса вихря, член У-Уи заменить на У-( У). Но применение идеи консервативности в отношении сохранения массы в этом случае осложняется. При решении уравнения Пуассона потребуется отказаться от консервативной формы уравнения неразрывности, в чем мы сейчас и убедимся. [c.294]

Сама концепция диффузионной неустойчивости очень тесно связана с концепцией гидродинамической неустойчивости, с анализом решений линеаризированных уравнений Навье—Стокса. В приложении к экологическим системам зта концепция была подробно развита в нашей книге Устойчивость биологических [c.163]

В ЭТОМ случае положение равновесия системы является асимптотически устойчивым не только для линеаризированной системы (8), но и для исходной нелинейной склерономной системы с дифференциальными уравнениями (1) (см. 38). [c.262]

Если записать уравнения гидродинамики, линеаризированные относительно периодического решения o t) с периодом Т1, символически в виде (Зо)7<5 = 7 /0), где Г/ — ограниченный линейный оператор, непрерывно и периодически с периодом Т1 зависящий от то для всякого возмущения о) ( ) периодического решения со (/+Т1) = /(т1)о) (/), где и г1)—линейный и ограниченный так называемый оператор монодромии. Его собственные значения Pn(Re) называются мультипликаторами один из них, тривиальный, равен единице и дальше учитываться не будет. Если все Рп < 1, то все возмущения при каждом обходе замкнутой траектории уменьшаются, так что периодическое движение устойчиво [c.98]

Для оценки характера автоколебаний, возникающих при невыполнении условий устойчивости (4.93), может быть проведено исследование линеаризированной системы уравнений движения (4.88). В этом случае действительные части решений (4.92) приравниваются нулю, т.е. д] =Я2 - [c.120]

Следующим шагом является составление уравнений динамики отдельных звеньев. Для решения задач устойчивости при этом достаточно описать динамические свойства системы в режиме малых отклонений от положений равновесия, что позволяет ограничиться исследованием систем уравнений, линеаризированных вблизи стационарного режима работы. [c.27]

В большинстве работ этого направления нахождение всех характеристических показателей на мнимой оси квалифицировалось как устойчивость. Критические параметры определялись из условия, что в окрестности их значений хотя бы один из характеристических показателей переходит на правую полуплоскость. Но уравнения линейной теории устойчивости следует рассматривать как резуш1тат линеаризации некоторых нелинейных уравнений, описывающих физическую задачу. С точки зрения теории Ляпунова, случай нахождения всех показателей на мнимой оси должен трактоваться как сомнительный, когда линеаризированные уравнения не дают ответа на вопрос об устойчивости. Таким образом, большинство парадоксов дестабилизации вследствие трения являются результатом некритического применения динамического метода. Чтобы устранить двусмысленность в терминологии, было предложено [66] называть случай, когда все характеристические показатели находятся на мнимой оси, квазиустойчивостью, а значении параметров, при которых хотя бы один из показателей переходит на правую полуплоскость, - квазикритическими. Термины устойчивость и критические значения сохраняют при этом строгий смысл. [c.481]

В заключении второй части книги рассматриваются малые прогибы тонких упругих оболочек, излагается линеаризированная теория устойчивости оболочек. Приведенные здесь общие уравнения устойчивости цилиндрических оболочек в перемещениях, вызванных потерей устойчивости, известны как уравнения Тимошенко. Дается решение этих уравнений для случая внешнего поперечного давления и равномерного продольного сжатия. Последний случай особенно интересен. Автором впервые изучена теоретически неосесимметрвганая форма потери устойчивости и показано, что в этом случае при выпучивании по коротким продольным волнам выражение для продольной критической нагрузки совпадает с формулой для критической нагрузки при симметричном волнообразовании. Здесь описан также метод расчета на устойчивость оболочек за пределом упругости. Наконец, излагается общее решение уравнений малых осесимметричных деформаций сферической оболочки и их щ)имвнение к различным случаям нагружения. [c.7]

Многочисленные теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарных течений, опубликованные в различных журналах и книгах по гидродинамике, можно распределить на две группы. К первой группе относятся те исследования, в которых преимущественно использовался метод малых колебаний и решение вопроса об устойчивости ламинарных течений сводилось к исследованию корней характеристического трансцендентного уравнения, явный вид которого для большинства случаев можно было установить лишь приближённо. Существо метода малых колебаний заключается в том, что на исследуемое ламинарное течение накладывается нестационарное поле малых скоростей, удовлетворяющих" линеаризированным дифференциальным уравнениям. Последние уравнения получаются из полных уравнений движения вязкой жидкости после замены проекций скорости и давления через суммы проекций двух векторов скоростей и давлений исследуемого течения и наложенного поля возмущений и последующего отбрасывания из уравнений слагаемых, содержащих произведения производных по координатам от проекций вектора скорости поля возмущений. Затем рассматривается частный вид поля малых возмущений, отвечающий тому частному решению линеаризированных уравнений, в котором в качестве множителя входит показательная функция [c.387]

Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался преимущественно энергетический метод. При использовании этого метода на ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, но оно выбиралось не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума некоторого выражения, содержащего интегралы от кинетической энергии и квадрата вихря. В частности, это выражение представляло собой отношение того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в поле скоростей возмущений, к тому количеству кинетической энергии, которое рассеивается благодаря вязкости. При некотором видоизменении постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле возмущений задача приводится к задачам вариационного исчисления. Этот метод был использован в работах Рейнольдса, Лоренца, Орра ), Кармана ), Сайнджа ) и др. [c.388]

В большинстве случаев добыча и хранение ряда полезных ископаемых продолжительное время ведется в одних и тех же месторождениях. В связи с этим возникают требования по проведению укрепительных работ горных выработок и подземных сооружений для безопасных условий труда. Одним из путей решения этого вопроса, как известно, является изучение разрушения горных пород возле горных выработок с позиции локальной потери устойчивости. Начало этому направлению исследования задач горной механики положено работой [1], дальнейшее развитие оно получило в работах [2-6] и ряде других, в которых поведение массива горных пород около выработки описывалось моделями сред с упругопластическими свойствами, что достаточно полно отражено в [7]. При этом в работах [2-4 и других исследованиях выполнены на основе приближенного подхода [8], а в [5-7] и в ряде других работ — на основе строгой трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел [9, 10]. В настояш ей работе в рамках точных трехмерных уравнений [10] исследуется локальная неустойчивость пород приствольной зоны горизонтальной, вертикальной и сферической горных выработок с учетом многослойности крепей. [c.300]

При малых Не стационарное течение ио(х) обычно представляет собой в фазовом пространстве устойчивый фокус. Это означает, что все собственные значения "к линеаризированных уравнений имеют отрицательные вещественные части V < 0. так что любые малые возмущения (2.63) затухают со временем. С увеличением Не вещественные части у некоторых собственных значений возрастают, и может найтись такое критическое значение Не1сг, при котором впервые какое-то из собственных значений линеаризированных уравнений Я (Не) пересечет мнимую ось в комплексной плоскости Я, так что у (Ке1сг) =0. Соответствующее возмуще- [c.96]

Первые решения задачи об устойчивости сжатого стержня за пределом пропорциональности (Энгессер, Ясинский, Карман) относятся к следующей постановке. Стержень нагружается центральной сжимающей силой, принимаются меры для того, чтобы не произошло выпучивания в процессе нагружения. Когда сила достигает значения Р, она удерживается постоянной и стержню сообщается малый прогиб. Равновесие стержня под действием силы Р устойчиво, если этот прогиб исчезает после устранения вызвавшей его причины, и неустойчиво, если прогиб увеличивается до тех пор, пока не установится новая форма равновесия стержня с искривленной осью. Приближенное исследование, основанное на линеаризированном уравнении изгиба, по существу не позволяет решать вопрос об устойчивости или неустойчивости какой-либо формы равновесия, это исследование дает возможность найти такое значение нагрузки, при котором равновесие является безразличным. Именно этой задачей было фактически заменено исследование устойчивости упругого стержня в 136. [c.308]

Представим себе, что пластина нагружена таким образом, что усилия Гар отличны от нуля, а прогиб W и, следовательно, моменты Мцр равны нулю. Будем называть такое плоское напряженное состояние в пластине начальным напряженным состоянием. В отношении него будем употреблять термин безмоментное состояние. Поставим задачу об устойчивости пластины по отношению к весьма малым (бесконечно малым) искривлениям срединной плоскости. При определении усилий Уар мы должны были пользоваться обычными уравнениями плоской задачи теории упругости, а следовательно, линеаризированными выражениями для Сае- Если пластина получает малое изгибное возмущение w, то, конечно, величины iVaWn малы по сравнению с Ма, е, но при варьировании прогиба в (12.10.2) именно эти члены, являющиеся множителями при больших Та , должны варьироваться. [c.415]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...