Преобразование к главным координатам

Преобразование к главным координатам т], имеет вид [c.146]

Теория преобразования к главным координатам. До сих пор лишь предполагалось, что преобразование к главным координатам существует, в настоящем параграфе мы дадим доказательство существования этого преобразования. [c.150]

ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ГЛАВНЫМ КООРДИНАТАМ [c.151]

Приложение теории. Теория преобразования к главным координатам, изложенная в 9.2, позволяет применить новый метод к решению конкретных задач. Принципиального отличия от способа 9.1, конечно, нет, и, [c.154]

Пример 9.3. Найдем преобразование к главным координатам, если [c.157]

К п. 56. Преобразование к главным координатам. Этот метод преобразован ия произвольных координат О, ф,. .. к главным координатам I, т ,. .. можно изложить в чисто математической форме. Предположим сначала, что такое преобразование возможно, так что имеем [c.530]

Амплитуды суммируемых главных колебаний зависят от множителей Матрица преобразования (45) к главным координатам, составленная из этих множителей, [c.240]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Отметим, что в цепной системе возможно полное разделение переменных при переходе к главным координатам оно происходит в том случае, если отношения Ь /с одинаковы при всех г, в силу чего преобразование (3.18) одновременно приводит к сумме квадратов все три квадратичные формы (3.10). [c.49]

Перейдем к главным координатам с помощью преобразования [c.65]

Переход от произвольной системы координат К, в которой тензор инерции недиагонален, к системе К осуществляется с помощью некоторого линейного и ортогонального преобразования координат, называемого преобразованием к главным осям. В справедливости этого утверждения проще всего убедиться, исходя из геометрических соображений. Рассмотрим с этой целью момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей [c.285]

Главные координаты. Пусть требуется найти формулы преобразования, посредством которого можно перейти от переменных О, ф,. .. к главным координатам. [c.62]

Эти же выражения можно было бы получить даже еще раньше, рассмотрев выражения для кинетической и потенциальной Ер энергии, которые используются при выводе дифференциальных уравнений методом Лагранжа. При этом методе несвязанные диф-( )еренциальные уравнения могут получиться только тогда, когДа выражения как для кинетической, так и потенциальной энергии не содержат квадратичных членов с произведением координат. Поэтому нужно найти такое линейное преобразование координат, которое одновременно переводит выражения для EkH Ер в суммы квадратов. В алгебре эта операция называется преобразованием к главным осям. Проведем его для данного случая и покажем, что при этом снова получатся уравнения движения в главных координатах g и г). [c.261]

Здесь I И т] — уже известные главные координаты. Таким образом, если с самого начала энергетические выражения (6.2) и (6.3) упростить путем преобразования к главным осям, то объем дальнейших вычислений, связанных с получением двух независимых друг от друга уравнений главных колебаний, сократится. Любое другое движение можно получить сложением главных колебаний. Применяя главные координаты, можно существенно упростить расчет линейно связанных колебаний. [c.262]

Таким образом, общее решение представляется суммой двух демпфированных колебаний. И в этом случае можно было бы разрешить систему (6.40) относительно демпфированных составляющих колебаний, чтобы таким путем найти главные колебания и главные координаты. Однако соотношения здесь намного сложнее, чем в недемпфированном случае, так как отношения амплитуд (6.38) также становятся комплексными. Поэтому в преобразование, приводящее к главным координатам, должны были бы входить комплексные коэффициенты при этом преобразование становится запутанным и не имеет какого-либо практического значения, тем более что наглядность, присущая главным координатам, теперь утрачивается. [c.270]

Может возникнуть вопрос если координаты избранной системы не являются главными, возможно ли путем соответствующего преобразования перейти к главным координатам Оказывается, что этот вопрос имеет утвердительный ответ. Именно, всегда можно подобрать линейное преобразование координат, приводящее две квадратичные формы Т я П, выражаемые формулами (1.29) и (1.33), к виду (4.27), т. е. всегда можно подобрать главные координаты. При этом вся совокупность частот или, как говорят, спектр частот не изменяется. В самом деле, частоты связаны с физическими свойствами системы и, конечно, не могут зависеть от того или иного выбора координат. [c.219]

Обратимся теперь к вопросу о переходе к главным координатам. Пользуясь замечательным свойством систем линейных однородных дифференциальных уравнений, заключающимся в том, что все искомые переменные могут быть умножены на один и тот же множитель без нарушения системы уравнений, мы зададимся линейным преобразованием координат наиболее простого вида, именно, положим [c.228]

Тензор деформации, как симметричный может быть приведен к главным осям соответствующим преобразованием координат [c.192]

Тензор теплопроводности является симметричным. Можно показать, что посредством линейного преобразования с переходом к новым координатам т], матрицу (1.50) всегда можно привести к диагональному виду, по главной диагонали будут стоять собственные числа >11, 2, 3 матрицы (1.50), в этом случае [c.25]

Это не что иное, как формулы преобразования координат при переходе от осей II, Xi к осям ui, щ, значит, главные координаты системы — это составляющие вектора перемещения по осям ui и ua, умноженные на постоянную величину У т. [c.184]

Экспериментальные результаты, представленные на рис. 15 и 16 (после преобразования всех разрушающих напряжений к главным осям симметрии материала), оптимизированы именно таким способом. Полученные в результате этой обработки значения коэффициентов f,, Fij, пределов прочности, соответствующих направлениям осей координат, среднеквадратичных отклонений сведены в табл. III. Из этой таблицы можно усмотреть, что [c.477]

Чтобы пояснить основную идею, рассмотрим простой случай, когда система имеет всего две явные координаты. Перейдем к координатам, в которых S жУ представляются суммами квадратов при Р = О это главные координаты. Преобразование наверняка существует, поскольку S — определен-но-положительная форма. Обозначив новые координаты через хшу, напишем [c.180]

Элементы векторов h, = (A,i,..A ,), определяемые из (3.17) с точностью до произвольного общего множителя, представляют собой амплитуды отклонений обобщенных координат от равновесного состояния системы при свободных колебаниях с частотами кг. Определив собственные формы системы, можно перейти к главным (нормальным) обобщенным координатам Wi,..., г с помощью линейного преобразования [c.46]

Так как механизм, лежащий в основе агрегата, представляет собой систему с одной степенью свободы, то за движением агрегата мы можем следить по движению одного какого-нибудь его звена. Такое звено будем называть главным. За главное может быть выбрано любое звено агрегата. Но удобно выбирать то его звено, которое является общим как для машины-двигателя, так и для исполнительной машины, например таким звеном может быть главный вал поршневого двигателя, соединенный непосредственно с валом электрического генератора. Координаты, определяющие положение главного звена (угловые или линейные), будут являться обобщенными координатами в уравнении движения агрегата. Составление уравнения движения агрегата как единой материальной системы- и сведение его путем математических преобразований к движению, выделенному в системе главного звена, содержащего координаты, определяющие положение этого звена в функции от времени, и будет составлять основную задачу при изучении движения агрегата (машины) под действием заданных сил. [c.200]

Мы видели, что диада Ф отвечает преобразованию куба в косоугольный параллелепипед. Впишем сферу радиусом, равным единице, в единичный куб 1, з, к, введенный нами в рассмотрение в п. 1, совместив нач ало координат О с центром сферы. Преобразование, заданное уравнением (14.26), переводит эту сферу в эллипсоид. Три взаимно перпендикулярных радиуса сферы переходят в группу сопряженных осей эллипсоида. Так как главные оси эллипсоида также являются такой группой, то мы видим, что в единичной сфере должны существовать три первоначально взаимно перпендикулярных нанравления, которые после преобразования становятся главными осями эллипсоида. Мы заключаем, что диаду [c.182]

Из-за наличия гироскопических членов хц—х//) 4/система уравнений (1.15) не может быть преобразована к виду (1.12) с помощью введения новых координат. Однако, как показал Уиттекер, это может быть выполнено при помощи контактного преобразования. Поэтому главное свойство колебаний около положения равновесия сохраняется и в системе с гироскопическими силами, а именно всякое колебание можно рассматривать как результат суперпозиции гармонических нормальных колебаний. [c.254]

Строгое преобразование от уравнений движения в произвольных независимых координатах к уравнениям движения в главных координатах 0 см. в приложении 6.2. [c.275]

Если подставить тригонометрические значения для I, r ,. .. в приведенные выше формулы преобразования, то, очевидно, снова придем к уравнениям п. 455, в которых обобщенные координаты 0, ф,. .. выражены через тригонометрические функции от t. Поэтому можно получить одну систему главных координат, т. е. Ii, T]i,. .., которые уничтожаются в положении равновесия, положив [c.406]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Получили линейное преобразование координат, запиеанное явно. Координаты 0J называются главньдми (нормальными) координатами. Переходом к главным координатам мы облегчили себе решение. Каждая координата колеблется со своей частотой. С учётом нормальных параметров имеем два уравнения с двумя неизвестными. [c.189]

Введенке. В этой главе мы рассмотрим решения уравнений равновесия изотропного упругого телд при ПОМОЩИ разложений в ряды гармонических функций и главным образом в ряды сферических функций. Мы начнем с некоторых специальных типов решений, полученных при помощи сферических функций и дающих важные, результаты, касающиеся равновесия шара, которые являются началом приложений теории упругости к геофизике. Мы будем следовать Кельвину, который выразил общее решение задачи 1) о шаре при помощи сферических функций, рассматривая их как функции декартовых координат и избегая преобразования к полярным координатам. После этого мы дадим некоторые применения рядов гармонических функций, отличных от сферических функций, для интегрирования уравнений равновесия. [c.261]

Понятию о главных координата.х. можно дать гео.метрическое истолкование. Для этого за.метим, что одна квадратичная форма всегда может быть при надлежащем линейном преобразовании приведена, и не единственным образом, к виду, в котором не содержится произведение переменных, причем для этого не требуется решения никаких уравнений. Рассматривая, в частности, знакоопределенную положительную форму, можно написать [c.565]

Таким образом, величины о / — компоненты тензора напряжений являющегося тензором II ранга. Число компонент этого тензора равно 9, однако в соответствии с соотношениями (8.1) только S из них независимы. Это означает, что тензор напряжений — симметричный и, как любой симметричный тензор II ранга, он может быть с помощью преобразования координат приреден к главным осям. Относительно этих осей недиагональные компоненты тензора обратятся в нуль, и он приобретет вид. [c.189]

Изложенный метод приводит, таким образом, к решению системы линейных однородны.х уравнений с постоянными коэффициентами. Эти уравнения можно еще больше упростить, если ввести главные координаты, что, вообще-говоря, возможно, так как всегда можно найти такое линейное преобразование координат Aqnpn котором оба выражения (А ) и (В ), определяющие энергию L я V, одновременно станут простой суммой квадратов главных координат или простой суммой квадратов скоростей их изменения [1911. [c.382]

Использование главных нормальных координат. Основной идеей введения главных нормальных координат является представление двим ения в виде разложения по формам собственных колебаний, С математической точки зрения введение главных нормальных координат заключается в преобразовании переменных, приводящем одновременно к главным осям матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Следствием этого является расчленение исходной системы на отдельные, независимые уравнения. [c.107]

Динамические податливости и динамическле жесткости систем со слабой диссипацией обладают некоторыми общими свойствами, для рассмотрения которых целесообразно перейти от обобщенных координат системы д к главным (нормальным) координатам 8 с помощью преобразования (см. п. 1 гл, VI) [c.223]

С помощью поворота координат (это преобразование называется приведением квадратичной формы к главным осям) всегда можно найти новую систему главных осей. Размеры и ориентация эллипсоида (7.2.3) зависят, разумеется, от направления приложенного поля, а также от 18 матричных элементов. Выще мы уже доказали, что в кристаллах, обладающих центром инверсии (центросим-метричностью), = 0. Вид тензора (но не его величина) может быть получен из соображений симметрии, которые позволяют установить, какие из 18 коэффициентов равны нулю, и найти соотношения между остальными коэффициентами. В табл. 7.2 представлены электрооптические тензоры для всех нецентросимметричных кристаллических классов, а в табл. 7.3 перечислены электрооптические коэффициенты для некоторых кристаллов. [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...