Гармоническая система координат

ГАРМОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 45 [c.45]

Гармоническая система координат [c.45]

Запишем уравнения (3,4) в специальной гармонической системе координат, с успехом применявшейся многими исследователями (ср. [ ]). [c.45]

В гармонической системе координат составляющие метрического 5-тензора удовлетворяют следующим условиям [c.45]

Мы замечаем, что введение гармонической системы координат в 5-пространстве является обобщением на общий случай метрического — поля нормировки электромагнитных потенциалов по Лоренцу, применяемого в электродинамике. [c.46]

Гармоническая система координат в пространстве Римана [c.59]

При переходе от одной гармонической системы координат к другой составляющие тензора О У преобразуются по формулам [c.60]

В гармонической системе координат в формулах (3,75), (3,76), (3,77) и (3,78) следует положить Р = О, и мы получаем формулы, приводимые в тексте ( 15). [c.61]

Решение. Точка Ж участвует в сложном движении. Абсолютным или результирующим движением будет прямолинейное гармоническое колебательное движение точки Ж по отношению к неподвижной, системе координат Оху, определяемое уравнениями (1). С другой стороны, разложим мысленно абсолютное движение точки Ж на относительное движение по отношению к экрану и переносное движение вместе [c.310]

Докажем, что вектор касательного напряжения Ts также достигает своего наибольшего значения на контуре для этого отправимся от противного допустим, что вектор касательного напряжения достигает наибольшего значения внутри контура поперечного сечения в точке М. Выберем в поперечном сечении новую прямоугольную декартову систему координат 0Х/Х2 и одну из ее осей, например ось 0X2, направим параллельно вектору Т 3, приложенному в точке М. В этой системе координат в точке М будем иметь тензор напряжений с компонентами а з1 = 0, а з2= 0, причем они относительно новой системы координат являются также гармоническими. В силу этого (Тз2 достигает своего наибольшего значения на контуре, а не внутри контура, как это было допущено в начале рассуждения. [c.178]

Тогда очевидно, что каждая из новых координат х у совершает гармоническое колебание с частотой o)i (или (Оз) при любых начальных условиях. Координаты х к у называются нормальными координатами системы. Координаты фз и фз связаны с нормальными координатами х w у соотношениями [c.242]

В случае вырождающегося плоского движения гармонического осциллятора разделение переменных возможно в любой декартовой системе координат. Получите соотношения между переменными действие — угол, соответствующими двум декартовым системам координат, образующим друг с другом угол 0. (Заметим, что рассматриваемое преобразование переменных (J, w) не является ортогональным.) [c.344]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Следовательно, формула (3. 4) выражает колебание вала, слагающееся из двух гармонических колебаний с частотой X — со и Я, + со. Таким образом, частота колебаний есть то же, что и скорость прецессии в подвижной системе координат. [c.114]

Пусть ротор, вращающийся с частотой Q, по тем или иным причинам совершает (в своей системе координат) крутильные гармонические колебания с угловой амплитудой Ф и частотой v. Тогда выражение (8.9) примет вид [c.196]

Такой подход позволил применить мощный аппарат комплексной переменной, который базируется на изображении гармонической функции режимных параметров ЦН (напоров, расходов, мощностей и др.) в виде обобщенного комплексного вектора в полярной или декартовой системе координат. В свою очередь, использование аналогии между гидравлическими и электрическими параметрами создало основу для ввода понятия комплексного гидравлического сопротивления. [c.6]

Такой подход предоставляет возможность применить для моделирования РЦН и анализа режимов его работы мощный аппарат комплексной переменной [45], который базируется на изображении гармонической функции скорости и других режимных параметров насоса (расходов, мощностей и т.д.) в виде обобщенного комплексного вектора в полярной или декартовой системе координат. В частности, в координатах комплексной плоскости (рис.5.3) запись для определения средней скорости в сечении отвода, содержащем точку 2, будет иметь вид [c.69]

Таким образом, поле v — это обычное поле Стокса в системе координат i , 0, Ф. Гармонические функции, фигурирующие в (6.3.14), имеют для этого поля следующий вид [c.290]

Таким образом, поле vf снова оказывается просто полем Стокса в системе координат iZ, 0, Ф. В принятых обозначениях оно выражается посредством (6.3.57), где гармонические функции имеют вид [c.303]

Указанное поле будем строить в виде линейной комбинации основных полей напряжений, каждое из которых отвечает одной гармонической функции X, V, Y или F в общем решении. Согласно формулам (587)—(590) и (594) основные напряжения симметричны по переменным а , з, кроме того, они должны быть периодичны по этим переменным в силу выбора системы координат. Поэтому гармоническая функция в формулах (587)—(590) должна иметь вид [c.179]

Решения в цилиндрических координатах для пластин со сво- бодными от нагрузки поверхностями. Все приведенные выше решения для нагруженных по краям пластин со свободными от нагрузки поверхностями могут, разумеется, быть записаны в иных системах координат. Например, используя соотношения (3.96) и (3.9з), можно получить следующие решения в цилиндрических координатах. Из выражений (3.12а) следует симметричное (мембранное) решение записанное через гармоническую функцию [c.352]

Уравнение (1) представляет собой обычное уравнение Лапласа У Ф = О, записанное в специальной системе координат, поэтому функции х, у, г, ху, уг, гх и любая сферическая гармоническая функция являются фактически решениями уравнения (1). [c.479]

Задачи для трехмерного клина угла раствора 2а будем изучать в цилиндрической системе координат г, (р, z, где ось г направлена по ребру клина. Как известно [2], решение уравнений равновесия Ламе (1.1.1) в координатах г, р, z может быть выражено через три произвольные гармонические функции Ф = Ф (п z), гг = О, 1, 2, по формулам [c.147]

Запишем решение для комплексного угла атаки в проекциях на оси траекторной системы координат в виде суммы двух гармонических колебаний [c.48]

Уравнения (5.L1) и (5.1.2) описывают колебательные движения материальной точки вдоль оси Ох и гармонического осциллятора. Для механической системы координата X — малая величина, а для прямолинейного колебания точки — произвольная. [c.150]

Постановка задачи. Рассмотрим жесткий цилиндрический сосуд, частично заполненный несжимаемой жидкостью с пузырьками газа (рис. 1), который совершает поступательные колебания в вертикальном направлении по гармоническому закону с частотой а . Движение будем рассматривать в цилиндрической системе координат Ог дх, жестко связанной с сосудом, причем ее начало, точка О, расположено в центре круга, представляющего собой дно полости, а ось Ох совпадает с осью полости (рис. 1). Скорость перемещения полости будем задавать вектором скорости vo = vo(r), где г — безразмерное время с масштабом 1/ш. [c.313]

В математическом приложении выведены формулы для Р, Р , Р, Р55 в гармонической системе координат. Принимая во внимание независимость поля от координЬты действия, имеем по этим формулам [c.46]

Нормальные колебания. Рассмотрим сначала возбуждения, связанные с колебаниями решетки, которые встречаются во всех твердых телах. Точно оннсать состояния всех атомов очень трудно, так как нотенциальная энергия такой системы зависит от разно( ти координат каждой нары атомов. Однако для малых амплитуд колебаний около положений равновесия силы, действующие между атомами, можно ириближенно рассматривать как гармонические. Тогда координаты отдельных атомов можно заменить их линейными комбинациями (называемыми нормальными координатами), подобранными таким образом, чтобы выражения для кинетической и потенциальной энергий содержали только квадраты нормальных координат и их производных по времени. Поскольку в этом случае выражения для энергпп уже не будут содержать произведений координат разных атомов, такую систему можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов. Число таких осцилляторов для кристалла, содержащего N атомов, будет равно 37V, что соответствует трем степеням свободы каждого атома. [c.317]

При решении двумерных гармонических задач конформные отображения играют решающую роль, поскольку уравнение Лапласа инвариантно при конформном отображении. Под этим понимается следующее. Конформное отображение по существу есть запись в комплексной форме некоторой криволинейной системы координат в плоскости х, у (г = х- 1у), при которой в этой системе область О перейдет в область О. При такой замене переменных, продиктованной конформным отображением, само уравнение должно, вообще говоря, преобразоваться, однако при конформном отображении оно останется неизменным и в координатах и, V (w = u-j- v). Действительно, пусть н(г) гармонична в области О. Строим функцию /(г), действительной частью которой является функция и(г). Тогда сложная функция [[ ( )] аналитична в плоскости и поэтому Ке/[,д( )]== = КеК(5)= и( )= гармонична в О. Этим обстоятель- [c.31]

Пусть — неподвижная система координат, причем ось параллельна, а ось Ojti — перпендикулярна вибрирующей плоской поверхности (рис. 16). Плоскость при этом предполагается вертикальной, а вибрирующая поверхность — перпенД71кулярной плоскости lO ri. Пусть вибрирующая плоская поверхность совершает поступательные гармонические колебания одинаковой частоты со как в продольном, так и в поперечном направлениях, т. е. перемещается по закону [c.36]

Увод оси гироскопа под действием вибрации. Как показано А. Ю. Ишлинским, вибрация основания гироскопа может при наличии упругой податливости элементов подвеса и некоторых других неидеальностей привести к весьма нежелательному отклонению его оси от фиксируемого направления [17]. Воспроизведем выкладки А. Ю. Ишлинского как пример возможности весьма простого подхода к вычислению вибрационного момента. Пусть хуг — прямоугольная система координат, связанная с внешним кольцом / подвеса гироскопа (см. рис. а в п. 6 таблицы), причем ось г направлена по оси кольца, ось х — по оси поворота кожуха 2 вибрация основания такова, что при абсолютной жесткости подвеса его геомегрический центр совершает прямолинейные гармонические колебания с частотой w. Тогда возникает сила инерции в переносном движении, проекции которой на оси координат Рj( = таа os at, Ру = тЬса os at, = тса os at, где m — масса ротора гироскопа а, Ь е с — амплитуды составляющих вибрации по осям координат. Вследствие упругой податливости конструкции сила Р вызывает колебания центра тяжести ротора вдоль геометрической оси кожуха у по закону [c.252]

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере Ъ получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для движения сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении. [c.307]

Это есть уравнение архимедовой спирали в полярной системе координат. Задача 5.4. Точка М совершает гармоническое колеоагельное движение согласно уравнениям [c.448]

Решение, Точка М участвует в сложном движепии. Абсолютным или результирующим движением будет прямолинейное гармоническое ко гебагелькое движение точки М по отношению к неподвижной системе координат Оху, определяемое уравнениями (1). С другой стороны, разложим мысленно абсолютное движение точки М на относительное движение по отно-и1ению к экрану и переносное движение вместе с экраном. Зависимость между коорданатами точки М в абсолютном и относительном движениях будет [c.448]

Через вг, k обозначены здесь единичные векторы цилиндрической системы координат = краевом условии (3.4.6) соответствуют два гармонических вектора [c.254]

Скорости, индуцированные вихревой пеленой на диске винта, играют важную роль в процессе образования нестационарных нагрузок на лопасти и должны приниматься во внимание при исследовании переходных процессов. Однако связь между полем индуктивных скоростей и нестационарными нагрузками очень сложна. Изложенное выше применение вихревой теории дает наиболее простые формулы нестационарной аэродинамики винта, полезные для приложений к аэроупругости. При работе винта на режиме висения возмущение би(г, г])) скорости протекания в точке диска винта связано с возмущением df/dA местной нагрузки на единицу площади поверхности диска соотношением 6v = (dTldA)f2put>, где uo — средняя индуктивная скорость. Эта формула была получена для гармонического изменения нагрузки лопасти с частотой nQ во вращающейся системе координат, где п—не равное нулю целое число. Как уже говорилось, это выражение соответствует низкочастотной аппроксимации функции уменьшения подъемной силы лопасти. Независимо от того, рассматривается ли эта формула как результат вихревой теории или как дифференциальная формула импульсной теории, должно выполняться основное условие, состоящее в том, что изменение нагрузок винта происходит гораздо медленнее, чем изменение его вихревой системы. Лишь в этом случае формулы теории несущего диска могут быть применены как к возмущениям, так и к стационарным значениям скорости протекания. [c.474]

Вибрациями называют колебательную реакцию фюзеляжа вертолета (и других элементов конструкции в невращающейся системе координат) на силы и моменты несущего винта. Имеются и другие существенные источники вибраций на вертолете (силовая установка и трансмиссия, аэродинамические силы на фюзеляже), но здесь будет рассмотрено только влияние несущего винта. В установившемся полете вперед иериоди-ческие силы в комлевой части лоиасти передаются на вертолет, вызывая вибрации. Таким образом, вибрации вертолета определяются гармоническим возбуждением в невращающейся системе координат, преимущественно с частотами Q и NQ. Вибрации обычно слабее всего на режиме висения и усиливаются по мере увеличения скорости полета до высокого уровня при максимальной скорости. Уровень вибраций высок также на переходном режиме ( 1 0,1) вследствие резкой неравномерности поля индуктивных скоростей. [c.635]

Гармонические возмущения также могут иметь место в условиях космического полета. Причинами их возникновения могут быть те же перечисленные выше силы. К тому же следует иметь в виду, что любой постоянно действующий момент, участвующий в собственном вращении КА, можно представить в виде двух составляющих моментов на оси полусвязанной системы координат. Появление такого момента наиболее вероятно в период включения корректирующей или тормозной двигательных установок. Так, при наличии эксцентриситета тяги Т (рис. 5.2) появится момент Мт, который относительно осей и у может быть представлен в виде составляющих [c.207]

На спутник могут действовать также моменты, которые относительно инерциального пространства остаются неизменными. Так, например, на отдельных участках орбиты давление солнечного света может вызвать возмушгаюшгий момент, не участ/вуюш.ий во вра-цдении вместе с осями орбитальной системы координат. Такой момент может быть представлен в виде гармонических со-ставляю-ш,их т os ( V и т sin озо/. [c.32]

Задача Р. В прямоугольной системе координат рассматривается полоса О у h, —00 < ж < 00. Пусть область полосы ж xq имеет модуль сдвига G, плотность р, а области Хп + кЬ < х < Хп+ + кЬ п — О, , 2,..., т - 1 к — О, 1,2,..., оо) имеют соответственно модули сдвига Gn и плотности рп- Обозначим Хп+ Хп — In, Хт — xq = L, где L период изменения свойств полосы вдоль продольной координаты X влево и вправо соответственно от точек х — —xq их — —xq. Далее пусть на поверхности полосы у — h в области х а закреплен штамп, совершающий вдоль оси г гармонические колебания с частотой и под действием сдвигающей силы Pq — Pexp -iu t), поверхность полосы вне штампа свободна от напряжений, а поверхность у — О неподвижна (см. рис. 6.1 на стр. 226). [c.27]

Пример расчета мгновенных линий тока па основе (4.25) показан на рис. 4.7. Как видно, течение разбивается на отдельные ячейки, размер которых вдоль оси г равен а в перпендикулярной плоскости определяется соотношением (4.24). Гакая картина соответствует гармонической волне, бегушей вдоль оси г с фазовой скоростью с = со//г. Соответственно в системе координат, движушейся вдоль г со скоростью с, имеем стоячую волну. [c.179]

Смотреть страницы где упоминается термин Гармоническая система координат : [c.374] [c.111] [c.120] [c.27] [c.147] [c.33] [c.232]

Смотреть главы в:

Исследования по 5-оптике -> Гармоническая система координат

ПОИСК

Координаты гармонические

Координаты системы

Ряд гармонический

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...