Теорема "взаимности работ и перемещений

Теоремы взаимности работ и перемещений [c.192]

ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ РАБОТ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [c.193]

Теорема взаимности работ и перемещений 394 [c.774]

Теоремы взаимности работ и перемещений оказываются весьма полезными, так как позволяют в ряде случаев сильно упростить решение многих задач сопротивления материалов. Это мы увидим, в частности, в следующей главе, где будут рассмотрены общие вопросы раскрытия статической неопределимости систем. [c.256]

Теоремы о взаимности работ и перемещений имеют большое значение в общей теории исследования напряженного и деформированного состояния стержней, пластинок, оболочек и других расчетных объектов. Их применение существенно упрощает решение многих задач строительной механики, а также производство опытов по определению перемещений. [c.372]

Понятие, вычисление, диаграмма, единица, изображение, знак. .. работы. Сумма. .. работ. Взаимность. .. работы (и перемещения). Теоремы. .. о работе. [c.71]

Итак, мы рассмотрели общим счетом четыре энергетические теоремы. Это теорема Кастилиано, теорема Лагранжа, теоремы взаимности работ и взаимности перемещений. Одна из них, а именно теорема Лагранжа, пригодна и для нелинейных систем. Эти теоремы понадобятся нам в дальнейшем, и ул<е на следующей лекции мы воспользуемся теоремой Кастилиано для разработки эффективного способа определения перемещений в общем случае нагружения балок. Мы будем обращаться в дальнейшем и к другим теоремам. [c.90]

Теоремы о взаимности работ и перемещений..................416 [c.513]

Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений [c.209]

Этот результат известен как теорема взаимности работ (теорема Бетти) и означает, что работа сил реального состояния на перемещениях другого допустимого состояния (параметры допустимого состояния отмечены символом б) равна работе сил допустимого состояния на перемещениях реального состояния. При Hi=6Hi=0 из (1.116) следует [c.32]

Здесь Лк - собственные числа, скалярное произведение определяется в соответствии со способом аппроксимации вектора, перемещения и теоремой взаимности работ. [c.61]

Это утверждение и составляет содержание теоремы взаимности работ. Для случая двух сил эта теорема была доказана в 1864 г. Д. Максвеллом. Но, как следует из самого понятия обобщенных сил и обобщенных перемещений, соотношение (9.7.3) не изменится, если под Pi и Р2 понимать обобщенные силы, а под 6i и S2 — соответствующие им обобщенные перемещения. Это было впервые понято итальянским ученым Е. Бетти в 1872 г. Как мы уже отмечали в связи с интегралом Мора, работа Д. Максвелла осталась незамеченной, и Е. Бетти сформулировал теорему взаимности работ независимо. Поэтому ее часто называют теоремой Бетти. [c.283]

Теорема взаимности работ применима не только к силам, но и к моментам. Например, величина P может представлять собой либо силу, либо момент, а соответствующее перемещение бр — либо прогиб, либо угол поворота. [c.452]

Таким образом, метод решения задачи термоупругости, основанный на теореме взаимности работ, заключается в том, что определение тепловых напряжений, деформаций и перемещений сводится к задаче изотермической теории упругости о напряженном состоянии упругого тела под действием единичной сосредоточенной силы. [c.49]

Теорема о взаимности работ и о взаимности перемещений справедлива не только для линейных, но и для угловых перемещений. [c.418]

Очень популярен в статике стержней интеграл Мора. Его можно вывести из теоремы взаимности работ. Пусть, например, стержень защемлен на концах, нагружен силами (5) и моментами 1(5), и надо найти перемещение в точке л, по направлению орта е. Оно равно [c.153]

Теорема взаимности перемещений была впервые сформулирована Дж. Максвеллом в 1864 г. на примере статически нагруженной плоской статически неопределимой фермы для случая двух сил (см. его статью, цитированную в п. 3.3). Обобщение этой теоремы на случай произвольного числа сил различного типа и на случай гармонических колебаний было дано Релеем (см. сноску 5). Теорема взаимности перемещений представляет собой частный случай теоремы взаимности работ. [c.466]

Это и есть теорема взаимности Бетти. Из нее следует, что работа первой системы внешних сил на перемещениях упругого тела, вызванных второй системой внешних сил, равна работе второй системы внешних сил на перемещениях того же тела, вызванных первой системой сил. [c.211]

Рассмотрим четные итерации, в которых энергия деформации тела V складывается из работы сил на всей поверхности тела LUS. Итерационный процесс (3.15) минимизирует на S работу реакций на заданных из постановки задачи перемещениях 5 = и. Покажем уменьшение работы реакции на S при переходе от нулевой итерации (и =0,m s =u, p g =P5,M i =tPi, P l =0) ко второй (л = 2, Is = u, p s =Р5,м1л = ,pli =pi)- Из теоремы взаимности Бетти для этих двух состояний следует [c.75]

Другое доказательство этих свойств симметрии с помощью теоремы о взаимности работ приводится в [8]. Соотношения (3.62) для разрешающей системы будут выполняться при условии, если скалярное произведение вектора обобщенных силовых факторов и вектора обобщенных перемещений пропорционально работе внутренних сил в сечении. [c.89]

С теоремой Клапейрона тесно связана и теорема взаимности Бетти. Пусть оболочка находится в равновесии под действием некоторой системы внешних сил. Эти силы, а также отвечающие им усилия и моменты, снабдим значком < >. Введем другую аналогичную систему величин, снабжая ее значком <2). Подсчитаем работу внешних сил первой системы на перемещениях второй [c.320]

Уравнение (2.31) означает, что работа сил системы 1 (реальной системы) на перемещениях системы 2 (некоторой другой допустимой системы, которой соответствуют переменные, отмеченные звездочкой) равна работе сил системы 2 на перемещениях системы 1 (этот результат хорошо известен как теорема взаимности, принадлежащая Бетти [6]). Мы могли бы воспользоваться этой теоремой или принципом виртуальных перемещений в качестве отправной точки для получения нашего решения, однако более общий подход, остающийся одинаковым во всех рассматриваемых задачах, основан на использовании уравнений типа (2.27) и (2.29). Уравнение (2.31) с учетом (2.29) и основного интегрального свойства дельта-функции переходит в уравнение [c.46]

Предположим, что одна краевая задача характеризуется смещениями Us, Un и напряжениями а на контуре С области R. Предположим далее, что другая задача характеризуется смещениями u s, и п и напряжениями a s, а п на том же контуре С области R. Тогда теорема взаимности утверждает, что работа, производимая первой системой сил (а и а ) на перемещениях второй системы u s и Un) равна работе, производимой второй системой сил a s и Оп) на перемещениях первой системы и и и ). Математически это можно записать в виде [c.112]

Как напряженное и деформированное состояния являются тензорами, так и система коэффициентов податливости образует тензор, но более высокого порядка (ранга). Исследовать его свойства мы не будем, но отметим только, что этот тензор симметричный, т.е. 5, = 5, -. Это вытекает из теоремы взаимности работ (см. 5.6). Работа, например, силы Oydydz на перемещении вызванном силой Оу dx dz, равна работе [c.338]

Легко видеть, что теорема взаимности перемещений представляет собой частный случай теоремы взаимности работ. Например, для двух систем нагрузок, представленных на рис. 11.12, а и 11.12, , можно применить теорему взаимности работ, которая дает РЬаь= Р ьа> отсюда непосредственно следует соотношение (11.18) теоремы взаимности перемещений. Аналогично, применение теоремы к двум системам нагрузок, представленным на рис. 11.13, приводит к соотношению мЬаь—Р Ьа> совпадающему с (11.19). И, наконец, можно получить соотношение (11,20), применив теорему взаимности работ к двум системам нагрузок, представленным на рис. 11.14. [c.453]

Не прибегая к теореме взаимности работ упругой системы, можно чисто формальными методами вывести интегро-дифференциальные уравнения равновесия даже при конечных перемещениях пологой оболочки и оболочки вращения (А. А. Березовский, 1959, 1960). Этот путь применялся в более простых случаях неоднократно и ранее (В. Н. Шаншмелашвили, 1955 И. А. Биргер, 1956). [c.241]

М. Гуртин и Е. Штернберг [2041 установили для теории ползучести изотропных тел аналоги уравнений равновесия в перемещениях (уравнений Ляме), уравнений сплошности в напряжениях (уравнений Бельтрами—Мичелла), теоремы взаимности работ (теоремы Бетти), а также аналоги общего решения однородных уравнений в форме Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича. Аналог уравнений Бельтрами—Мичелла использовался раньше также Н. X. Арутюняном [7]. Упомянутые выше уравнения, как отмечено в [238], могут быть формально получены из соответствующих уравнений теории упругости с помощью принципа 20 [c.20]

Этим доказана сформулированная выше теорема о взаимности виртуальных работ ннешних сил. Мы доказали ее на примере сосредоточенных внешних нагрузок. Однако теорема остается справедливой и для любой внешней нагрузки сосредоточенной, распределенной, внешних моментов. Следует только и.меть в виду, что работа моментон) вычисляется уже не на линейных, а на угловых перемещениях. [c.182]

В действительном состоянии в системе возникают усилия Мхр, ур, Myp, Qxp, Мгр и Мр, а во вспомогательном состоянии — усилия Мх1, 1у1, Му1, Qxi, Мг1 и Кр На основании теоремы о взаимности работ работа внешних сил вспомогательного состояния на соответствующих им перемещениях действительного равна [c.504]

ТЕОРЕМА [взаимности (перемещений перемещение точки А под действием силы, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием силы, приложенной в точке А работ работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещение точки ее приложения под действием первой силы ) Гульдена — Панна ( площадь поверхности, полученной вращением дуги плоской кривой (или ломаной линии) вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но ее не пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести объем тела вращения, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести площади фигуры ) Гюйгенса точка подвеса физического маятника и центр качания суть точки взаимные Гюйгенса — Штейнера момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между ними о движении центра масс ( центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внещние силы, действующие на систему тела с переменной массой центр масс тела с переменной масой движется как точка затвердевшей массы, в которой сосредоточена масса тела в данный момент и к которой приложены главный вектор активных внешних сил и главный вектор реактивных сил ) Жуковского если силу, приложенную к какой-либо точке звена плоского механизма, перенести параллельно самой себе в одноименную точку повернутого плана скоростей, то момент этой силы относительно полюса плана скоростей будет пропорционален ее мощности ] [c.282]

Метод Майзеля [43] основан на обобщении теоремы о взаимности работ на случай статической и квазистатической задач теории утгругих температурных напряжений. Суть его заключается в том, что определение температурных напряжений, деформаций и перемещений сводится к задаче изотермической теории упругости о напряженном состоянии упругого тела под действием единичной сосредоточенной силы. [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...