Взаимность перемещений и работ

В этом разделе понятие энергии деформации будет использовано для вывода теорем взаимности перемещений и взаимности работ. Эти теоремы взаимности полезны во многих случаях и играют важную роль при исследовании конструкций. Более того, они включают некоторые основные теоретические концепции, применимые ко всем линейно упругим конструкциям. [c.446]

Итак, мы рассмотрели общим счетом четыре энергетические теоремы. Это теорема Кастилиано, теорема Лагранжа, теоремы взаимности работ и взаимности перемещений. Одна из них, а именно теорема Лагранжа, пригодна и для нелинейных систем. Эти теоремы понадобятся нам в дальнейшем, и ул<е на следующей лекции мы воспользуемся теоремой Кастилиано для разработки эффективного способа определения перемещений в общем случае нагружения балок. Мы будем обращаться в дальнейшем и к другим теоремам. [c.90]

Другое доказательство этих свойств симметрии с помощью теоремы о взаимности работ приводится в [8]. Соотношения (3.62) для разрешающей системы будут выполняться при условии, если скалярное произведение вектора обобщенных силовых факторов и вектора обобщенных перемещений пропорционально работе внутренних сил в сечении. [c.89]

Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений [c.209]

Здесь Лк - собственные числа, скалярное произведение определяется в соответствии со способом аппроксимации вектора, перемещения и теоремой взаимности работ. [c.61]

Предположим, что одна краевая задача характеризуется смещениями Us, Un и напряжениями а на контуре С области R. Предположим далее, что другая задача характеризуется смещениями u s, и п и напряжениями a s, а п на том же контуре С области R. Тогда теорема взаимности утверждает, что работа, производимая первой системой сил (а и а ) на перемещениях второй системы u s и Un) равна работе, производимой второй системой сил a s и Оп) на перемещениях первой системы и и и ). Математически это можно записать в виде [c.112]

В.9.15. В чем заключается содержание теорем взаимности работ и взаимности перемещений [c.287]

Вариационная теорема моментной термоупругости непосредственно выводится из принципа виртуальной работы. Из вариационной формулы получается энергетическая теорема, с помощью которой доказывается теорема единственности. Доказана теорема о взаимности работ, а с помощью функции Грина получены интегральные представления для температуры и векторов перемещения и вращения. [c.245]

Теорема о взаимности работ и о взаимности перемещений справедлива не только для линейных, но и для угловых перемещений. [c.418]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Принцип взаимности работ и принцип взаимности перемещений [c.57]

Теорема взаимности перемещений была впервые сформулирована Дж. Максвеллом в 1864 г. на примере статически нагруженной плоской статически неопределимой фермы для случая двух сил (см. его статью, цитированную в п. 3.3). Обобщение этой теоремы на случай произвольного числа сил различного типа и на случай гармонических колебаний было дано Релеем (см. сноску 5). Теорема взаимности перемещений представляет собой частный случай теоремы взаимности работ. [c.466]

ТЕОРЕМЫ О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [c.371]

Теоремы о взаимности работ и перемещений имеют большое значение в общей теории исследования напряженного и деформированного состояния стержней, пластинок, оболочек и других расчетных объектов. Их применение существенно упрощает решение многих задач строительной механики, а также производство опытов по определению перемещений. [c.372]

Обозначения перемещений второго состояния приведены на рнс. VII. 16, б. Перемещения, содержащие в своем обозначении два одинаковых индекса, как, например, Ац, А22, называются главными, а перемещения вида А,2, А21 и т. д. — побочными. Докажем теперь теорему о взаимности работ, а именно [c.180]

Теоремы взаимности работ и перемещений [c.192]

Теоремы о взаимности работ и перемещений оказываются весьма полезными, так как позволяют в ряде случаев сильно упростить решение многих задач сопротивления материалов. Это мы увидим, в частности, в следующей главе, где будут рассматриваться общие вопросы раскрытия статической неопределимости систем. [c.193]

Понятие, вычисление, диаграмма, единица, изображение, знак. .. работы. Сумма. .. работ. Взаимность. .. работы (и перемещения). Теоремы. .. о работе. [c.71]

Это и есть теорема взаимности Бетти. Из нее следует, что работа первой системы внешних сил на перемещениях упругого тела, вызванных второй системой внешних сил, равна работе второй системы внешних сил на перемещениях того же тела, вызванных первой системой сил. [c.211]

Теорема взаимности работ и перемещений 394 [c.774]

Теорему о взаимности работ можно сформулировать и так работа внешних сил первого состояния на соответствующих им перемещениях второго состояния равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил второго состояния на соответствующих им перемещениях первого состояния. [c.499]

Определение коэффициентов и свободных членов в канонических уравнениях метода перемещений. Коэффициенты и свободные члены в уравнениях (16.33) определим, выведя специальные формулы для гц и / /р, используя теорему о взаимности работ. [c.594]

Нели рассмотреть основную систему метода перемещений в двух состояниях, например рассмотреть основную систему на рис. 16.39 в состояниях I и 3, то, применяя теорему о взаимности работ [c.594]

Рассмотрим четные итерации, в которых энергия деформации тела V складывается из работы сил на всей поверхности тела LUS. Итерационный процесс (3.15) минимизирует на S работу реакций на заданных из постановки задачи перемещениях 5 = и. Покажем уменьшение работы реакции на S при переходе от нулевой итерации (и =0,m s =u, p g =P5,M i =tPi, P l =0) ко второй (л = 2, Is = u, p s =Р5,м1л = ,pli =pi)- Из теоремы взаимности Бетти для этих двух состояний следует [c.75]

Данная глава начнется с обсуждения принципов возможных перемещений и возможной работы. Затем принцип возможной работы будет использован для формулировки метода единичной нагрузки, представляющего собой аесьма эффективный и полезный метод определения перемщений в конструкциях. Поел этого в качестве иллюстрации приложения метода единичной нагрузки рассматриваются прогиб )1 в балках за счет сдвига, В следующем разделе приводятся теоремы о взаимности перемещений и взаимности работ. Далее излагаются и демонстрируются на примерах методы податливостей и жесткостей, которые являются фундаментальными методами расчета конструкций. Наконец, вторая половица главы посвящена энергетическим методам. [c.417]

Уравнение (268) выражает теорему взаимности теории термо-упругости ). Левую часть можно назвать работой внешних объемных (X",. ..) и поверхностных (X",. ..) сил из вспомогательной задачи, (или всйомогательного состояния) на истинных перемещениях и, V, w) термоупругой задачи. [c.462]

ТЕОРЕМА [взаимности (перемещений перемещение точки А под действием силы, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием силы, приложенной в точке А работ работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещение точки ее приложения под действием первой силы ) Гульдена — Панна ( площадь поверхности, полученной вращением дуги плоской кривой (или ломаной линии) вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но ее не пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести объем тела вращения, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести площади фигуры ) Гюйгенса точка подвеса физического маятника и центр качания суть точки взаимные Гюйгенса — Штейнера момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между ними о движении центра масс ( центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внещние силы, действующие на систему тела с переменной массой центр масс тела с переменной масой движется как точка затвердевшей массы, в которой сосредоточена масса тела в данный момент и к которой приложены главный вектор активных внешних сил и главный вектор реактивных сил ) Жуковского если силу, приложенную к какой-либо точке звена плоского механизма, перенести параллельно самой себе в одноименную точку повернутого плана скоростей, то момент этой силы относительно полюса плана скоростей будет пропорционален ее мощности ] [c.282]

При доказательстве теоремы взаимнести работ будем использовать ту же идею об энергии деформации, что и при доказательстве теоремы взаимности перемещений. Если обе системы нагрузок Р и 2 прикладываются к телу одновременно, то полная энергия деформации (равная работе, совершаемой силами) составляет [c.452]

Легко видеть, что теорема взаимности перемещений представляет собой частный случай теоремы взаимности работ. Например, для двух систем нагрузок, представленных на рис. 11.12, а и 11.12, , можно применить теорему взаимности работ, которая дает РЬаь= Р ьа> отсюда непосредственно следует соотношение (11.18) теоремы взаимности перемещений. Аналогично, применение теоремы к двум системам нагрузок, представленным на рис. 11.13, приводит к соотношению мЬаь—Р Ьа> совпадающему с (11.19). И, наконец, можно получить соотношение (11,20), применив теорему взаимности работ к двум системам нагрузок, представленным на рис. 11.14. [c.453]

С функционалов Сц. При выполнении условия взаимности число независимых функционалов уменьшается до 18. Можно показать, что в случае изотропного упруго-пластического тела коэффициенты Aijmn содержат только два независимых функционала, а тензор Сц становится шаровым с одинаковыми диагональными элементами т. е. имеет только один независимый функционал. В принципе, эти функционалы можно определить экспериментально, однако практически это невозможно вследствие большого числа переменных и вытекаю-лцего отсюда огромного объема экспериментальных работ. Поэтому практически метод черного ящика можно применять лишь к системам с одним входом и одним выходом. Пусть, например, упругопластическое тело подвергнуто растяжению силой Р (вход), в результате чего в некоторых двух характерных точках тела возникает взаимное перемещение и (выход). Единственный функционал, опи-сываюпщй поведение этой системы (т е. эволюцию и в зависимости от изменения Р), определяется эмпирически из серии опытов по нагружению — разгрузке при различных значениях Р. [c.7]

Величины р2/0(х) и р 1ф(л ) называются иногда собственными нагрузками стержня. Применив к этим нагрузкам обобщенный принцип взаимности Рэлея [77], выражающийся здесь в равенстве работы нагрузки pfiQlix) на перемещении бДх) работе нагрузки р11в ,х) на перемещении 64(0 ), получим условие ортогональности собственных форм крутильных колебаний. В самом деле, из равенства этих работ [c.252]

Этим доказана сформулированная выше теорема о взаимности виртуальных работ ннешних сил. Мы доказали ее на примере сосредоточенных внешних нагрузок. Однако теорема остается справедливой и для любой внешней нагрузки сосредоточенной, распределенной, внешних моментов. Следует только и.меть в виду, что работа моментон) вычисляется уже не на линейных, а на угловых перемещениях. [c.182]

Для того чтобы разобраться в этом вопросе, мы рассмотрим удлинение того же самого элемента под действием растягивающего напряжения (рис. 32). Понятно, что вследствие изотропности мы получим только осевое и поперечное изменение длины. Перекосов, т. е. угловых деформаций, не возникнёт. Правая сторона не лучше левой, левая — не хуже правой. Теперь сопоставим две обобщенные силы. Напомню, что под обобщенной силой мы понимаем любую группу сил, характеризуемую одним параметром. Четверка касательных напряжений на рис. 31 характеризуется величиной Тжг, а обобщенная сила, показанная на рис. 32, характеризуется напряжением а - И еще напомню обобщенным перемещением для данной обобщенной силы мы называем множитель при этой силе в выражении работы. Здесь обобщенное перемещение пропорционально удлинению е, а на рис. 31 — пропорционально углу сдвига Ухг-И теперь нам остается вспомнить теорему взаимности работ. [c.41]

Как напряженное и деформированное состояния являются тензорами, так и система коэффициентов податливости образует тензор, но более высокого порядка (ранга). Исследовать его свойства мы не будем, но отметим только, что этот тензор симметричный, т.е. 5, = 5, -. Это вытекает из теоремы взаимности работ (см. 5.6). Работа, например, силы Oydydz на перемещении вызванном силой Оу dx dz, равна работе [c.338]

В действительном состоянии в системе возникают усилия Мхр, ур, Myp, Qxp, Мгр и Мр, а во вспомогательном состоянии — усилия Мх1, 1у1, Му1, Qxi, Мг1 и Кр На основании теоремы о взаимности работ работа внешних сил вспомогательного состояния на соответствующих им перемещениях действительного равна [c.504]

Метод Майзеля [43] основан на обобщении теоремы о взаимности работ на случай статической и квазистатической задач теории утгругих температурных напряжений. Суть его заключается в том, что определение температурных напряжений, деформаций и перемещений сводится к задаче изотермической теории упругости о напряженном состоянии упругого тела под действием единичной сосредоточенной силы. [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...