Бетти

Выражение (13.40) носит название теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти). Она формулируется следующим образом возможная работа внешних (или внутренних) сил состояния 1 на перемещениях состояния 2 равна возможной работе внешних (или внутренних) сил состояния 2 на перемеш,ениях состояния 1. [c.372]

Докажем теорему, имеющую важные приложения, а именно теорему о взаимности работ, или теорему Бетти (по имени итальянского ученого, который первым ее опубликовал). Для этого рассмотрим какую-нибудь линейно-деформируемую систему в дву.ч различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам (рис. VII.16). Для простоты выкладок рассмотрим простую балку, нагруженную в обоих состояниях самой простой нагрузкой (по одной сосредоточенной силе). Нагрузка, внутренние усилия [c.180]

Принимая / 1 = / 2 = 1, получим из теоремы Бетти но формуле (VII.31) [c.184]

Теорема Бетти, см. Бетти теорема [c.360]

ТЕОРЕМА БЕТТИ(см. принцип взаимности работ). ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ И ДЕФЕКТЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ВИБРАЦИОННЫЕ ПАРАМЕТРЫ. Отклонение от идеальной формы элементов машин вызывает изменение параметров вибрации. Для машин и механизмов такими источниками вибрации являются опоры, элементы передачи движения, трущиеся контакты и другие. Наличие дефектов и допустимых технологических погрешностей в них вызывает их [c.72]

Она формулируется следующим образом Работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы. Она получила название теоремы Бетти (по имени итальянского ученого, который первым ее опубликовал). [c.70]

Доказательство теоремы Бетти. По определению [c.127]

Теорема взаимности Бетти [c.210]

В силу тождества Бетти (4.61) из (8.1) и (8.2) получим [c.211]

Это и есть теорема взаимности Бетти. Из нее следует, что работа первой системы внешних сил на перемещениях упругого тела, вызванных второй системой внешних сил, равна работе второй системы внешних сил на перемещениях того же тела, вызванных первой системой сил. [c.211]

В самом деле, если к случаям, изображенным на рис. 16, а или 16,6, применить теорему взаимности виртуальных работ теорема Бетти), то получим [c.47]

Принимая во внимание формулу Бетти (3.77), из сопоставления последних равенств (5.20) и (5.21) приходим к заключению [c.93]

Теорема Бетти имеет весьма общий характер. Она позволяет построить методы интегрирования уравнений теории упругости, основанные на использовании функций Грина [41, [c.95]

Перейдем к вопросу о единственности решений и начнем с рассмотрения статических задач. Будем предполагать, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией. Тогда для этих смещений в области О, ограниченной, вообще говоря, кусочно-гладкой поверхностью 5, справедливо третье неравенство Бетти (4.26) гл. И. Пусть 1 (р) и 2(р) — два различных регулярных решения, удовлетворяющие одним и тем же краевым условиям первой, второй или сразу в общем случае смешанной задач. Тогда интеграл в правой части (4.26) гл. II для разности смещений окажется равным нулю. Поскольку же подынтегральное выражение в левой части является положительно определенной формой, то из равенства нулю интеграла будет следовать, что подынтегральное выражение есть тождественный нуль. Следовательно, напряжения будут обращаться в нуль, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Однако в случае первой и смешанной задач необходимо исключить это смещение, поскольку тогда нарушаются условия на той части границы, где заданы смещения. [c.251]

Применим теперь двумерную формулу Бетти (4.26 ) гл. II к области, ограниченной контуром (см. рис. 23). Тогда для функций ( 40) и (8.42), получим [c.318]

Начнем построения с =1. Формула Бетти принимает вид — V Ь. u) йО.— uT V —у Т и)й8 = 0. (1.9) [c.550]

Поскольку формулы Бетти справедливы для случая областей, ограниченных несколькими поверхностями, то очевидно, что и полученные выше тождества также остаются справедливыми ). [c.551]

Преобразуем это тождество, воспользовавшись второй формулой Бетти (4.260 гл. И, применив ее к смещениям Va и Vb. Тогда получим равенства [c.563]

Равенство (2.16) позволяет установить еще один результат. Применим для этого третью формулу Бетти (4.26 ) гл. II к смещениям Va и Vь [c.563]

Как ранее отмечалось, все формулы Бетти, привлекаемые для спектрального анализа, оказываются справедливыми и для области, ограниченной несколькими поверхностями. Поэтому оказываются справедливыми утверждения, связанные с вещественностью собственных значений и их величин (они по модулю не меньше 1). Требуется лишь произвести дополнительный анализ для точек X = 1. [c.567]

Доказательство последнего утверждения требует использования тождества Бетти (здесь имеет место полная аналогия со случаем уравнения Гельмгольца см. 7 гл. I). [c.571]

При доказательстве единственности будем исходить из первой формулы Бетти (см. 4 гл. II) [c.599]

Пусть О а — область, вырезанная из полупространства сферой S радиуса Я с центром внутри 51 (/ 1 > Фат 51). Согласно первой формуле Бетти (4.26) гл. II имеем [c.602]

Согласно третьей формуле Бетти (4.26 ) гл. II (с учетом того, что смещения удовлетворяют неоднородному уравнению) получаем равенство [c.621]

ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ РАБОТС теорема Бетти )указы-вает на то, что при воздействии на колебательную систему двух [c.63]

Это утверждение известно в теории упругости под названием теоремы Бетти о взаимности работ по существу оио эквивалентно утверлще-нию о симметричности оператора А, заданного формулой (2.495), [c.126]

Тождество Бетти показывает, что для одного и того же линейноупругого тела работа первого напряженного состояния на деформации второго напряженного состояния равна работе второго напряженного состояния на деформации первого напряженного состояния. [c.73]

Теорема Бетти утверждает работа сил первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе сил второго совтоя-ния на перемещниях первого состояния. [c.93]

С помощью теоремы Бетти весьма просто можно решить некоторые задачи об упругом теле, находящемся в равновесии под действием массовых сил fi й поверхностных ti, В качестве первого состояния рассматриваемого тела примем некоторое простейшее его напряженНр-деформированное состояние, а за второе — состояние под действием заданных сил /г и [c.93]

Сопоставив сумму произведений всех компонент напряжений первого состояния на соответствующие компоненты деформаций второго состояния и аналогичную сумму для произведений напряжений второго состояния на деформации первого состояния. Очевидно, равенство этих сумм, в связи с чем справедливо тождество (которое в дальнейщем используется при выводе формулы Бетти) [c.221]

Для доказательства высказанных утверждений необходимо произвести ряд построений. Обратимся ко второй формуле Бетти (4.26) гл. II, применив ее для области, заключенной между заданной поверхностью 5 и сферой сге радиуса е с центром в некоторой точке Цо. Пусть при этом смещение и р) удоплст-воряет уравнению Ламе во всей области 0+, а смещение у(р) порождается силой, приложенной в точке ро и имеющей рапную [c.549]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...