Некоторые простейшие неравенства

Некоторые простейшие неравенства. Для дальнейшего необходимо иметь асимптотические по т оценки первых двух производных пол [c.325]

Некоторые простые статические неравенства [c.315]

В то же время известны общие универсальные математические методы, позволяющие, в частности, находить решения некоторых классов задач теории упругости. Справедливость их применения в процессе получения решения базируется на существовании специальных неравенств. Естественно, что методически более оправданным является обстоятельное построение этих неравенств для упрощенных задач (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения Лапласа), рассматриваемых (вместе с общей теорией) в математической главе. С учетом этого при изложении задач теории упругости оказалось целесообразным отметить лишь специфику построения соответствующих неравенств, ограничившись при этом простейшими областями (ввиду сложности построения оценок в общем случае). Такой подход реализован, например, при рассмотрении вариационных методов. [c.7]

Неравенство (3.48) является аналогом условия (3.41). Имеются некоторые алгебраические условия, достаточные для того, чтобы выполнялось неравенство (3.48). На практике, однако, их используют редко, и мы не будем их приводить. Сформулируем лишь простой необходимый признак устойчивости. Обозначим через к], Х2,. .., Лр собственные значения матрицы перехода 5. Очевидно, А,2",. .., Хр" — собственные значения матрицы S". Наибольшее по модулю собственное значение матрицы не превышает ее нормы (см. 1.6), поэтому [c.87]

Все эти неравенства имеют простой физический смысл. Пусть в однородной системе, которая вначале находилась в равновесном состоянии, возникло возмущение. Из первого неравенства (7.6) следует, что система стремится восстановить первоначальную, одинаковую во всех ее частях, температуру. Это вытекает из следующих соображений, аналогичных тем, которые были уже использованы выше. Если возмущение состояло в отрицательном изменении энтропии за счет передачи некоторого количества теплоты внешнему источнику, то температура системы согласно (7.6) понизится, что приведет к увеличению разности температур между источником теплоты и системой, а также к притоку теплоты от внешнего источника к системе. В результате температура системы выравнивается. Второе неравенство (7.6) указывает на стремление системы возвратиться к первоначальному значению давления. Неравенство (7.7) означает, что система стремится [c.473]

Если коэффициент жесткости соединения 12, s, связывающего центральное кольцо 12 с опорным звеном s, удовлетворяет неравенству (52), то динамическая схема замкнутого дифференциального редуктора может быть упрощена. В этом случае эквивалентный планетарный ряд 1 может быть представлен в динамической схеме редуктора в виде одной из сосредоточенных масс 11 или 13, моменты инерции которых определяются по формулам (55). Приведение упруго-инерционных параметров динамической схемы замкнутого дифференциального редуктора имеет некоторые особенности по сравнению с простыми многорядными планетарными редукторами. Эти особенности возникают вследствие наличия в замкнутом контуре дифференциального планетарного ряда. Если осуществить непосредственное приведение инерционных параметров и крутильных координат масс 21 и 22 к скорости вращения, например, звена 11, то это приведет к нарушению цепной структуры динамической схемы. Действительно, в указанном случае еобходимо осуществить линейное преобразование крутильных координат звеньев планетарного ряда 2 по формулам [c.126]

Пусть в некоторой окрестности U корня х функция ф дифференцируема и удовлетворяет неравенству ф (х) I < 9, где О < 9 < 1 — постоянная. Тогда при любом начальном приближении х е U метод простой итерации сходится со скоростью геометрической прогрессии и справедлива оценка [c.129]

Отсутствие идеальной последовательности у автора, за которым история справедливо признает необычайное дарование в решении технических вопросов, помогает понять, почему проблема сложения насильственного и естественного импетусов могла стать узловым пунктом всех затруднений. Было преодолено предубеждение против одновременного наличия этих двух противоположных сущностей, но их сосуществование можно было мыслить только в форме некоторого конфликта, а не в виде настоящего объединения. Таким образом, случай вертикального броска можно было объяснить относительно просто, поскольку борьба происходила между одинаково направленными импетусами, и ее можно было описать в терминах неравенства и раз- [c.67]

Справедливость этих неравенств проверялась экспериментально и численными расчетами на ряде простейших элементов конструкций изгиб балок, кручение стержней, расчет трубы под внутренним давлением. Ниже приводятся некоторые из этих результатов. [c.736]

В другой работе Н. Д. Моисеев (1949) привлекает к решению задачи технической устойчивости неравенство Боля (1900) и дает некоторые его обобщения. Неравенство Боля относится к решениям системы дифференциальных уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Липшица. Полученные критерии технической устойчивости, определяющиеся только константами Липшица, просты для расчета, но весьма грубы. [c.61]

Система уравнений (3-56) — (3-58) является решением поставленной задачи. Однако получить рабочие расчетные формулы на основании этой системы уравнений удается лишь в отдельных случаях для однородных тел простой формы и некоторых систем тел. Найдем приближенное решение задачи, предположив, что температурное поле системы вошло в стадию регулярного режима. На основании неравенств (3-33) й решения (3-57) для е сделаем следующее предположение для моментов времени, не очень близких к начальному, в (3-57) можно пренебречь в некоторых случаях всеми членами ряда, кроме первого, еще задолго до наступления стационарного состояния, т. е. [c.93]

Пусть О — простое состояние равновесия данной системы, рассматриваемом в некоторой области G плоскости х,у), содержащей точку О. Пусть изоклины Р х, у) = О и О (х, у) = О разделяют область G на четыре области, определяемые следующими неравенствами [c.224]

В 1965 г. Д. Белл опубликовал статью [29], в которой проблема скрытых параметров была рассмотрена с некоторой новой точки зрения, А именно, он показал, что предположение о существовании скрытых параметров, т.е. близкая к классическим представлениям гипотеза о статистике событий, позволяет получить ряд неравенств, которые не согласуются с квантовой теорией и могут быть прямо проверены в эксперименте. Мы познакомимся здесь только с самым простым примером неравенств Белла. [c.121]

Предыдущие рассмотрения показывают, что для того, чтобы получить правдоподобные результаты на основе любой теории упругости, необходимы дополнительные неравенства некоторого вида. Недостаточно потребовать просто, чтобы каждая функция реакции 0 , определяемая в общей теории согласно (VII. 1-2), была функцией, приводящей к неравенствам (X. 1-1) при бес- [c.314]

В последующих параграфах мы увидим, что ряд простых результатов можно получить, когда функция реакции удовлетворяет некоторым дополнительным дифференциальным тождествам или неравенствам. [c.339]

Более точно можно определить Мт как геометрическое место тех точек допустимой области (I, i,..., Рз, рз), в которых функция (33) 394 принимает постоянное значение А, причем слово допустимой означает, что структура этой области отвечает некоторым требованиям. Например, наклонность i должна рассматриваться как угловая переменная (mod л), а еслп требуется (как и в 394), чтобы треугольник Д был невырожденным, то подпространство трех расстояний р,- должно определяться неравенствами О С pi < Pj + Pit. Фактически полное многообразие всех возможных состояний движения в задаче трех тел получим лишь в том случае, если также включим, с одной стороны, предельные случаи сизигий и коллинеарных решений, когда, АI = О С pi = Рз -f- рй для одной какой-либо системы индексов I, /, к и, с другой стороны, предельные случаи парных и одно-1 ременных столкновений, когда по крайней мере одно pi = 0. Действительно, в 498—500 мы увидим на сравнительно простом примере, насколько существенными являются столкновения для понимания топологической структуры. Конечно, лишь детальный анализ позволит решить, какова допустимая область (I, I, Pl, Рг, Рз) в случае, когда (pi, рз, рз) соответствует какому-либо из предельных случаев. [c.422]

В любом линейном нормированном пространстве можно весьма просто установить понятие о неравенствах между элементами. Это в свою очередь позволяет ввести в таких пространствах понятие о позитивных функционалах. Оказывается, и здесь имеют место теоремы о расширении позитивных функционалов. Эти теоремы можно рассматривать, как обобщения некоторых из результатов 1 предыдущей статьи. Но они также представляют самостоятельный интерес и могут быть использованы в различных целях [c.151]

Чтобы свести сложные вероятностные задачи к более простым часто используются также различного рода неравенства. Так если закон распределения некоторой функции t= > zu 2 2,... [c.93]

При наличии нескольких нагрузок последним в предельном состоянии отвечает некоторая поверхность ( поверхность текучести ) для нее найденные неравенства позволяют в принципе построить двусторонние оценки. Простые и важные результаты можно получить в случае пропорционального нагружения. [c.295]

Учтем теперь, что- в реальном лазере часть света, чтобы ее можно было использовать, должна быть выпущена из активной среды наружу. С этой целью одно из зеркал, например делается полупрозрачным. Кроме того, и зеркало 5 лишь частично отражает свет, хотя коэффициент отражения его и близок к 100%. Это приводит к ослаблению светового пучка. Чтобы лазер был генератором света, необходимо, чтобы усиление светового пучка в активной среде превосходило некоторое минимальное — пороговое — значение. Именно, должно быть выполнено следующее условие. Световой пучок, вышедший от 51, после прохождения туда и обратно через активную среду и отражения от 5 должен вернуться в исходное положение с неменьшей интенсивностью. Иначе в результате последовательного повторения этих процессов интенсивность пучка будет непрерывно убывать и лазер перестанет генерировать. Поэтому для генерации недостаточно выполнения простого неравенства (120.3). Оно должно быть выполнено с некоторым запасом, т. е. число атомов на верхнем уровне в единице объема активной среды должно превышать некоторое минимальное — пороговое — значение. [c.714]

Этап решения дифференциальных уравнений движения можно миновать для механизмов, уравнения движения которых являются линейнылш дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют общее решение, которое достаточно просто можно ввести непосредственно в программу на ЭЦВМ При создании этих механизмов у конструкторов появляется некоторая свобода выбора схемы. Система с п степенями свободы может иметь п (2л -р I) постоянных коэффициентов в левых частях дифференциальных уравнений движения. Эту систему можно заменить одним уравнением 2л порядка с 2п + 1 постоянными коэффициентами В[. Коэффициенты В однозначно определяют движение каждого элемента системы, поэтому оптимизировать можно коэффициенты В . Найденным оптимальным значениям В,- отвечает ряд линейных систем с п степенями свободы, и конструктор может выбрать наиболее рациональную. Однако при таком подходе приходится решать еще дополнительную алгебраическую систему уравнений (равенств нз зависимостей между С[ к Вi а неравенств, вытекающих из ограничений на реальные значения параметров). [c.130]

Одной из простейших моделей разрушения является модель мгновенного откола. В этохт модели считается, что разрушение вещества происходит в тот момент, когда напряжение достигает некоторого заданного значения о р. Условия сохранения прочности име- ют вид неравенств [c.242]

Во всех слагаемых потенциальной функции Фа параметр т удовлетворяет сильному неравенству т С обеспечивающему разделение корней характеристического уравнения на большие и малые. Это значит, что функции Фа соответствует напряженно-деформированное состояние, составляющееся из обобщенного основного напряженного состояния и простого краевого эффекта. Следовательно, процедура построения Фа (с удовлетворением граничных условий) представляет собой некоторое обобщение метода расчленения, в котором основйоё напряженное состояние заменено обобщенным основным напряженным состоянием ( 11.27). [c.377]

В простейшем случае (одинаковая мощность всех мод и синфазная модуляция потерь) в каждой из мод имеются лишь два резонанса основной Qo и (k—1) —кратно вырожденный резонанс на более низкой частоте около Qo/2, где k — полное число продольных мод. В суммарном излучении всех мод остается лишь один высокочастотный резонанс, низкочастотный отсутствует. Этот факт является следствием эффективной противофазности колебаний мощности излучения в модах на низкочастотном резонансе. Складываясь, эти колебания компенсируют друг друга. Такие скомпенсированные колебания мод в низкочастотных резонансах наблюдаются практически во всех случаях модуляции параметров лазеров на гранате с неодимом. Поэтому многомодовые лазеры в суммарном излучении ведут себя практически так же, (как и одномодовые. Наблюдающееся некоторое отличие заключается только в том, что за счет неравенства мощностей излучения различных мод низкочастотные резонансы компенсируются не полностью и проявляются в суммарном излучении, нарушая регулярность пульсаций мощности. Наряду с компенсацией низкочастотных резонансов, при противофазной модуляции потерь в модах наблюдается также компенсация и высокочастотного резонанса, т. е. в суммарном излучении могут пропасть все резонансы. Все эти закономерности в АЧХ. многомодовых лазеров, полученные при теоретическом анализе уравнений генерации лазера, наблюдаются на практике в ваде пульсаций выходного излучения. На рис. 3.8 и 3.9 приведены картины характерных АЧХ многомодовых непрерывных лазеров на гранате с неодимом, полученные расчетным путем и Э1КСпер Иментально. [c.81]

Очевидно, что достаточное условие дает и более грубое неравенство, в котором (U(S)) заменено некоторой мажорирующей функцией, а i/o -некоторой меньшей величиной. Это обстоятельство открывает возможности применения энергетических оценок. Для того чтобы оценить значение Uo снизу, можно воспользоваться в соответствии с утверждением 1 (разд. 4.2) либо ужесточением части тела, либо заменой контура Го на заключенный внутри него контур Г, имеющий более простую форму, либо комбинацией обоих этих приемов. [c.160]

Сокращение чи гла альтернативных вариантов в столбцах и числа столбцов. Наиболее эффективные ТР из множества всех вариантов можно выбрать путем последовательного сокращения этого множества за счет отбрасывания наименее эффективных и наименее перспективных ТР. Первое сокращение проводят для выполненйя неравенства N < Ноб, где N вычисляется по формуле (21.1) — некоторое обозримое число возможных вариантов ТР. Для относительно простых технических объектов, для которых сравнение двух любых вариантов ТР занимает в среднем не более 10 с, можно принять N 6 = Ю ООО. Для сложных объектов N 6 = 1000. Если по формуле (21 Л) получают N > N06, то в каждом столбце проводят сравнительный анализ альтернативных вариантов для выявления среди них наилучших и наихудших по степени удовлетворения основным требованиям, по степени снижения недостатков прототипа и улучшения его критериев качества. Отбрасывая наихудшие альтернативные варианты в каж- [c.310]

Из неравенства (9.21) вытекает важное следствие, которое позволяет решить всю задачу о структуре фронта, описываемую нелинейными уравнениями, простейшим способом. Излучение нагретого тела, граничащего с прозрачной средой (или вакуумом), генерируется в основном в слое около поверхности тела, имеющем оптическую толщину порядка единицы или нескольких единиц (кванты, рожденные в более глубоких слоях, не в состоянии выйти наружу, почти полностью поглощаясь по пути). Эффективная температура излучения совпадает с некоторой средней температурой этого излзп1ающего слоя. Но в силу неравенства (9.21) эффективная температура очень близка к температуре нижнего края волны Гг- Значит, температура вещества за точкой т = О, где Г = Гг, меняется очень мало на оптическом расстоянии порядка нескольких единиц в глубь волны. Это позволяет сделать следующие заключения. [c.500]

Парадокс ЭПР и связанные с ним неравенства Белла выглядят как своего рода нелокальные взаимодействия, т.е. бессиловые переносы информации на большое расстояние, возможно, даже со сверхсветовой скоростью. Поэтому в научной литературе не раз обсуждался вопрос о возможности создания "сверхсветового телеграфа". Нетрудно видеть, что в прямом варианте одиночной ЭПР-пары парадокс ЭПР для этой цели не подходит. В самом деле, измерение, проводимое над первой частицей, является чисто случайным и его невозможно заранее предсказать и контролировать. Ситуация здесь, хотя и отличается от классической, но в некотором смысле сходна с тем, как если бы черный и белый шары были спрятаны порознь в разные ящики, а ящики разнесены далеко друг от друга. Вскрытие первого из ящиков сразу показывает, какого цвета шар находится как в нем, так и во втором ящике. Никакой передачи информации здесь нет это просто заранее известная корреляция вероятностей. Квантовый случай отличается лишь тем, что до открытия ящика шары не имеют цвета. Но как только мы открыли первый ящик и "засветили шар" (как это происходит с фотопластинкой), то сразу же у него появляется цвет. [c.123]

Согласно (2) распределения основных величин по пространству (по координате х) в любой момент времени i > О получаются из одного такого распределения при i = 1 простым изменением масштаба по оси х (растяжением координаты а ). Так как в решении вида (2) основные величины постоянны вдоль каждого луча Л = onst, то его изображение на плоскости событий R x,t) должно состоять из секторов с вершиной в начале координат, определяемых неравенствами вида Л < А < А", внутри которых движение гладкое, а границы представляют собой линии сильного или слабого разрыва. При этом, если гладкое движение в некотором секторе не постоянно, то оно должно быть простой волной, линия.ми уровня которой являются лучи X = Xt. Следовательно, такой сектор с необходимостью образован центрированной (в точке (0.0)) простой волной разрежения. Один из возможных типов решения показан на рис. 1. [c.167]

Мы будем называть наборы значений я, X, и т. д., указанные в строках 1, 2, 3 таблицы, соответственно первым, вторым и третьим стандартными способами интерпретации приведенного неравенства диссипации в механике сплошной среды. Они не являются единственно полезными способами интерпретации. В некоторых теориях трехмерных континуумов с внутренней структурой, а также в теориях стержней и оболочек выполняется приведенное неравенство диссипации в форме (7), но векторные пространства, в которых лежат значения Яиц, имеют размерности, отличные от 10 и 3. Более простым примС ром служит теория уравнений состояния XIV. 5 подробнее об этом примере говорится в приведенном ниже упражнении. [c.438]

Вообще говоря, решение вида с,-/ является при соответствующем выборе постоянных с/ точным для квадратично-нелинейных систем с квадратичным трением без внешнего воздействия. В работе (70] были исследованы условия отсутствия таких решений для цепочки с простым зацеплением (3.4) гл. 4. При этом условие изменения знака модой о приводит к некоторому неравенству, содержащему д и константу с, входящую в выражение (3.3) гл. 4 для стационарного решения цепочки. Для двухмодовой цепочки оно имеет [c.262]

Последнее выражение есть уже сумма фейнмановских диаграмм некоторые из фермионных линий свободны (те, что идут из К() другие соответствуют О,. К сожалению, не существует иного простого пути избавиться от этой неполиномиальной зависимости от А, кроме как с помощью неравенства [c.152]

Неравенства (2.25) [или (2.26) и (2.27)] и (2.28) имеют простой физический мысл. Пусть в однородной системе, которая вначале находилась в равновесном остоянии, возникло возмущение. Из неравенства (2.26) следует, что система стремится восстановить первоначальную, одинаковую во всех ее частях, температуру. )то вытекает из следующих соображений, вполне аналогичных тем, которые исполь-ованы в 1.7. Если возмущение состояло в отрицательном изменении энтропии а счет передачи некоторого количества тепла внешнему источнику, то температура истемы согласно (2.26) понизится, что приведет к увеличению разности темпера-ур между источником тепла и системой и к притоку тепла от внешнего источника системе, в результате чего температура системы начнет повышаться. Неравенство 2.27) указывает на стремление системы возвратиться к первоначальному значению 1авления неравенство (2.28) означает, что система стремится восстановить перво-1ачальное, одинаковое во всех точках, распределение обоих веществ. [c.65]

Здесь y и y — решения разпостпой задачи (1.1 ) — (1.3 ) с входными данными соответственно уо, ф, v и уо, ф, v ll-H(i), — некоторые нормы в пространстве сеточных функций. Свойство разностной схемы, выраженное неравенством (1.5), и называется устойчивостью схемы (1.1 ) —(1.3 ) по входным данным или просто устойчивостью. [c.155]

Яу (Л )для некоторого /г 2, п произвольно) приводит к упрощению в том смысле, что в рассматриваемых тогда нормах не появляется член " nh ", присутствующий для /г=--1. Таким образом, неравенство (3 3 61) заменяется неравенством более простого вида (см. Нитше [8]) [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...