Условия и уравнения равновесия твердого тела

Условия и уравнения равновесия твердого тела [c.320]

Чтобы тело находилось в состоянии равновесия, сумма действующих на него сил и сумма моментов сил должны быть равны нулю. Положение тела, в котором выполняются эти условия, является положением равновесия. Из уравнений (13.24) и (13.25) вытекают условия, определяющие положение равновесия твердого тела [c.413]

Qy, Qz, Му и Мг- Для неподвижного прикрепления сечения нужно наложить шесть связей, усилия в которых могут быть найдены из шести уравнений равновесия твердого тела. Количество связей в пространственных системах, превышающее указанное число, дает степень статической неопределимости. Так, пространственная рама, изображенная на рис. 438, а, шесть раз статически неопределима, так как для определения двенадцати неизвестных реакций можно составить только шесть условий равновесия. Один из вариантов основной статически определимой системы показан на рис. 438, б. Для определения шести неизвестных усилий решаем шесть канонических уравнений обычного вида (см. 92), [c.454]

Но предположение о неизменяемости системы 5 влечет за собой следствие, аналогичное указанному в статике для основных уравнений равновесия твердых тел (т. I, гл. ХП1, 2) и заключающееся в том, что в основных уравнениях (1) ы (2) или (1), (2 ) мы имеем не только систему уравнений, необходимо выполняющихся в тече пае всего времени движения твердого тела, но и совокупность условий, достаточных для определения (при заданных начальных условиях ) этого движения. [c.8]

Исходя из этой формулы, Лагранж получает все частные и общие свойства равновесия механических систем шесть уравнений равновесия твердого тела, условия равновесия систем, подчиненных связям (способ множителей Лагранжа), условие устойчивого равновесия консервативной системы, введение силовой функции (без какого-либо названия) — вот далеко не полный перечень важнейших оригинальных вкладов Лагранжа в развитие аналитической статики. Следует подчеркнуть, что метод неопределенных множителей Лагранжа является не просто формальной операцией вычислительного характера, а содержит в себе принцип освобождаемости от связей, впервые четко сформулированный и разработанный для различных случаев [4, с. 111] ...таким образом,, применяя эти силы, можно рассматривать тела как совершенно свободные и не подчиненные каким бы то ни было связям . [c.101]

Модели для анализа напряжений и упругих деформаций твердых тел формируют с помощью основного уравнения теории упругости — уравнения Ламе. Это уравнение получается из условия равновесия сил, действующих на элемент твердого тела в направлении оси Xii [c.157]

Теорема 6.3.1. Еслп ось вращения служит главной и центральной осью инерции тела, то уравнения для определения реакций Ri, R2, R[, R 2 совпадают с уравнениями, получающимися из условий равновесия твердого тела. [c.456]

Условия равновесия твердого тела. Тело будет оставаться в состоянии покоя, если нет причин, вызывающих его движение. Согласно уравнениям (5.26), для этого необходимо и достаточно выполнение двух условий [c.150]

Уравнение (И. 5)—известное условие равновесия твердого тела с неподвижной осью ( 68 т. 1). [c.116]

В общем виде мы воспользуемся уравнениями (13.24) и (13.25) только для определения условий равновесия твердого тела. Но прежде приведем некоторые соображения, прямо вытекающие из вида этих уравне))ий. Если мы будем переносить силы вдоль их направления, т. е. заменим силы fi, Fg и т. д. силами F, F l, F s и т. д. (рис. 199), то не изменятся ни компоненты сил Fx, Fy, F , ни компоненты моментов сил Мх1 Му, Мг (так как плечи сил останутся прежними) следовательно, не изменится и движение тела. Поэтому точки приложения сил, действующих на твердое тело, можно переносить вдоль направления сил, — прием, которым постоянно пользуются. Это можно делать именно потому, что уравнения (13.24) и (13.25), определяющие движение тела, при этом не изменяются. [c.412]

Метод решения этих задач по существу остается таким же, как и в случае плоской системы сил, но в общем случае мы имеем шесть условий равновесия. Поэтому в задаче о равновесии несвободного твердого тела в общем случае мы можем составить шесть уравнений, а не три, как в случае плоской системы сил. При этом следует иметь в виду, что поскольку при составлении уравнений равновесия (уравнений (77) предыдущего параграфа) выбор координатных осей произволен, то при равновесии твердого тела сумма проекций всех приложенных к нему сил на любую ось и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю. При составлении уравнений равновесия следует стремиться к тому, чтобы эти уравнения были возможно проще, т. е. чтобы каждое из них содержало возможно меньшее число неизвестных сил. Этого можно достигнуть соот- [c.196]

Равенства (11) и (12) выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил. [c.36]

Два первых и последнее уравнения дают необходимые условия равновесия твердого тела. Три остальных уравнения определяют силы реакции, действующие на твердое тело. Очевидно, что из трех уравнений можно определить только три неизвестные силы реакции. Задача определения сил реакции в том случае, когда твердое тело касается плоскости более чем тремя точками, не может быть разрешена методами статики абсолютно твердого тела и является статически неопределимой задачей. Для разрешения такого рода задач необходимо вводить дополнительные гипотезы. [c.138]

Допустим, что жидкость внутри выделенного объема отвердела, что не изменяет условий равновесия. Тогда, поскольку масса йт представляется как твердое тело и остается в равновесии, можно воспользоваться известными уравнениями статики твердого тела, а именно уравнениями проекций сил и уравнениями моментов [c.9]

Указанный путь решения задачи, конечно, не единственный. Можно, например, составить три уравнения равновесия для тела М, а остальные три —для системы тел М и М, принимая их за одно твердое тело, или составить уравнения равновесия для тела N и уравнения равновесия для системы тел М и как для одного твердого тела. Целесообразность применения того или иного способа решения задачи зависит от условий конкретной задачи. [c.79]

При выводе формул (2) мы воспользовались только тремя условиями равновесия твердого тела, именно суммы проекций действующих сил на каждую ось равны нулю тремя же остальными условиями суммы моментов сил относительно каждой из осей равны нулю, мы не пользовались. Покажем теперь, что эти последние три условия сами собой удовлетворяются при существовании уравнений (2) и никаких новых связей между силами давлением и плотностью не дают. Возьмем для этого параллелепипед конечных размеров, грани которого пусть параллельны плоскостям координат (фиг. 381). Будем составлять сумму моментов сил относительно оси Ох, Силы будут слагаться из сил, действующих ка массу, и из сил давления. Вырежем бесконечно тонкую приаму с основанием йо, параллельную оси [c.616]

Сколько уравнений дает закон моментов количеств движения. Уравнение (61) можно применять для любой неподвижной оси, т. е. переменяя эти оси, можно получить сколько угодно таких уравнений. Подобно этому и уравнения количеств движения можно применять к любому направлению, к проекции движения на всякую ось. Выберем три координатные оси и напишем для них как уравнение количеств движения, так и уравнения моментов количеств движения получим шесть уравнений. Легко убедиться в том, что дальнейшей переменой осей мы получим уравнения, которые представляют следствия прежних шести уравнений, следовательно, не получим ничего нового. Для этого вспомним, что наши уравнения получаются из принципа отвердения v и представляют условия равновесия сил, приложенных к твердому телу. А для равновесия твердого тела необходимо и достаточно выполнение шести уравнений равновесия. Все остальные условия равновесия, как проекции на любую ось, так и моменты для любой оси, будут следствиями этих шести и не дадут ничего нового. [c.198]

Обозначим через К силу, с которой звено Р -хР действует на точку Р . Запишем условия равновесия твердого тела, состоящего из точки Р и невесомого звена Р Рг- -1, см. рис. 7. На это тело действует сила трения Г, сила К со стороны звена Рг-хРг, сила (—К +1) со стороны звена Р +1Рг+2, а также моменты М и (—Мг- -1) со стороны соседних звеньев. Уравнения равновесия рассматриваемого тела имеют вид [c.788]

Кинетика изучает движение и равновесие материальных тел под действием сил. Основной задачей кинетики является определение законов механического движения тел при известных действующих силах. Отдел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил, обычно называют динамикой. Отдел механики, в котором изучается равновесие материальных тел под действием сил, называют статикой. Динамика и статика, рассматриваемые совместно, составляют кине тку. Такое совместное рассмотрение полезно для изложения, так как многие выводы статики можно получить как частные случаи из уравнений динамики. Доказательства многих теорем выигрывают и в строгости, и в ясности при совместном рассмотрении проблем движения и проблем равновесия. Необходимые и достаточные условия равновесия твердых тел нельзя получить без знания законов динамики. [c.43]

Равновесие твердого тела. Необходимым и достаточным условием того, чтобы твердое тело находилось в покое, является система уравнений [c.206]

Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он позволяет при составлении условий равновесия рассматривать любое изменяемое тело (ремень, трос, цепь и т. п.) или лк>-бую изменяемую конструкцию как абсолютно жесткие и применять к ним методы статики твердого тела. Если полученных таким путем уравнений для решения задачи оказывается недостаточно, то дополнительно составляют уравнения, учитывающие или условия равновесия отдельных частей конструкции, или их деформации (задачи, требующие учета деформаций, решаются в курсе сопротивления материалов). [c.15]

Таким образом, если система тел находится в равновесии, то внешние силы, приложенные к этой системе, удовлетворяют тем же трем уравнениям равновесия, что и в случае равновесия одного абсолютно твердого тела. Эти уравнения представляют собой условия равновесия внешних сил, действующих на систему. [c.59]

Рассмотрим равновесие катка как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием четырех сил Q, Рт ш М Р- Так как по условию требуется найти только минимальное и максимальное значения силы/ при равновесии, то из трех уравнений равновесия [c.112]

Задачи на определение равновесия пространственной системы сил решают аналогично задачам на равновесие плоской системы сил. Сначала выделяют твердое тело, равновесие которого надо рассмотреть, потом к этому телу прикладывают все действующие на него заданные в условии задачи и искомые силы (и пары сил), а затем составляют и решают уравнения равновесия. [c.102]

Из результатов, полученных Кирхгофом в механике твердых деформируемых тел, отметим слёдующие обоснование теории пластин двумя гипотезами (ныне носящими имя автора), вывод формулы для потенциальной энергии деформации пластины, энергетический вывод уравнения изгиба пластины, приведение в соответствие числа граничных условий и порядка дифференциального уравнения в теории пластин, исследование колебаний пластин и стержней переменного сечения, построение геоме рически нелинейной теории изгиба пластин, вывод нелинейных уравненнй равновесия для пространственного гибкого стержня, формулирование динамической аналогии (сопоставление уравнения равновесия стержня и уравнения движения твердого тела относительно неподвижной точки), экспериментальное определение величины коэффициента Пуассона с целью выявления правильной точки зрения в дискуссии о числе независимых упругих постоянных в изотропном теле. [c.47]

Итак, необходимые и достаточные условия равновесия твердого тела, находящегося под действием совокупности сходящихся сил, сводятся к равенству нулю алгебраических сумм проекций на оси координат всех приложенных сил. Число уравнений равновесия равно трем в случае пространственной совокупности сил и двулс — для плоской совокупности. [c.33]

Y h Уравнение (22.14) выражало бы в этом случгы-условие равновесия твердого тела. Динамической (дополнительной) реакцией опоры называется разность реакции опоры при вращении и реакции в покое (статической реакции) [c.402]

Эти уравнения соответствуют тем уравнениям, которые мы дали раньше в отделе III для равновесия изолированной системы точек неизменяе-хмой формы мы могли бы условия этого равновесия непосредственно применить к условиям равновесия твердого тела любой формы, все точки которого находятся под действием заданных сил. Но мы сочли небесполезным, в целях демонстрации плодотворности нашего метода, рассмотреть эту задачу особо и совершенно не пользуясь решенными раньше задачами. [c.232]

Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7]

Напряжения, действующие в поперечном сечении стержня, должны уравновешиваться внешними силами, приложенными к отсеченной части стержйя. Но на разгруженный вал никакие внешние силы не действуют, и потому касательные напряжения "т, действующие в поперечном сечении, должны удовлетворять условиям равновесия твердого тела. В случае круглого вала результирующая касательных напряжений на основании симметрии обратится в нуль, и потому остается выполнить условие, чтобы сумма остаточных моментов также обращалась в нуль. Это условие равновесия мы напишем, приняв за центр моментов центр круга. Мы получим тогда уравнение, из которого можно будет определить пластический погонный угол закручивания . Это уравнение имеет вид [c.291]

Хотя эта система не является твердым телом, но, поскольку она в равновесии, мы можем применить принцип отвердевания и писать затем условие равновесия твердого тела. Если рассмотреть систему в целом, то мы имеем семь неизвестных натяжение шнура Г и по две реакции в каждом из неподвижных шарниров Ль Вь С следовательно, придется применить метод сечений. Если рассмотреть отдельно штанги ЛЛь ВВ СС1 и накладку ЛС, то мы сможем написать для них 12 уравнений равновесия с 13 неизвестными, ибо добавятся 6 реакций в подвижных шарнирах Л, В, С. Мы не сможем найти, таким обра- [c.352]

Условия равновесия твердого тела представляются шестью уравнениями, выполнение которых необходимо и достаточно для равновесия суммы проекций внешних сил на координатные оси должны быть равны нулю, и суммы моментов сил относительно трех координатных осей тоже должны быть равны нулю. Соответственно этому получим в динамике шесть уравнений первые три будут выражать, что суммы проекций внешних сил и сил инерции равны нулю остальные три устанавливают, что суммы моментов внешних сил и сил пнерции тоже равны нулю. Внутренние силы не входят ни в одно из этих уравнений, так как исключаются уже во время самого составления уравнений. [c.170]

С. Большие деформации пластинок и оболочек. Теория тонких пластинок и оболочек была развита по преимуществу для целей изучения колебаний этих тел и затем уж применялась к вопросам статическим. Соответствующие смещения при колебаниях всюду крайне незначительны. Обычная приближенная теория изгиба пластинок под действием давления основывается на распространении на более общие случаи результатов некоторых точных нли приближенных решений уравнений равновесия упругого тела ). В этих решениях предполагается, что смещение, если не считать того, которое соответствует движениям тела как абсолютно твердого, всюду весьма мало по сравнению с линейными его размерами. Таким образом теория будет применима до тех пор, пока прогиб будет составлять весьма малую долю от толщины пластинки. Теории Кирхгофа и Клебша и теория гл. XXIV имели своей целью указать пределы возможных смещений средней поверхности, при которых оболочка не будет еще перенапряжена. Условие этого заключается в том, что при больших деформациях оболочки средняя поверхность должна либо точно налагаться на недоформированную среднюю поверхность оболочки, либо должна быть близка к поверхности, налагающейся на нее. [c.580]

Общие несимметричные условия. Когда значение п превосходит единицу, возникают два новых обстоятельства. Одно из них связано с выделением Краевого эффекта. В предыдущих решениях это выделение достигалось путем Лриравнивания нулю произвольных постоянных, которые входили в два из интегралов уравнений равновесия последние выражали условие равновесия твердого тела. Когда л>1, все условия равновесия твердого тела удовлетворяются тождественно, и приходится прибегать к другому методу. [c.607]

Последнее уравнение не содержит составляющих снл реакций и устанавливает связь между активными силами, необходимую для равновесия тела. Следовательно, условием равновесия твердого тела, ижющего две неподвижные точки, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех активных сил, приложенных к телу, относительно оси, проходя1цей через неподвижные точки. Первые пять уравнений служат для определения неизвестных составляющих реакций Хл, У л, д, Хд, Уд, 1 . [c.100]

Докажем, что условия (40 ) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями равновесия для сил, действующих на абсолютно твердое тело. Пусть на свободное твердое тело, находящееся в покое, начинает действовать система сил, удовлетворяющая условиям (40 ), где О любая точка, т. е в частности, и точка С. Тогда уравнения (40) дают O = onst и K = onst, а так как тело вначале было в покое, то г с=0 и Кс - При Ур = 0 точка С неподвижна и тело может иметь только ращение с угловой скоростью (О вокруг некоторой мгновенной оси С1 (см. 60). Тогда по формуле (33) у тела будет Но Ki есть проекция вектора 7(с па ось С/, а так как Кс — < то и Кг=0, откуда следует, что и [c.301]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...