Уравнение теплопроводности. Начальное и граничные условия

Математическая формулировка задачи включает уравнение теплопроводности, начальные и граничные условия. Уравнение тепло проводности для рассматриваемого случая [c.63]

Математическая формулировка задачи включает уравнение теплопроводности, начальные и граничные условия. Уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая (22.1), записанное через избыточную температуру (20.1) b = T — Tf, имеет вид [c.222]

Уравнение теплопроводности, начальное и граничные условия рассматриваются в 3.2. [c.54]

По теореме единственности решения, если некоторая функция Т (х , т) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи. [c.105]

По теореме единственности решения (доказательство теоремы дано в приложении), если некоторая функция Т х, у, 2, х) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи. [c.30]

Общность всех методов, разработанных для исследования теплофизических свойств различных классов материалов, состоит в том, что любой из них основан на решении дифференциального уравнения теплопроводности при определенных начальных и граничных условиях [c.123]

Когда начальные и граничные условия не зависят от коор динаты 2, то поток тепла также происходит в плоскостях, перпендикулярных оси, по уравнение теплопроводности приводится к виду [c.126]

Когда начальные и граничные условия не зависят от угла 0, поток тепла происходит в плоскостях, проходящих через ось, и уравнение теплопроводности имеет вид [c.126]

Функция f(x, у, Z, г) должна удовлетворять начальному и граничному условиям, а также дифференциальному уравнению при подстановке ее вместо t в дифференциальное уравнение теплопроводности оно должно обращаться в тождество. [c.72]

Функция ф (xi, т) должна удовлетворять дифференциальному уравнению (при подстановке ее вместо Т в дифференциальное уравнение теплопроводности оно должно обращаться в тождество), а также начальному и граничному условиям. - [c.99]

Для решения уравнения теплопроводности (1-1) в общем случае, помимо упрощающих соотношений (1-4) и (1-7), нужны начальные и граничные условия. [c.9]

Для нахождения однозначного решения уравнения теплопроводности в общем случае необходимо его дополнить начальным и граничными условиями. [c.403]

При решении статической и квазистатической задачи термоупругости сначала с помощью соответствующего уравнения теплопроводности при заданных тепловых начальном и граничных условиях ( 19.1) определяют температурное поле Т. После этого определяется термоупругое напряженно-деформированное состояние тела. [c.406]

Дифференциальное уравнение теплопроводности отражает общие черты, свойственные процессам теплопроводности, и имеет бесчисленное множество решений. Особенности конкретного процесса устанавливаются условиями однозначности, которые состоят из геометрических, физических, временных (или начальных) и граничных условий. В первых двух содержатся сведения о форме и размерах тела, о значениях теплофизических характеристик материала тела и действующих в его объеме источниках тепла. Начальные и граничные условия обычно объединяют общим названием - краевые условия. Они указывают на особенности протекания процесса во времени и на поверхностях тела. Для нестационарных процессов теплопроводности временные условия задают начальное распределение температуры в теле. [c.198]

Для нестационарной задачи теплопроводности, описываемой уравнением (1.64) с начальными и граничными условиями (1.51), [c.186]

Из 4 данной главы известно, что эти решения удовлетворяют дифференциальным уравнениям теплопроводности в соответствующих областях. Находим постоянные А , Лд, удовлетворяющие начальным и граничным условиям. Начальные условия дают [c.91]

Если ось нагреваемого кругового цилиндра совпадает с осью z, а начальные и граничные условия не зависят от координат 6 и z, то температура цилиндра зависит только от г и и уравнение теплопроводности сводится к уравнению [c.187]

Если начальные и граничные условия не зависят от координаты z, то тепло распространяется в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, и уравнение теплопроводности принимает вид [c.187]

Как принято [157], для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением теплопроводности с соответствующими начальными и граничными условиями. Рассматриваем двухслойную задачу на основании доводов, изложенных в 8.1.3. Температуру внешней среды принимаем изменяющейся по гармоническому закону (8.3), а начальные температуры в слоях считаем на первом этапе постоянными. [c.280]

Постановка конкретной задачи нахождения температурных полей активного элемента на основе решения дифференциального уравнения теплопроводности [9,71] требует рационального выбора допущений, начальных и граничных условий с учетом конфигурации элемента, теплофизических характеристик материала и характера теплообмена с окружающей средой. Для наиболее распространенных конфигураций активных элементов характерно, что длина элемента значительно превосходит его характерный поперечный размер (рис. 1.5). Это обстоятельство, а также обеспечение достаточно равномерного теплоотвода вдоль боковой поверхности элемента позволяют сводить объемную задачу теплопроводности к одномерной. [c.14]

Как было отмечено выше, решения уравнений сохранения континуальной теории и решения уравнения Больцмана являются, вообще говоря, неаналитическими по некоторому параметру 8, описывающему отклонение от уравнений невязкой жидкости. Таким параметром могут быть коэффициенты вязкости и теплопроводности в теории сплошной среды и средняя длина свободного пробега в кинетической теории. В связи с этим разложения в ряды по степеням 8 не дают равномерно пригодных решений для задач с начальными и граничными условиями. Однако некоторые трудности можно преодолеть, если вместо разложения решений использовать разложение самих уравнений, как это делается в так называемом разложении Чепмена — Энскога. Чтобы понять это утверждение, заметим, что, умножив уравнения (2.22) на 8 , просуммировав от 1 до оо и сложив результат с (2.21), мы получим [c.269]

Совместное решение уравнения теплопроводности с начальными и граничными условиями для бесконечной стенки (полу-бесконечное пространство) позволяет получить зависимость для нахождения температуры Т° К через t сек после мгновенного изменения температуры поверхности в любой точке стенки, отстоящей на расстоянии л л от ее поверхности [c.111]

Придавая в уравнении (3.3.5) и условиях (3.3.6) величине р разные значения, можно составить системы уравнений, описывающие нестационарную теплопроводность пластины при разных степенных законах изменения температуры по толщине пластины. Приведем эти уравнения и соответствующие начальное и граничное условия в случае, когда величины и О/, не зависят от г. Предполагая температуру постоянной по толщине пластины [c.61]

В настоящей главе динамическая задача термоупругости рассматривается без учета взаимодействия полей деформации и температуры, т. е. предполагается (в соответствии с классификацией задач термоупругости 1.8) несвязанной. Такая динамическая задача при упругих Я,, Lt и термическом ат коэффициентах, зависящих от температуры, сводится к решению уравнения (1.8.9) при определенных начальных и граничных условиях, которые задаются либо в перемещениях, либо в напряжениях температурное поле Т предполагается известным из решения соответствующей нестационарной задачи теплопроводности (глава третья). При постоянных упругих и термическом коэффициентах уравнение (1.8.9) переходит в (1.8.6) Представление общего решения этого уравнения известно. [c.251]

Пусть О есть изменение температуры в данной точке упругого тела, отсчитываемое от некоторого начального состояния постоянной по всему телу температуры. Очевидно, что 6 есть функция координат х, у, г ъ. времени t, удовлетворяющая уравнению теплопроводности Фурье, начальному и граничному условиям. Вырежем из тела бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям. Температуру внутри него мы можем считать распределённой равномерно, и если бы он мог расширяться свободно, то он остался бы прямоугольным параллелепипедом. Компоненты этой деформации будут даны формулами [c.329]

При заданных физических свойствах жидкости (плотности Pi, вязкости Vi поверхностном натяжении S) и газа (показателе адиабаты газовой постоянной R , коэффициенте теплопроводности Хг), при заданном параметре межфазного теплообмена Nu2, а также при наличии начальных и граничных условий представленная система уравнений является замкнутой. [c.81]

Совокупность двух последних слагаемых (7.51) можно трактовать как дифференциальный аналог структурно-усадочной деформации в соотношениях (7.14). Таким образом, если заданы начальные условия, изменение граничных условий во времени, а также система уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями для процессов теплопроводности и термохимической кинетики, то можно, в принципе, с помощью теории течения в сочетании с итерационным уточнением (см. в п. 7.2.1) численно решить плоскую осесимметричную задачу механики твердого деформируемого тела. Причем наращивание числа слоев во времени (намотка) естественным образом включается в алгоритм. В численном решении задачи для тела с произвольным законом деформирования центральным звеном алгоритма является решение однородной линейно-упругой задачи. [c.456]

Конкретные условия нагрева и охлаждения тел при расчетах теплопередачи уточняются уравнениями начальных и граничных условий теплопередачи, т. е. дополнительными уравнениями, отражающими конкретные условия теплопередачи тела и образующими с дифференциальным уравнением теплопроводности систему уравнений, подлежащую решению. [c.24]

Совокупность начальных и граничных условий задачи, совместно с которыми решается дифференциальное уравнение теплопроводности, называется краевыми условиями задачи. [c.32]

Далее полученную функцию (Ро) используют в качестве граничного условия второго рода, и / (Ро) находят из решения дифференциального уравнения теплопроводности с начальным и граничными условиями. [c.70]

Уравнение (5-47) имеет тот же вид, что и уравнение теплопроводности для нестационарного поля температуры в твердом теле с внутренними источниками тепла, мощность которых изменяется во времени. Если геометрическая форма потока в трубе и геометрическая форма тела одинаковы, законы изменения во времени градиента давления и мощности внутренних источников тепла совпадают, начальные и граничные условия в обеих задачах идентичны, то решение задачи теплопроводности можно одновременно рассматривать и как решение соответствующей задачи о движении жидкости в трубе. Поскольку в теории теплопроводности известны решения ряда подходящих задач (Л. 41], то эти решения непосредственно или после некоторой переработки (например, в случае несоответствия начальных условий) можно использовать и для расчета нестационарных течений в трубах. [c.71]

Переходя к переменным х, у, получим уравнение для м(х, у), которое для закона вязкости J,p = Х()ро = onst совпадает с уравнением теплопроводности. Начальные и граничные условия для него таковы X = О, и = и 0) / = О, и = и, (х) vj/ —> оо, и = 0. В случае представления скорости м ,(х) в виде суперпозиции составляющих Z x решением является В х (х //л/д .). [c.29]

Это уравнение, справедливое для веществ, теплофизнческие характеристики которых не зависят от температуры, устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в теле под действием источника тепла. Поскольку температурное поле тела зависит от его тепловых свойств, то по найденному изменению температуры в одной или в нескольких точках исследуемого тела -можно вычислить коэффициенты тепло- или температуропроводности. Но эти решения дифференциальных уравнений теплопроводности второго порядка сложны, и при разработке методов исследования стремятся использовать закономерности для одномерных тепловых потоков, которые можно реализовать в теплофизическом экоперимеите при определенных начальных и граничных условиях. Под начальными условиями понимается известное распределение температуры в теле в начальный момент времени, а под граничными условиями — закон взаимодействия тела с окружающей средой. Совокупность начального и граничногс, условий называют краевыми условиями [76, 78]. [c.123]

Однозначность решеняя задачи теплопроводности. Теперь мы покажем, что уравнение теплопроводности, при заданных начальных и граничных условиях, допускает только одно решение. [c.22]

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с начальными и граничными условиями полностью определяет задачу. Иначе говоря, зная геометрическую форму гела, начальные и граничные условия, можно уравнение решить до конца, т. е. найти функцию распределения температуры внутри тела в любой момент времени. При этом температура окружающей среды t должна быть задана. Если же температура движущейся жидкости изменяется в результате теплоотдачи от твердого тела, тогда необходимо решить не только уравнение теплопроводности для твердого тела, но и одновременно уравнение переноса тепла в движующейся среде совместно с уравнением Навье — Стокса и непрерывности. Решение последних уравнений необходимо при использовании полей температуры и скорости движения в движущейся среде. [c.72]

Решая линеаризованную систему методом итераций, включим в итерационный цикл процедуру численного интегрирования уравнения теплопроводности, преобразованного к переменным ф, а ) при Соответствующих начальных И граничных условиях. В остальном алгоритм мало отличается от описанного выше г/лгоритма моделей плоских течений, в том числе нестационарных. [c.322]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...