Уравнения теплопроводности (Фурье)

Система дифференциальных уравнений (5.10) содержит три неизвестных функции Uh, так как изменение температуры Т предполагается известным последнее определяется следующим образом пусть в теле происходит изменение температуры, зависящее от координат его точки и времени i. Допустим, что тело термически изотропно и однородно кроме того, коэффициент теплопроводности Я и удельная теплоемкость с не зависят от изменения температуры. Это допущение при не слишком больших разностях температуры вполне оправдывается. В этом случае функция Т (j i, Х2, Ха] t) должна во всем теле удовлетворять уравнению теплопроводности Фурье [c.77]

Уравнение (2.55) называют уравнением теплопроводности Фурье. Для случая, когда температура во времени не изменяется, уравнение (2.54) примет вид [c.26]

Уравнение(19.14) называют уравнением теплопроводности Фурье. Решением этого уравнения является распределение температуры в пространстве и времени—температурное поле [c.184]

Путем интегрирования (аналитическими или численными методами) дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при заданных краевых условиях находят температурное поле в рассматриваемой области 4=1 х, у, г, т) и вычисляют затем векторное поле теплового потока [c.17]

Математическое описание состоит из дифференциального уравнения теплопроводности Фурье [c.26]

Математическое описание. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для рассматриваемой задачи записывается в виде [c.208]

Для решения на электронных АВМ задач, описываемых уравнениями в частных производных (каковым, например, является дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, см. п. 1.3.1), применяется метод дискретизации по пространственной переменной, т. е. в рассматриваемой задаче по координате X. Это означает, что в процессе решения определяется температура лишь в конечном числе точек, которые называются узлами сетки (см. п. 1.3.5). [c.216]

Выражение (11-17) называют дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье. [c.140]

Это и есть дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье —Кирхгофа. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке движущейся среды здесь а — коэффициент температуропроводности и — оператор Лапласа. [c.38]

Продифференцировав последнее уравнение по т, получим классическое дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье [c.155]

Таким образом, увеличение размера (высоты) микронеровности, угла ее наклона будут способствовать превышению исходной температуры поверхности шероховатости над средней температурой поверхности элемента, вступающего в контакт. Приработка поверхностей трения, приводящая к уменьшению и выглаживанию микронеровностей, уменьшает исходную температуру. Дифференциальное уравнение теплопроводности (Фурье) в декартовой системе координат при постоянных значениях X, 7, с имеет вид [c.175]

Как видим. Lea является аналогом соотношения Льюиса. Запишем уравнения теплопроводности Фурье и массопроводности Фика для средних показателей процесса и параметров сред [c.64]

Воспользуемся уравнением теплопроводности Фурье в общем виде и применим цилиндрические координаты с началом в точке О на пересечении граней ребра (рис. 4-5) [c.100]

Систематическая составляющая может быть исключена введением соответствующей поправки. Однако известные методы введения температурных поправок несовершенны и во многих приложениях имеют погрешности более 35%- Для нормирования необходимо найти минимальное число наиболее простых показателей теплового поля, что определяется из уравнения теплопроводности Фурье [c.45]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ [c.13]

Полученное выражение представляет собой дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье. Оно является основным уравнением математической теории распространения тепла в твердом теле. Его записывают также следующим образом [c.15]

Наглядным примером может служить вывод дифференциального уравнения теплопроводности Фурье. При выводе этого уравнения не учитывалась конкретная обстановка явления и рассматривался только выделенный дифференциальный объем тела dV. Для вывода уравнения потребовался единственный опытный факт, заключающийся в том, что перераспределение теплоты в среде.возможно только при наличии температурных градиентов, не равных нулю. Приняв для описания этого факта гипотезу (закон) Фурье, удалось приложить к изучению температурного поля тела за кон сохранения энергии. [c.17]

Чтобы связать температуру со временем, необходимо составить соответствующее дифференциальное уравнение теплового баланса. При этом, очевидно, новое дифференциальное уравнение будет значительно проще, чем дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, поскольку оно специально приспособлено к решению данной задачи и не содержит пространственной координаты как независимой переменной. [c.43]

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для одномерного поля имеет вид [c.46]

Как известно, он содержится в гипотезе Фурье о пропорциональности между удельным тепловым потоком в М ш градиентом температуры. Ее логическим следствием в сочетании с законом сохранения энергии является известное уравнение теплопроводности Фурье [c.18]

Уравнение теплопроводности (Фурье) при умеренных скоростях течения капельных жидкостей и при скоростях течения газа в области чисел М < 0,5, когда работа потока и сжимаемость среды практически не влияют на процесс теплообмена, можно записать в виде [c.10]

Уравнение (1-11-40) отличается от уравнения теплопроводности Фурье наличием дополнительного члена, который характеризует волновой процесс распространения теплоты. [c.92]

В общем случае коэффициент теплопроводности А, и удельная теплоемкость с, а также источник теплоты 1д зависят от температуры. Обычно Я, и ср считают постоянными, и тогда уравнение теплопроводности (2-1-2) принимает вид классического уравнения теплопроводности Фурье [c.93]

Уравнение (7) представляет собой классическое уравнение теплопроводности Фурье, содержащее эффективный потенциал переноса тепла. [c.361]

Выше была получена дифференциальная зависимость, аналогичная уравнению теплопроводности Фурье, в виде [c.289]

Приведенное дифференциальное уравнение совместно с первым законом термодинамики используется для вывода уравнения теплопроводности Фурье [c.296]

Уравнения (3.6.6), (3.6.7) отличаются от классического уравнения теплопроводности Фурье [c.122]

Схема переноса вещества в этом случае представляется более очевидной, поэтому еще в 1855 г. А. Фиком были получены основные уравнения диффузии, подобные уравнениям теплопроводности Фурье. [c.147]

Известно [90], что задачу термоупругости в несвязанной постановке разделяют на две и решают их последовательно. Первая представляет собой краевую задачу теории теплопроводности с уравнением поля (1.1). У непрозрачных материалов, к которым относится большинство композитов, теплопередача от точки к точке внутри осуществляется теплопроводностью и описывается уравнением теплопроводности Фурье. [c.16]

В задачах второго типа в критериальные уравнения входят еще критерии теплового подобия. Отметим, что эти критерии, полученные в работах [41, 81] для изотропного тела на основе масштабных преобразований уравнения теплопроводности Фурье и граничных условий теплообмена, сохраняют свою структуру при рассмотрении явлений теплового подобия в анизотропном теле в случае одномерной задачи. Обеспечивая подобие явлений в сходных точках на поверхности тел, они тем самым сохраняют равенство температур в сходных точках внутри геометрически подобных тел, выполненных из одного и того же материала. К этим критериям относятся при граничных условиях (1.5) — Fo, Ро, Pd (1.6) — Fo, Ро, Ki (1.7) — Fo, Ро, Bi. [c.19]

Связь между определяющей и средней интегральной температурами. Помимо определяющей существует еще средняя интегральная температура в р, характеризующая каждую кривую семейства в ( , Fo, Пг). Ее можно определить путем интегрирования решения дифференциального уравнения теплопроводности Фурье от нуля до единицы. Например, при линейном изменении температуры ва с течением времени в случае регулярного режима [c.55]

Распределение температуры в свариваемых участках деталей изучают расчетным [122, с. 26] или экспериментальным путем [116 122, с. 26 125 126]. В основе расчетов лежит уравнение теплопроводности Фурье. Из-за принимаемых при расчете упрощений различие между расчетным и экспериментально измеренным значениями температуры материала может составлять 20% [125]. Расчетные значения ниже экспериментальных в зоне расплава и наоборот выше экспериментальных в зоне, где Т < [c.363]

Уравнение (П-55) называют уравнением теплопроводности Фурье. [c.28]

Указанные зависимости могут быть найдены из решения диф-ферепциальпого уравнения теплопроводности Фурье [c.389]

Наглядным примером может служить вывод дифференциального уравнения теплопроводности Фурье дНдх = a jH), нри котором не учитывалась конкретная обстановка явления и рассмагривался только выделенный дифференциальный объем тела dV. Для вывода уравнения потребовался единственный опытный факт, что перераспределение энергии в среде возможно только при наличии температурных градиентов, не равных нулю. Поэтому полученное дифференциальное уравнение представляет собой наиболее общую связь между существенными для явления величинами и характеризует свойства, присущие всем явлениям данного класса (класса явлений теплопроводности). В дифференциальном уравнении нет никаких сведений о конкретных значениях отдельных величин, характерных для какого-либо единичного явления. Переменные, вхо-дяп иe в состав уравнения, могут принимать самые различные значения, каждое из которых отвечает какому-то единичному явлению. [c.409]

Известно, что в реальных условиях температурные неоднородности, возмущения температурого поля затухают во времени, — таковы внутренние свойства рассматриваемого процесса и его математической модели, т. е. дифференциального уравнения теплопроводности Фурье. Чтобы и явная численная схема обладала этим свойством апериодического затухания, необходимо выполнение следующих условий Ро 1/4 т А /4а. Явная схема называется условно устойчивой. [c.36]

Полученные на основе метода анализа размерностей критериальные соотношения желательно сравнить и дополнить зависимостями, вытекаю-пщми из решения тепловой задачи теории трения [40]. Воспользуемся дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье Э//9г = [c.161]

При теоретическом и экспериментальном исследовании температурных колебаний в прессформе установлено, что преобладающее количество теплоты переходит от отливки в прессформу непосредственно после запрессовки, к моменту удаления отливки ее температура сравнивается с температурой поверхности прессформы, а непосредственно с рабочей поверхности в окружающую среду отводится незначительное количество тепла. В соответствии с этими результатами для расчета температурных колебаний в поверхностном слое прессформы ее можно принять достаточно толстой пластиной (толщиной I), к одной из поверхностей которой периодически прикладывается мгновенный тепловой источник, а на другой поддерживается постоянная температура / а. Тогда температура t x, т) в поверхностном слое на расстоянии х от рабочей поверхности в любой момент времени т после очередной запрессовки (исключая продолжительность запрессовки и затвердевание отливки) определяется из дифференциального уравнения теплопроводности Фурье [c.184]

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье описывает механизм явления перераспределения тепла в вещественной среде (оно по существу является математической моделью этого механизма). Поэтому полученное дифференциальное уравнение представляет собой наиболее общую связь между существенными для явления величинами и характеризует свойства, присущие всем явлениям данного класса (класса явлений теплопроводности). Таким образом, все явления (независимо от их индивидуальных признаков), в основе которых леж ит один и тот же механизм перераспределения тепла, описываются эти>л общим уравнением. Именно по этой причине в дифференциально>1 уравнении нет никаких сведений о конкретных значениях отдельных величин, характерных для какого-либо единичного явления. Перемен-ные, входящие в состав уравнения, могут принимать самые различные V0 значения, каждое из которых отвечает какому-то единичному явленщр. 0 Соответственно этому при интегрировании любого дифференциаль- [c.17]

Например, вместо уравнения теплопроводности Фурье q=—XsfT будет иметь место обобщенное уравнение [c.411]

При работе двигателя имеются кондуктивные потери тепла в стенки цилиндра, насадку регенератора и соединительные трубопроводы. В системе двигателя Стирлинга приходится ре-щать задачи нестационарной теплопроводности, а анализ подобных задач теплообмена весьма затруднителен. Однако можно получить приемлемые результаты, применяя упрощенный подход с использованием стандартного уравнения теплопроводности Фурье. Рассматривая эту задачу для регенератора, следует обратиться к работам Ромье [34, 35]. В первой из них, кроме того, предлагается оригинальный подход к расчету потерь на повторный нагрев. Уравнение Фурье, определяющее кондуктив-ный тепловой поток, записывается следующим образом [c.333]

Анализ решений дифференциального уравнения теплопроводности Фурье указывает на то, что процесс нагревания тел простейших форм (пластин, цилиндров, шаров и др.), выполненных из КМ, включает в себя несколько стадий. Начальная стадия, при которой на распределение температур в стенке влияют начальные условия, называется иррегулярным режимом. Вторая стадия на-зьгаается регулярным режимом. Распределение температур здесь не зависит от начальных условий и описывается некоторой функцией координат и времени Т xt, г). [c.29]

Из решений дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при различных краевых условиях теплообмена и из критериальных уравнений обобщенных характеристик видно, что температурные поля в стенке образца и его предельные нагрузки являются функциями одних и тех же определяющих критериев теплового подобия — Pd, Bi, Ki и др. Например, если в одномерной задаче в = в е, Fo, Hj), то и Кр = iiirp(Fo, itj). От вида граничных условий теплообмена зависит распределение температур в стенке образца и, следовательно, его предельные нагрузки. Изменение граничных условий ведет, в свою очередь, к получению решений уравнений теплопроводности и критериальных уравнений обобщенных характеристик с другими определяющими критериями теплового подобия. Представляет значительный интерес исследование возможностей нахождения аналитических выражений обобщенных характеристик для режимов нагревания, определяемых критерием Xlj, если известно изменение предельных нагрузок образца при режимах нагревания, определяемых критерием Ilj. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...