Симметрии уравнений в частных производных

Симметрии уравнений в частных производных [c.250]

СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 251 [c.251]

Первый объект проще. Поэтому и алгоритмы поиска групп симметрий уравнений в частных производных оказываются эффективными. [c.252]

Сначала мы опишем то, что можно назвать методом поиска симметричных решений уравнений в частных производных. Предположим, что система уравнений в частных производных 2 инвариантна над группой 6, элементами которой являются входящие в систему зависимые и независимые переменные. Метод состоит в отыскании решения, инвариантного над некоторой подгруппой группы О. Другими словами, он состоит в отыскании автомодельных решений, обладающих внутренней симметрией относительно О. [c.159]

Течения, которые мы до сих пор рассматривали, обладают достаточной физической симметрией в пространстве и времени, так что все характеризующие их величины каждый раз можно выразить функциями одной независимой переменной. В этих условиях уравнения в частных производных механики жидкостей [c.175]

СВОДЯТСЯ К обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однако имеются другие важные приложения метода поиска симметричных решений, когда задача сводится к уравнениям в частных производных. Наиболее очевидный пример представляют собой конические течения без осевой симметрии, которые впервые ввел и исследовал А. Буземан ). Это — стационарные течения с полем скоростей (в сферических координатах) [c.176]

Далее, группы симметрии позволяют уменьшить число независимых переменных, входящих в уравнения в частных производных, непосредственно с помощью метода поиска симметричных решений и метода отделения переменной времени и косвенно —с помощью обратных методов. Кроме того, метод поиска симметричных решений в общем случае заведомо дает решения в малом ( 89). [c.195]

Если на полученное соотношение смотреть как на на условие для нахождения группы симметрий, то оно представляет собой уравнение в частных производных относительно двух неизвестных функций (х, у) и т] х, у). Это уравнение распадается, как правило, на переопределенную систему, поскольку искомые функции не зависят от производных и необходимо приравнять нулю коэффициенты при всех степенях и произведениях всех у/ х. Решений такой системы может не существовать, что означает, что симметрий рассматриваемого типа у изучаемого дифференциального уравнения нет. Во-вторых, это дифференциальное уравнение может быть переписано в нормальной форме Коши [c.247]

По поводу формализма исчисления вариаций для функционалов с переменной областью интегрирования и доказательства теоремы Петер см. [12-15]. Систематическое изложение теории симметрий и законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных дано в четвертой главе монографии [4]. [c.659]

Соотношения (7.71), (7.72) позволяют замкнуть систему уравнений в частных производных (7.70), которая описывает течение в ламинарном пограничном слое на холод ном треугольном крыле с толщиной на режиме сильного вязкого взаимодействия. Заметим, что при подстановке выражения для давления (7.72) в систему уравнений (7.70) в последней из-за наличия члена dp/dz появляется вторая производная d A /dz , что позволяет учитывать краевое условие, расположенное вниз по потоку, например, условие непротекания в плоскости симметрии крыла. Система уравнений (7.70)-(7.72) на передних кромках треугольного крыла z = +1) вырождается в системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их решения позволяют найти все функции течения в пограничном слое на кромках. [c.342]

При обтекании гиперзвуковым потоком на режиме сильного вязкого взаимодействия холодного плоского треугольного крыла при значениях угла стреловидности передней кромки меньше критического в пограничном слое возникают области закритического и докритиче ского течения [Нейланд В. Я., 1974, б Дудин Г.Н, Липатов И.И., 985]. В первой из них возмущения не распространяются вверх по потоку и реализуется автомодельное течение, соответствующее обтеканию полубесконечной скользящей пластины. С увеличением угла стреловидности размер областей с закритическим режимом течения, расположенных около передних кромок, уменьшается и при достижении критического значения на всем крыле реализуется докритический режим, в котором возмущения распространяются от плоскости симметрии крыла вплоть до передних кромок. В общем случае указанное течение описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Численные решения соответствующей краевой задачи показали [Дудин Г.Н., 1997], что значение координаты перехода зависит не только от угла стреловидности, но и от величины показателя адиабаты 7 = Ср/Су Ср и Су — соответственно удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме). Уменьшение параметра е = 7 — 1 приводит к значительному увеличению протяженности областей закритического течения [Дудин Г.Н., 1997]. В настоящем разделе исследовано обтекание треугольных крыльев с удлинением порядка единицы в случае, когда величина е является асимптотиче ски малой. [c.365]

Следует отметить, что процессы теплообмена, происходящие при ламинарных течениях, достаточно строго описываются системами дифференциальных уравнений переноса. Также строго формулируются и краевые условия. Хорошо разработаны и методы решения и численной реализации систем дифференциальных уравнений в частных производных. Все это позволяет надеяться, что при достаточно строгих допущениях, а также удачно найденной симметрии удастся разработать такие математические модели, которые весьма точно будут описывать, предсказывать и объяснять возникающие эффекты. [c.506]

Решение поставленной задачи, будет автомодельным, т. е. таким, которое позволяет вместо системы уравнений в частных производных (219) и (220) использовать систему обыкновенных дифференциальных уравнений. С такого рода автомодельными задачами мы уже имели дело ранее (центрированные волны в нестационарном сверхзвуковом одномерном и стационарном плоском двумерном движениях). Используем коническую симметрию граничных условий задачи и будем искать решение уравнении из условия, что все параметры движения и состояния газа являются функциями только полярного угла 0 и не зависят от радиуса вектора R. [c.434]

Отметим, что в нашем изложении введение времени в качестве четвертой координаты происходит независимо от соображений релятивистской симметрии и является обычным методическим приемом, хорошо известным в теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. [c.14]

Теперь, когда гидродинамика движения жидкости в пористой среде была сформулирована в целом в виде диференциальных уравнений в частных производных для давления или плотности, необходимо разработать способы их решения. Поэтому представляется интересным заметить, что уравнение Лапласа, которому подчиняются все случаи установившегося течения, уже хорошо известно в остальных разделах физики, например, теории установившейся теплопроводности, электростатике и электрического тока. Так как при изучении последних областей науки многие проблемы уже были решены, эти решения можно перенести и приложить к проблеме течения жидкости в пористой среде, если только мы будем знать, как произвести переход и интерпретацию интересующих нас количеств от одного предмета науки к другому. Поэтому была показана внешняя аналогия, относящаяся к количественным значениям температуры, напряжения, тока, диэлектрической постоянной и т. д., с соответственными понятиями в нашей гидродинамической системе (гл. III, п. 6). Наконец, предусматривая, что некоторые из интересующих нас проблем обладают специфическими формами симметрии, уравнение Лапласа было представлено в иных системах координат, где определенные виды симметрии найдут себе более яркое выражение, чем в декартовой системе координат (гл. III, п. 7). [c.127]

Аналитическое решение системы уравнений второго порядка в частных производных возможно только для геометрически правильных тел, при постоянстве или изменении по линейному закону коэффициентов переноса и соблюдении условий симметрии внутренних полей влагосодержания и температуры [48, 49, 54]. [c.257]

В случае аналитических уравнений с частными производными (и аналитическими группами симметрии) уравнение (39) также будет аналитично. В этом случае для многих задач с начальными условиями мы располагаем хотя бы локальными теоремами существования. Так, предположим, что все производные по времени входящих в уравнение функций ф,(х /), х = (Х1.....х ) выражаются через и их первые производные по пространственным координатам, так что можно записать уравнение [c.180]

Метод разделения переменных. Сущность метода состоит в приведении уравнения с частными производными к системе независимых уравнений с обыкновенными производными. Реализация этого метода возможна лишь при определенном выборе обобщенных координат, учитывающем симметрии гамильтониана относительно группы преобразований фазового пространства. Если определенная симметрия обнаружена, то в результате канонического преобразования можно получить первые интегралы (ра ха, Ра) = Oia- В случае ПОЛНОГО разделения переменных гамильтониан имеет вид (см. пример 25.5) [c.280]

Вследствие симметрии упругой поверхности пластинки, представляющей собой поверхность вращения, крутящие моменты будут равны нулю. Сообразно с этим вместо частных производных в уравнениях круглой пластинки принимаются производные по радиальному направлению, так как Z представляет функцию только одной переменной. [c.139]

Здесь Л — параметр, позволяющий удерживать систему в неравновесном состоянии. Если рассматриваемая система является однородной химической системой, то Ек определяет скорости химических реакций. Для неоднородных систем Ек может содержать частные производные, учитывающие диффузию или другие явления переноса. Удивительно то, что независимо от сложности Ек потеря устойчивости решения (19.2.4) при определенном Л и бифуркация новых решений в этой точке похожи на поведение решения уравнения (19.2.1). Как и в случае (19.2.1), симметрия (19.2.4) связана с множественностью решений. Например, в изотропной системе уравнения должны быть инвариантными при инверсии г —> -г. В этом случае, если Хк(г,1) — решение, то Хк(-г,1) тоже должно быть решением если Хк(г,1) ф Хк(—г,1), то это два различных решения, которые являются зеркальными отображениями друг друга. [c.407]

В этом, достаточно общем случае подстановка выведенных выражений для сферических компонент скорости и давления в систему уравнений Стокса (26) не приведет к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, но уменьшит на единицу число независимых переменных в системе уравнений в частных производных, служащих для определения функций /н> /в, /е, Такие решения также заслуживают названия подобных или автомодельных, так как соответствующие им эпюры величин ЕУцЬ = Д (0, е) и т. д. будут одинаковыми при всех Р. При наличии осевой симметрии Уе = О, д/де — О (случай осесимметричной незакрученной струи) аргумент 8 исчезает, решение задачи приведется к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и задача станет в обычном смысле слова автомодельной. [c.377]

Теорема 3 [181а]. Если геодезический поток на имеет нетривиальное поле симметрий степени п, то найдется многозначный полиномиальный по импульсам интеграл степени не выше п. Кроме того, если п нечетно, то обязательно существует однозначный полиномиальный интеграл. Если же п четно, то однозначный интеграл существует всегда, кроме тех случаев, когда конформный множитель Л удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в частных производных. [c.175]

Английский учёный Митчел, ещё до Лява, ввёл иную функцию напряжений, которая тоже удовлетворяет уравнению в частных производных четвёртого порядка, но иного вида, чем уравнение (8.201). Вследствие симметрии мы имеем только два компонента упругого смещения, которые для изотропного тела имеют следующий вид [c.235]

Ha стенке со скольжением дь/ду тф , если только стенка не является линией симметрии. Таким образом, из уравнения (5.1176) следует, что возникающая здесь ошибка сохраняется и при А ->0, и поэтому способ отражения, применяемый на стенке и на расчетной сетке первого типа, математически не согласуется с исходной системой дифференциальных уравнений в частных производных. Сравнительные расчеты, проведенные Моретти [1968а, 19686] показали, что, как и следовало ожидать, применение более грубой сетки ведет к большему росту граничной ошибки. [c.393]

По поводу формализма исчисления вариаций для функционалов с переменной областью интегрирования и доказательства теоремы Петер см. [ ], [ ], ], [ ], [ ]. Систематическое изложение теории вариационных симметрий и законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных дапо в четвертой главе монографии [ ]. Законы сохранения теории упругости, следуюгцие из теоремы Петер, обсуждаются в [ ], с. 355-358 [c.116]

Однако более простым и поучительным является применение бесселевых функций 2 для рассмотрения задач о потенциалах с осевой симметрией. В то же самое время мы остановимся на основных положениях одного из наиболее современных методов классического рещения диференциальных уравнений в частных производных математической физики, а именно методе разделения переменных. Этот метод обеспечивает систематическую процедуру при выводе элементарных рещений уравнения Лапласа, так как применявщиеся до сих пор элементарные решения уравнения Лапласа, как 1п г (гл. IV, п. 2), п в (гл. IV, п. 5), / (X + iy) (гл. IV, п. 8) 1/г (гл. V, п. 2) и (гл. VII, п. 4) при построении распределения давления или [c.355]

Приравняв нулю частные производные по i в системе (1.6), получим уравнения, онисываюн ие стационарное течение газа. В частности, в случае плоской или осевой симметрии течения имеем [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...