ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Симметрии уравнений в частных производных из "Основы теоретической механики Изд2 " Как и ранее, на эти соотношения можно смотреть двояко задан оператор 1/ — найти инвариантную поверхность, или задана поверхность — найти сохраняющую ее группу. В обыкновенных дифференциальных уравнениях обе задачи эквивалентны по сложности, поскольку обыкновенное дифференциальное уравнение и группа, преобразующая его, — объекты одной и той же природы. В случае уравнений в частных производных это уже не так. Дифференциальные уравнения, определяющие группу, — обыкновенные, а преобразуемое уравнение — в частных производных. [c.252] Первый объект проще. Поэтому и алгоритмы поиска групп симметрий уравнений в частных производных оказываются эффективными. [c.252] Если уравнение Е х, у, г, г, 2у,. ..) = О линейное, то, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, условия инвариантности уравнения можно сформулировать без использования продолжения операторов, в терминах коммутаторов. [c.252] В силу линейности уравнения преобразовывать переменную г не имеет смысла. Тот факт, что линейное однородное уравнение допускает группу растяжений по г, очевиден и интереса не представляет. Поэтому будем рассматривать группу, действующую в пространстве переменных х, у с оператором V = (х, у)д/дх т)(х, у)д1ду. [c.252] Коммутатор двух операторов А и V есть оператор второго порядка [Л, С/] = А11 - I/А. [c.252] Теорема. Оператор симметрий отображает решение уравнения Лг = О в решение этого же уравнения. [c.252] Требуется найти алгебру симметрий этого уравнения. Исходим из условия [Л, [/] = ЛЛ, в котором помимо- неизвестного оператора 1/ нахождению подлежит скалярный коэффициент Л(х,у). [c.253] Операторы С/1 и С/з — операторы трансляций вдоль осей х и у, оператор С/2 — оператор группы вращений. [c.253] Вернуться к основной статье