Построение фазовой плоскости

ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ [c.176]

Мы получили уравнение фазовых траекторий, исходя из решений (ПП.6) и (ПП.7) уравнения (ПП.5). Сделано это с тем, чтобы наиболее просто и понятно ввести в анализ понятие о фазовой плоскости, исходя из известного решения дифференциального уравнения 2-го порядка. Если бы этот способ построения фазовой плоскости был единственным, т. е. если бы для построения фазовой плоскости необходимо было обязательно знать решение исходного уравнения 2-го порядка, иными словами, знать его 2-й интеграл, то вряд ли метод фазового изображения полу-220 [c.220]

Однако для построения фазовой плоскости нет необходимости решать исходное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Можно найти уравнения фазовых траекторий, интегрируя дифференциальное уравнение 1-го порядка, что является более простой задачей. Смысл введения фазовой плоскости в значительной мере в том и заключается, что она позволяет выяснить вопрос о возможных движениях в динамических системах, в частности в системах регулирования, не решая полностью исходного уравнения, а ограничиваясь его первым интегралом. [c.221]

Если для точечного отображения воспользоваться выражениями (4.11), то процедуру отыскания неподвижных точек полного отображения T=Ti-T2 можно свести, аналогично случаю фазовой плоскости, к некоторым геометрическим построениям. Для этого рассмотрим трехмерное пространство F с декартовыми координатными осями Ох, Оу, Oz. Соотношения (4.11) определяют в этом пространстве уравнения поверхностей = Pj (х, у ), у = [c.79]

Обратимся к построению траекторий на фазовой плоскости (ф, ф) величина Я, постоянная для данной фазовой траектории, является в этом случае параметром, определяюш,им семейство траекторий. Надо различать два случая [c.493]

Таким образом, указанным выше способом легко в каждой точке М фазовой плоскости построить малый отрезок, направленный по касательной к фазовой траектории. Переместившись вдоль этого отрезка в смежную точку, повторим еще раз то же построение, найдем новую нормаль и новое направление касательной. Беря отрезки касательной достаточно малыми, построим ломаную линию, мало отличающуюся от искомой фазовой траектории. [c.526]

Вообще, в большинстве случаев возможность хотя бы приближенного построения фазового портрета системы чрезвычайно облегчает рассмотрение общих свойств системы, и вид фазового портрета сразу показывает ряд наиболее характерных свойств изучаемой системы. Поэтому метод фазовой плоскости является исключительно полезным при качественном рассмотрении различных колебательных систем, особенно нелинейных. [c.22]

Но независимо от того, встречаемся ли мы с простейшим случаем или с упомянутыми здесь более сложными, все равно уравнение фазовых траекторий позволяет нам получить фазовый портрет и произвести качественное рассмотрение изучаемой системы на фазовой плоскости. Разумеется не всегда может быть получено простое выражение вида y — /2 h—V(x)], и тогда для построения фазового портрета системы необходимо применять более общие приемы, как, например, метод построения фазовых траекторий с помощью изоклин. [c.23]

Как мы видим, для нелинейной системы изоклинами на фазовой плоскости являются кубические параболы с различными коэффициентами й . Исключение составляют только изоклина бесконечности к1=-оо), совпадающая с осью координат х ( / = 01, и нулевая изоклина (к1 = 0), совпадающая с осью координат у (л = 0). На рис. 1.12 показано построение фазовых траекторий методом изоклин для электрического колебательного контура с нелинейным диэлектриком. [c.33]

На примерах релаксационных систем мы убедились в том, что для математического описания движения в реальных автоколебательных системах с одной степенью свободы необходимо пользоваться дифференциальными уравнениями второго порядка. Для систем, описываемых такими уравнениями, можно получить изображение соответствующего движения на фазовой плоскости. В некоторых случаях, когда уравнение нелинейно и не поддается аналитическому решению, построение фазового портрета движения в системе является существенной помощью в определении формы колебаний и динамики их установления. Следует отме- [c.196]

Итак, фазовые кривые медленного движения являются частями интегральных кривых поля следов построенных выше плоскостей на медленной поверхности. Это поле направлений на медленной поверхности вертикально на линии критических точек проектирования (ибо и поле плоскостей, и касательная медленной поверхности в этих точках содержат вертикаль), и может еще иметь отдельные особые точки на этой линии (не в сборках и не в точках вырождения контактной структуры). [c.176]

Результаты этого исследования хорошо подтверждаются движением системы на фазовой плоскости. В соответствии с этим рассмотренный выше метод 118] построения интегральных кривых используем применительно к характеристике силы трения. [c.100]

Для (4) этот метод заключается в замене фазовой траектории [интегральной кривой, построенной на фазовой плоскости х, со х)] непрерывной линией, состоящей из дуг С окружностей радиуса б с центрами в точках 0) , расположенных на оси X (к= 1, 2,. .., рис. 6). Здесь п — число интервалов, на которое разбивается промежуток времени О х при ступенчатой аппроксимации импульса а (I) [c.275]

В частном случае нелинейной упругой характеристики, когда (27) имеет вид J + <Р (Ji) = о (i), точность построений можно повысить переходом к фазовой плоскости кусочно-постоянного масштаба [154]. [c.276]

Построение фазовых диаграмм колебаний. К графоаналитическим относят методы построения фазовых диаграмм нелинейных автономных систем с одной степенью свободы (см. гл. 1) представление движения на фазовой плоскости оказывается, однако, полезным и для некоторых частных типов неавтономных систем. [c.47]

Для а > 0(1 существует только одно устойчивое состояние равновесия, соответствующее затухающим колебаниям маятника При Oq > а > О состояний равновесия уравнений первого приближения три устойчивое р = О, неустойчивое, соответствующее нижней части параболы, построенной по уравнению (7), и устойчивое, соответствующее верхней части параболы. На фазовой плоскости д, это соответствует [c.175]

Для полного построения фазового портрета определим траектории изображающей точки в остальных зонах фазовой плоскости (см. рис. 5.19), если начальные условия соответствуют [c.232]

Построение полной фазовой траектории сводится к построению шаблонов для каждого листа фазовой плоскости и к сшиванию интегральной кривой на границах листов. Сшивание состоит в совмещении обвода шаблона, действующего на следующем листе, с конечной точкой предыдущего участка фазовой траектории. [c.29]

Начиная с 1953 г., особое внимание уделяется развитию приближенных методов построения переходных процессов в нелинейных автоматических системах. Дальнейшее развитие получают методы фазовой плоскости, припасовывания, гармонического баланса и разностные методы. В последнее время существенное развитие получили разностные. методы численного построения процессов в нелинейных системах. [c.18]

Как уже указывалось, фазовая плоскость разбивается на три области. Границами этих областей служат прямые х = — т) и х = = + К). В области слева от граничной кривой х = — тг) располагается семейство интегральных кривых, построение которых производится по уравнению (1), а в области справа от граничной кривой л = +и) — по уравнению (2), В области жй между граничными кривыми х = = — т) и = + Г) интегральными кривыми являются прямые линии, которые строятся по уравнению (3). [c.29]

Выбирая соответствующее значение постоянных интегрирования с, можно определить фазовую траекторию, проходящую через любую заданную точку фазовой плоскости. Поскольку постоянная интегрирования входит во все три уравнения в качестве слагаемого, то достаточно построить фазовую траекторию только для одного значения с (например, с = 0). Все же остальные фазовые траектории могут быть определены путем параллельного переноса построенной траекто-, рии вдоль оси Ох. [c.29]

Для построения фазового портрета нарисуем сначала график функции 2=[/(х). Затем нужно вычислить квадратные корни из суммы б +А и отложить их на фазовой плоскости вверх и вниз от оси х. [c.550]

В работе (4] впервые сделана попытка произвести анализ нестационарных явлений в компрессоре с учетом нелинейностей методом построения изоклин на фазовой плоскости. Автор рассматривает модель, показанную на рис. 0.2, без всасывающего трубопровода, принимая характеристику компрессора р = Р 0), а сопротивление сети (Q) и полагая связи между давлением и объемной скоростью в упругом и инерционном элементах линейными. Он считает, что напор р = Р(0), развиваемый компрессором, затрачивается на преодоление сопротивлений и, следовательно, [c.16]

I графическому методу построена фазовая плоскость системы в слу- 0,88 чае дросселя, установленного на входе и на выходе. Построение по- g g2 называет, что система на режиме рис. 5.7 динамически устойчива и что параметры воздуха в ресивере очень быстро (с точки зрения числа колебаний) приближаются к их равновесным значениям. [c.179]

На рис. 5.3, а показано построение фазовой плоскости для несколько прикрытого дросселя при Со = 0,40 м /с. Нужно подчеркнуть, что для того, чтобы получить периодический режим, мы должны были для этого случая экстраполировать характеристику компрессора в область расходов Qo < 0,3 м /с (участок 0,3 м /с < Qo < 0,4 м /с получен перестроением по характеристике для п = 24 250 об/мин). Нет достаточной уверенности в правильности принятой экстраполяции. В связи с этим участки фазовой траектории с амплитудой Со, большей 0,1—0,2 м /с, являются условными. Размах колебаний здесь возрастает до Ар = 0,4 ат и ДС = 0,7 м /с. Несимметричность колебаний здесь уже отчетливо заметна верхняя полуамплитуда колебания 0,15 ат, нижняя полуамплитуда — 0,25 ат. [c.177]

Записанным выше ограничениям по углу давления О можно придать геометрическую интерпретацию. Используя заданн(.1е (рис. 17.7,0.) или вычисленные (см, рис. 17.6,6, в) функции положения S/I и нередаточную функцию скорости и,/,-,- (if,), строят график в координатах г. н, S/i, т. е. аналогично построению на фазовой плоскости скорость х перемеи1ение i . [c.455]

Ламерея , построенная на этих кривых, может содержать самое большее две ступеньки . Это означает, что при любых начальных условиях изображающая точка попадает на отрезок (4.49) скользящих движений не более чем после двух пересечений граничной прямой д + Ру = 0. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая О < р < 1 показано на рис. 4..38. Рассмотрение случая р<0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показанный на рис. 4.39. Таким образом, в случае Р < О точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. На фазовой плоскости ху этой точке соответствует устойчивый предельный цикл, распо.по/ <-Рнный симметрично относительно начала координат (рис. 4.40). При эгом режи.ме корабль [c.108]

Рис. 2.11. Построение Льенара на фазовой плоскости.

Приближенное графическое построение фазовых траекторий таких систем (см. 2.3) удобно проводить методом Льенара. На рис. 5.14 показаны построения для нескольких точек (А, С, В) фазовой плоскости при заданной форме /(у). [c.198]

Геометрическая сумма относительных амплитуд определяется путём построения фазовой и векторной диаграмм. Построим фазовую диаграмму для резонанса 5-й гармоники с одноузловой формой при чередовании вспышек /-J—2—4. Направим амплитуду вала в плоскости первого цилиндра вверх (фиг. 31). Рабочий процесс в третьем цилиндре отстаёт от первого цилиндра на 90°t [c.517]

Для определения числа стационарных точек в системах типа (3.37) удобно Графическое построение зависимости Vg от з и р. Покажем зто на примере системы (3.55) Графическое построение V2 (р) с помои1ью Уравнения v, - (з = 0) дано на рис. 16, а, б. Нахождение особых точек с помощью уравнения V2 — vg (р = 0) показано на рИС. 16, б. Видно, что при v< p легко получить единственное Стационарное состояние на неустойчивой части характеристики. При 7 fi такая ситуация редко и.меет место, но зато можно легко получить три стационарные точки. Хотя плоскость ( 2, Р) удобна для определения числа особых точек, она неудобна для анализа поведения системы. Стационарные характеристики системы (3.55) на фазовой плоскости приведены на рис. 17- [c.75]

Рис. 8. Начальный участок фазовой траектории нелинейной системы, построенный на фазовой плоскости кусочио-постоян-ного масштаба

Следует отметит1>, что дельта-метод имеет преимущество перед методом изоклин при решении задачи Коши на фазовой плоскости и по- строении соответствующей фазовой траектории. В дельта-методе фазовую траекторию строят непосредственно по заданным начальным значениям, а в методе изоклин для построения такой траектории нужно изобразить в некоторой области фазовой плоскости поле направлений. [c.50]

Таким образом, метод Льенара — частный случай дельта-метода. Однако в этом частном случае оказывается возможным некоторое вспомогательное построение, удобное при практическом применении метода. Суть этого построения состоит в том, что на фазовую плоскость xOv наносят вспомогательную кривую [c.50]

Качество формирования электронного пучка удобно оценивать с помощью фазового параллелофамма, построенного по результатам траекторного анализа электронно-оптической системы с учетом степени компенсаци1 [ пространственного заряда пучка в различных ступенях этой системы. Фазовый параллелограмм строится на основе фазовой характеристики пучка (зависимости угла наклона траек торий г от их радиальной координаты г для каждого характерного поперечного сечения пучка) таким образом, чтобы при минимуме площади включить всю фазовую характеристику (рис. 1.3). Минимальная площадь параллелограмма / i, охватывающего фазовую характеристику на фазовой плоскости г /г, может рассматриваться как площадь изображения пучка в фазовой плоскости [c.330]

Имеется важное различие между системой с потенциалом ЛД и системой твердых сфер. В последнем случае из-за сингулярной природы потенциала температура практически не влияет на физические величины. Это видно из соотношения (8.4.2), которое означает, что парное распределение, так же как и макроскопическая сжимаемость, зависит лишь от плотности. В реальном газе, однако, температура играет решающую роль. Из элементарной физики мы знаем, что сжимаемость как функция плотности (или, эквивалентно, давление как функция объема) ведет себя раэличным образом при разных температурах это поведение отображается набором кривых, называемых изотермами, построенных в плоскости фР/п, га) (или в плоскости Р— V). Интервал температур делится на две качественно различные области критической температурой Те. Если Т С Тс, то при определенной плотности имеет место резко выраженный фазовый переход газ — жидкость, эатем следует область значений плотности, при которых пар и жидкость сосуществуют, и, наконец, область значений плотностей, где среда находится действительно в жидком состоянии. Трудные проблемы, относящееся к критическим явлениям и фазовым переходам, будут обсуждаться в гл. 9 и 10. [c.312]

Построение диаграммы состояния какой-либо системы тре--бует рассмотрения целого семейства кривых концентрационной зависимости термодинамического потенциала в широкой области температур. С понижением температуры кривые тер модинамического потенциала поднимаются над осью абсцисс, (за счет энтропийного члена TS) и форма их изменяется. Скорость смещения кривых и изменение формы различных для разных фаз, в результате чего фазовые границы, определяемые общими касательными, с изменением температуры смещаются. Нанося положение фазовых границ при различных температурах на фазовую плоскость, можно построить полную лиаграмму равновесных состояний. [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...