Распределение по импульсам и координатам

Распределение по импульсам и координатам [c.118]

Рис. 218. Вид начальных (тонкий пунктир) и конечных (толстые линии) распределений по импульсу и координате для частицы, двигающейся в ограниченном ящике с зеркальными стенками, и реально возникающее гауссово распределение й л/(р) в ящике с неидеально отражающими стенками

Таким образом при переходе от одной системы координат к другой функции распределения по импульсам и углам преобразуются следующим образом [c.21]

На рис. 4.5 показана функция Вигнера, а также соответствующие распределения для координаты и импульса, полученные интегрированием функции Вигнера по импульсам и координатам, соответственно. Функция Вигнера осциллирует в области, ограниченной классической траекторией в фазовом пространстве, и поэтому значение интеграла [c.132]

Поставим себе целью найти наиболее вероятное распределение изображающих точек в р-пространстве. Оно будет описываться некоторой функцией координат и проекций импульса p qi, р ) = dN (1У, где dN — число изображающих точек, попавших в элемент фазового объема (1Г. Функция p q ,p ) дает возможность определить наиболее вероятное распределение молекул как в обычном пространстве (распределение по координатам) — для этого следует проинтегрировать p(q ,Pi) по импульсам, так и в импульсном пространстве (распределение по импульсам) — для этого следует проинтегрировать p qi,p ) по координатам. В соответствии со сказанным в 32 знание этого распределения приводит к исчерпывающему статистическому описанию свойств газа. [c.171]

Это значит, что распределение молекул по импульсам и распределение их по координатам не зависят друг от друга. Интегрируя выражение (41.3) по координатам, получим [c.206]

Интегрируя распределение Больцмана по всем импульсам и координатам, кроме интересующих нас, получим [c.213]

Рис. 4.5. Функция Вигнера фоковского состояния т = 4) и соответствующие распределения по координатам и импульсам. Так как состояния с данным числом заполнения являются собственными состояниями гармонического осциллятора, функция Вигнера, как и распределения по координатам и импульсам, стационарны. Эти распределения получаются путём интегрирования функции Вигнера вдоль осей импульсов и координат, соответственно. Из-за осцилляций функции Вигнера вторичные распределения также осциллируют

Теперь мы получим уравнение, которое будет определять изменение во времени введенной нами функции распределения. Оно является, конечно, аналогом уравнения Шредингера, которое описывает изменение во времени волновой функции. Уравнение переноса, которое мы получим, будет служить основой для всех наших расчетов кинетических свойств. Давайте зафиксируем некоторое значение импульса и координаты в системе и будем искать производную функции распределения по времени. Вероятно, наиболее систематический подход состоял бы в том, чтобы рассматривать ячейку в фазовом пространстве и вычислять потоки частиц, входящих в эту ячейку и выходящих из нее ). Мы сможем, однако, получить результат более непосредственно (хотя, быть может, он будет менее прозрачным) и из более общих соображений. Затем мы обсудим каждый член нашего выражения и согласуем его с тем, что должно было бы следовать из анализа потоков через ячейку в фазовом пространстве. [c.285]

VI, (рис.). При возрастании темп-ры максимум М. р. (значение иь) смещается к более высоким темп-рам. М. р. не зависит от вз-ствия между молекулами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно классич. описание. Оно справедливо также и для броуновских ч-ц (см. Броуновское движение), взвешенных в жидкости или газе. М. р. может быть получено из канонического распределения Гиббса для классич. системы интегрированием по всем координатам ч-ц, т. к. в этом случае распределение по скоростям не зависит от распределения по импульсам. М. р. есть решение кинетического уравнения Больцмана для частного случая статистич. равновесия. [c.389]

В общей теории Н. п. исходят из Лиувилля уравнения для ф-ции распределения / по координатам и импульсам всех частиц системы или для статистич. оператора р. Эти ур-ния обратимы во времени, поэтому возникает вопрос, каким образом из обратимых ур-ний можно получать необратимые ур-ния диффузии, теплопроводности или гидродинамики вязкой жидкости. Это кажущееся противоречие можно объяснить тем, что необратимые ур-ния не являются следствием одних лишь ур-ний механики (классич. или квантовой), а требуют дополнит, предположений вероятностного ха- [c.319]

Перенос резонансного излучения. Др. важный случай П. и. относится к резонансному рассеянию света на атомах или молекулах среды. Поглощение резонансного фотона приводит к образованию возбуждённого атома (ВА), к-рый подвергается сложному микроскопич. воздействию среды, тогда как рассеяние нерезонансного фотона атомом соответствует виртуальному (по сути мгновенному) возбуждению атома. В переносе резонансного излучения ф-ция источников Q определяется в общем случае ф-цией распределения ВА по координатам, импульсам и параметрам излучаемого в момент времени i фотона /(т,р, ,г) [c.567]

Иерархия функций распределения. Кроме А-частич-ной ции распределения и>,. определяемой ф-лой (1), можно ввести ф-цни более низкого порядка, получающиеся из ш интегрированием по части переменных. Так, интегрируя по координатам и импульсам всех частиц, кроме одной, получаем одночастичную ф-цию ш (г,р,1), по переменным всех частиц, кроме двух, — двухчастичную ф-цию (rJ ,p ,r2,p2,i) и т. д. в состоянии равновесия, согласно ф-ле (5), зависимость ю от импульсов очевидна и достаточно рассматривать лишь координатные зависимости, т. е. ф-цию / (г), к-рая сводится для однородного тела в отсутствие внеш. поля к постоянной, / ( 2)1 / Чг1,Г2,га) и т, д. Все эти ф-ции стремятся при больших значениях аргументов к постоянным, к-рые можно выбрать равными 1. Существует цепочка ур-ний , связывающих ф-ции порядка I и I - - 1 (см. Боголюбова уравнения). Напр., для частиц, взаимодействие к-рых описывается парной потенциальной энергией и(г), дифференцируя ф-лу (5) по гц и интегрируя по всем переменным, кроме в. г , получаем ур-ние [c.668]

Статистическая физика, статистическая механика. В классич, статистич. механике вместо задания координат и импульсов Pi частиц системы задается ф-цня распределения частиц по координатам и импульсам, /(г,rw, рц f)i имеющая смысл плотности вероятности обнаружения наблюдаемых значений координат и импульсов в определённых малых интервалах в данный момент времени t. Ф-ция распределения / удовлетворяет ур-нию движения (ур-нию Лиувилля), имеющему вид ур-ния непрерывности в пространстве всех г, и р, (в фазовом пространстве). Ур-ние Лиувилля однозначно определяет/ в любой последующий момент времени по заданному её значению в нач. момент, если известна энергия взаимодействия между частицами системы. Ф-ция распределения позволяет вычислять ср. значения плотностей вещества, энергии, импульса и их потоков, а также отклонения их от ср. значений — флуктуации. Ур-ние, описывающее эволюцию ф-ции распределения для газа, было впервые получено Больцманом (1872) и наз. кинетическим ур-нием Больцмана. [c.315]

По данным измерений полных давлений и температур потока в сечениях пограничного слоя во всех секциях рабочих участков и статических давлений в этих сечениях построены графики распределения скоростей и температур в пограничном слое каждой секции. По этим графикам определены интегральные характеристики пограничного слоя толщина потери импульса б , толщина вытеснения б , толщина потери энергии -O и толщина теплового вытеснения Л затем построены графики изменения этих характеристик по длине экспериментального участка (по координате х). Кроме того, построены графики изменения скорости, температуры и плотности (ыь ир ) в невозмущенном потоке, а также температуры стенки по длине канала. Эти графики использованы для вычисления касательного напряжения tw и теплового потока q-u, на стенке каналов по интегральным соотношениям импульсов и энергии для пограничного слоя. [c.350]

Для определения распределения т и 9 по сечению пограничного слоя проинтегрированы дифференциальные уравнения импульсов и энергии с учетом уравнения неразрывности до текущего значения поперечной координаты у. [c.352]

Рассмотрим, воздействие на тонкую сферическую оболочку импульса внешнего давления, распределенного по узкой кольцевой зоне в экваториальной области. Как и в 2 главы 2 считаем, что координата х на поверхности оболочки направлена от верхнего полюса по меридиану оболочки, координата — в окружном направлении. [c.117]

Интегрирование по координатам производится по всему объему, занимаемому газом. Пределы изменения проекций импульса полагаем равными оо. Выражение (17.1) называется распределением Максвелла — Больцмана и может быть представлено в виде произведения двух распределений вероятностей распределения Максвелла для импульсов [c.118]

Для нахождения функции / (е) замечаем, что равновесное распределение по импульсам и координатам для электрона в ку-лоновском поле заряда ге (заряд иона) дается формулой Больцмана [c.132]

Фактически в С. ф. обычно рассматривают не замкнутые системы, а макроскопич. тела, являющиеся малыми макроскопич. частями, или подсистемами, к.-л. замкнутой системы. Ф-ция распределения для подсистемы отлична от (4), но пе зависит от конкретного вида остальной части системы, т. н. термостата. Для определения ф-ции распределения подсистемы необходимо проинтегрировать ф-лу (4) по импульсам и координатам частиц термостата. Такое интегрирование можно произвести, учитывая малость эвергии подсистемы по сравнению с энергией термостата. В результате для ф-ции распределения подсистемы получается выражение [c.666]

В отсутствие взаимодействия при абсолютном нуле температур все атомы газа находились бы в основном состоянии с импульсами, равными нулю. Иными словами, распределение частиц по импульсам имело бы б-образный характер. Основное положение теории Боголюбова состоит в том, что такой б-функционный член в распределении по импульсам имеется и при наличии взаимодействия, так что при слабом взаимодействии большая часть частиц находится строго в состоянии с равным нулю импульсом и лишь небольшая — в состояниях с отличными от нуля импульсами. Это приводит к тому, что те части ф-операторов, которые соответствуют уничтожению и рождению частиц с равными нулю импульсами, оказываются просто классическими. функциями координат и времени, подобно тому как при большом числе фотонов операторы электромагнитного поля превращаются просто в классические амплитуды поля. Некоммутативность операторов при большом числе бозонов в одном состоянии оказывается несущественной. В соответствии с этим можно разделить г15-оператор на две части, выделив из него классическую функцию Ч (г, /), описывающую частицы, находящиеся в состоянии с р = О, или, как говорят, в конденсате [c.662]

Вследствие указанного ограничения на характерный размер неоднородности оказывается возможным ввести вероятность заполнения состояний, зависящую не только от импульса и времени, но и от координаты. Обозначим эту функцию распределения через f (р, г, t). Равновесная функция при некоторой температуре будет просто ( рмиевской функцией /о ) Полное число электронов, находящихся в некоторой данной области импульсов и координат, можно получить простым интегрированием по пространству импульсов и пространству координат, причем [c.284]

При заданной выше упрощенной структуре гамильтониана системы Н р, q) = Щ р) -Н H q) распределение по импульсам р = (Рь. , Рлг) оказывается не только независимым от распределения по координатам q = (Г ,..., rjv), но и распадающимся на произведение независимых друг от друга стандартных максвелловских распределений по импульсам каждой из частиц в отдельности (см. гл, 1, 6, п.д)), так что корреляция импульсов частиц в такой системе полностью отсутствует, а средние по импульсам берутся с использованием стандартных приемов расчета интегралов, содержащих в подынтегральном выражении гауссово распределение. Считая эту часть распределения [кббса w p,q) достаточно уже нами изученной, рассмотрим оставшуюся координатную часть — iV-частичную плотность функции распределения wa(q) по координатам N частиц. [c.297]

Рассмотрим сразу трехмерную систему (это не вызывает дополнительных математических осложнений) и окатим внимание на физические процессы, происходящие в системе. Отказавшись, вследствие нерегулярного характера движения брауновской частицы, от описания движения какой-либо одной из них (хотя на эксперименте ее движение с достаточной точностью может бьггь и зафиксировано), будем описывать эволюцию частицы (или идеального газа из брауновских частиц) с помошью функции распределения р, что допустимо согласно 1 в самой грубой временной шкале t > 1/Г. Так как распределение по импульсам брауновских частиц в этой шкале является в любой момент времени максвелловским, то нас будет интересовать только функция распределения по координатам p t, г) такая, что p t, г) dr определяет вероятность обнаружить брауновскую частицу в объеме (г, г-)-dr) в момент времени t, причем [c.95]

Решение. Пусть система состоит из N частиц, имеющих помимо трансляционных еще по 5 внутренних степеней свободы, и пусть движение системы описывается уравнениями классической механики. Тогда микроскопическое состояние такой системы фиксируется точкой в 2х (3 + 5)Л -мерном фазовом пространстве импульсов и координат х= р, д). Пусть хн — одна из компонент классического вектора состояния х (координата или импульс), такая, для которой гамильтониан Я(х)1 о +Обозначая (йх)к=йхх...йхк- йх + -(1х2[ъ+т для среднего по распределению Гиббса ш(д )=С ехр —Я(л )/0 от величины хидН х) дх ., называемой часто вириалом, будем иметь [c.424]

В координатах амплитуда, частота, время строятся трехмерные изображения магнитных, вибрационных, акустических и электромагнитных полей, изучается пространственное распределение неаддитивных сигналов и т.п. Представляет интерес диагностирование путем измерения ударных процессов, как правило, однозначно характеризующих возникновение дефекта внутри изделия. Метод ударных импульсов позволяет осуществлять диагностирование подшипников на основе регистрации и смену высокочастотных вибраций, обусловленных ударными процессами. Этот принцип реализован в приборе ИСП-1, который не только указьтает на наличие дефекта, но и дает информацию о месте его возниьсновения. Установлено также, что по форме импульса, возникающего от удара падающего пьезопреобразователя на изделие, можно определять механические свойства поверхностного слоя материала изделия, его упругие и пластические деформации. Можно надеяться, что в будущем подобный метод будет успешно конкурировать с широко распространенными в настоящее время методиками контроля твердости изделий на приборах Бринелля, Роквелла и Виккерса. [c.112]

БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — статистически равновесная ф-ция распределения/(/>, г) по импульсам р 1 координатам г частиц (атомов, молекул) идеального газа, к-рые подчиняются класснч, механике и находятся во внеш. потенциальном поле (см. Ст.атистиче-ская физика) - [c.222]

В К. ф. используется существ, различие времён релаксации в неравновесных процессах (иерархия времён релаксации), напр, для газа из частиц или квазичастнц время свободного пробега значительно больше времени столкновения между частицами. Это позволяет нерейгн от полного описания неравновесного состояния ф-цией распределения по всем координатам и импульсам к сокращённому описанию при помощи ф-ции распределения одной частицы по её координатам и импульсам. [c.354]

В статистич. теории в общем случае сред, состоящих из взаимодействующих частиц, Н. с. определяется зависящей от времени ф-цией распределения всех частиц по координатам и импульсам или соответствующим статистич. оператором. Однако такое определение Н. с. имеет слишком общий характер, обычно достаточно описывать Н. с. менее детально, на основе огрублённого иля т. и. сокращённого описания. Напр., для газа малой плотности достаточно знать одночастичную ф-цию распределения по координатам и импульсам любой из частиц, удовлетворяющую кинетическому уравнению Больцмана и полностью определяющую ср. значения длотностен энергий, импульса и числа частиц и их потоки. Для состояний, близких к равновесному, можно получить решение кинетич. ур-ния, зависящее от Т(х.1),. i x,t), и(х,1) и их градиентов и позволяющее вывести ур-ния переноса для газа. Однако ф-ция распределения по энергиям для частиц газа в стационарном Н. с. может сильно отличаться от равновесного распределения Максвелла. Напр., для электронов в полупроводниках в сильном электрич. поле, сообщающем электронам большую энергию, теряет смысл даже понятие темп-ры электронов, а ф-ция распределения отличается от максвелловской и сильно зависит от приложенного поля. [c.328]

Волновая ф-ция даёт полную характеристику состояния. Зная ф, можно вычислить вероятность обнаружения опре-дел. значения любой относящейся к частице (или системе частиц) физ. величины и ср. значения всех этих фнз. величин. Статистич. распределения по координатам и импульсам не являются независимыми, из чего следует, что координата и импульс частицы не могут иметь одновременно точных значений (принцип неопределенности 1ёйзенберга см. Неопределенностей соотношения). Аналогичное соотношение неопределённостей имеется для энергии и времени. [c.316]

Уравнение (6-72) устанавливает связь между толщиной потери импульса 0 и координатой х в направлении течения. Интегрирование этого уравнения позволяет получить распределение 0(дг). Р. Е. Люкстон и А. Д. Янг предложили численный метод интегрирования по шагам с изменением координаты х в пределах каждого шага [c.171]

В этой главе мы рассмотрим замедление нейтронов, про-исходяш ее в результате упругих столкновений с ядрами замедлителя ). Основная задача, которая нас интересует, состоит в нахождении функции распределения нейтронов. Если г и р—радиус-вектор и импульс нейтрона, то функция распределения по координатам и импульсам N(r, р, t) определяется таким образом, что Л ,( Р> О г /р представляет [c.280]

Как мы знаем, в неравновесной статистической механике всегда выполняется термодинамический предельный переход V оо, N оо при условии, что N/V = onst. Функция распределения дг(ж1,..., Ждг, ) включает корреляции между положениями частиц в пространстве, причем вклад этих корреляций не исчезает в термодинамическом пределе. С другой стороны, (Pi,..., Рдг, ) имеет смысл функции распределения частиц по импульсам, т. е. в результате применения операции (7.2.68) информация о положении частиц в пространстве теряется . Если корреляции затухают на некотором характерном расстоянии г , то их вклад в интеграл по координатам частиц должен стать пренебрежимо малым по мере стремления объема системы к бесконечности. Иными словами, разумно предположить, что в термодинамическом пределе функция (Pi,..., Рдг, ) имеет такую же структуру, что и функция распределения для пространственно однородной системы, в которой отсутствуют корреляции между частицами, т.е. она имеет вид произведения одночастичных функций С уче- [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...