Вычисление решения во внутренних точках

Вычисление решения во внутренних точках 423 [c.423]

Дальнейшим следствием этого является то, что получение окончательной системы уравнений прямым МГЭ требует, как правило, значительно больше вычислений. Решение при этом обладает тем преимуществом, что в результате получаются реальные, а не фиктивные граничные значения, но за это приходится отчасти расплачиваться увеличением объема вычислений, требующихся для нахождения решений во внутренних точках. [c.50]

Подстановка граничных значений в соответствующие интегралы, определяющие решение во внутренних точках, для вычисления значений неизвестных функций во внутренних точках области. [c.413]

Остановимся на вопросе о вычислении напряжений и смещений уже после непосредственного решения интегрального уравнения. Собственно говоря, речь должна идти о вычислении напряжений в точках граничной поверхности, поскольку вычисление смещений и напряжений во внутренних точках области сводится к вычислению интегралов с аналитическими ядрами, а вычисление смещений в точках поверхности — к вычислению несобственных интегралов ), которые могут быть вычислены известными методами. Следует, правда, обратить внимание на необходимость в процессе проведения вычислений в точках, расположенных вблизи границы, введения вторичной дискретизации поверхности в зоне, расположенной в окрестности рассматриваемой точки. При этом используемая при вычислениях плотность должна получаться посредством того или иного интерполирования, исходя из полученного решения интегрального уравнения. Искомые значения напряжений и смещений могут считаться определенными с достаточной степенью точности (диктуемой степенью точности решения интегрального уравнения) лишь тогда, когда при вторичной (все более мелкой) дискретизации не произойдут изменения в искомых величинах. [c.580]

Позже бьши разработаны другие эффективные методы расчета складчатых систем. Отметим метод перемеш,ений, основанный на решениях М. Леви (изгиб) и Л. Файлона (плоская задача) для прямоугольных пластин [4] и различные модификации метода перемещений и смешанного метода [186, 344]. Метод перемещений устраняет многие недостатки метода В.З. Власова в части реализации алгоритма расчета на ЭВМ. Однако, он привносит в методику расчета недостатки, связанные с природой метода перемещений. В частности, формирование матрицы реакций требует привлечения матричных операций. Обязательное формирование основной системы привносит недостатки, связанные с ее использованием. Необходимы промежуточные вычисления для перехода от перемещений узлов к напряженно-деформированному состоянию во внутренних точках элементов системы. Метод разработан только для шарнирного опирания торцов конструкции. Сходные недостатки можно обнаружить и в смешанном методе. Следует отметить, что последний недостаток метода перемещений устраним, поскольку решения М. Леви и Л. Файлона являются частными случаями вариационного метода В.З. Власова. Поэтому можно разработать метод перемещений для произвольного опирания торцов складчатой системы. Если пренебречь влиянием побочных коэффициентов системы дифференциальных уравнений В.З. Власова, то алгоритм формирования матриц реакций и нагрузки останется прежним, а изменяется лишь фундаментальные функции. Можно дальше модифицировать метод перемещений. В I разделе отмечалось, что на базе соотношений МГЭ [c.479]

Таким образом, мы завершили описание прямого МГЭ применительно к типичной двумерной задаче о потенциальном течении в однородной области, и читателю рекомендуется теперь параллельно проанализировать оба метода решения — прямой и непрямой. На основе этого анализа, вероятно, можно прийти к справедливому выводу, что затраты на вычисление в непрямом МГЭ фактически совпадают с требуемыми в прямом методе для нахождения первоначально неизвестных значений на границе. Однако в дальнейшем в связи с формированием в прямом методе дополнительной матрицы Н затраты на вычисление этим методом значений и (х) во внутренних точках существенно возрастают и могут конкурировать с затратами, которые обусловлены дополнительными операциями с вектором qp в непрямом методе, необходимыми для нахождения остальных граничных значений. [c.74]

Различия в вариантах МГЭ проявляются прежде всего в приемах вывода соответствующих граничных интегральных уравнений и отчасти в способах обработки результатов их решения. Техника же разбиения границ, аппроксимаций, подсчета коэффициентов, решения уравнений, коль скоро они получены, расчетов для внутренних точек остается одной и той же. Поэтому структура и многие элементы программ, реализующих любой вариант, одинаковы и развитие вычислительной стороны осуществляется для метода граничных элементов в целом. Это отчетливо показано в данной книге, и авторы настойчиво добиваются, чтобы читатель ощутил единый модульный характер вычислительных программ и значительную общность модулей. Сравнивая достоинства вариантов, можно все же отметить, что прямой метод, включая и вариант разрывных смещений в прямой его трактовке, очень привлекателен для механиков и инженеров своей главной чертой — тем, что в нем неизвестные функции являются физически осязаемыми величинами. Это немаловажное достоинство становится особенно ценным в случаях, когда достаточно знать лишь значения усилий и смещений на границе, когда необходимо учесть дополнительные соотношения в угловых и других особых точках, а также в контактных задачах, подобных рассмотренным в 8.2, 8.4, при произвольных условиях, связывающих усилия с взаимными смещениями в соприкасающихся точках границ. С другой стороны, в непрямых вариантах несколько сокращаются вычисления на заключительном этапе — при нахождении напряжений, деформаций и смещений во внутренних точках области по найденному решению ГИУ. [c.274]

Таким образом, вычисление напряжений и перемещений во внутренних точках тела на основе имеющегося граничного решения не представляет математической трудности. Процедура вычисления сводится к интегрированию выражений (III.39), (III.41), (III.48) и, если заданы массовые силы и закон распределения температуры, подчиняющиеся однородному уравнению Лапласа, выражений (III.51) — (III.54), подстановке их совместно с известным граничным решением в соответствующее уравнение. [c.70]

Естественно, возникает вопрос, каким начальным и граничным условиям должны удовлетворять справедливые во внутренних точках уравнения Эйлера, Навье — Стокса и т. п. Легко видеть, что решение гидродинамических уравнений, полученное по начальным гидродинамическим данным, вычисленным по истинной начальной функции распределения, отличается на величину порядка от асимптотического решения, к которому стремится при t— и >0 решение модельного уравнения Больцмана, хотя это последнее решение асимптотически Удовлетворяет тем же гидродинамическим уравнениям. Действительно, запишем (6.3) и (6.4) соответственно в виде [c.130]

Если бы функция б была известна, то решение неоднородных гидродинамических уравнений с начальными гидродинамическими данными, вычисленными по заданной начальной функции распределения, представляло бы во внутренних точках решение уравнения Больцмана. [c.130]

Определив все компенсирующие элементы матрицы А, можно свести граничное интегральные уравнение (1.38) к системе линейных алгебраических уравнений, решением которой определяются неизвестные начальные и конечные параметры всех стержней. Напряженно-деформированное состояние во внутренней точке стержня определяется вычислением по матричному уравнению (1.32). [c.26]

Метод расчета напряженно-деформированного состояния цилиндрических складчатых систем разработал проф. В.З. Власов [24]. К недостаткам метода В.З. Власова следует отнести сложную логику формирования разрешающей системы уравнений, необходимость решать дифференциальные уравнения для каждого элемента конструкции, ограничения на торцевые условия опирания элементов складчатых систем (они должны быть одинаковыми), относительную сложность реализации алгоритма на вычислительных машинах. Позже были разработаны другие эффективные методы расчета складчатых систем. Отметим метод перемещений, основанный на решениях М. Леви (изгиб) и Л. Файлона (плоская задача) для прямоугольных пластин с шарнирным опиранием по торцам [2] и различные модификации метода перемещений и смешанного метода [46, 104]. Метод перемещений устраняет многие недостатки метода В.З. Власова в части реализации алгоритма на персональных компьютерах. Однако он привносит в методику расчета недостатки, связанные с природой метода перемещений. В частности, формирование матрицы реакций требует привлечения матричных операций, образование основной системы привносит недостатки, связанные с ее использованием, необходимы промежуточные вычисления для перехода от перемещений узлов к напряженно-деформированному состоянию во внутренних точках элементов системы. [c.232]

Было выполнено несколько систематических численных экспериментов по исследованию правильности граничных условий, поставленных в расчете на выходной границе для многомерных задач. Брили [1970] рассчитал два варианта, во втором из которых граница В 6 была отодвинута на пять узлов вниз по потоку. Используя условия (3.481) и (3.483), он обнаружил, что величина вихря на стенке во втором случае менялась менее чем на 0.2%. Чен [1970] выполнил сравнительные расчеты для течения сжимаемой жидкости и обнаружил, как и следовало ожидать, что мягкие условия обычно дают более точные результаты. Следует также отметить, что даже если при помощи экстраполяций высокого порядка для г]) и и можно добиться получения устойчивого решения, то, как правило, при этом результаты получаются менее точными, поскольку они основываются на значениях, вычисленных во внутренних точках, а не на точных значениях (Чен [1968, 1970]). Весьма желательны дальнейшие исследования многомерных случаев, основанные на [c.245]

Если для решения уравнения (3.543) применяются явные схемы, то это условие просто используется после вычисления Гш+ 1 во внутренних точках, т. е. принимается, что Если же [c.288]

Если для решения уравнения (3.543) применяются явные схемы, то это условие просто используется после вычисления Т 1 во внутренних точках, т. е. принимается, что 7 = 7 +1 Если же применяются неявные схемы, то условие (3.560) необходимо ввести в схему для расчета внутренних точек так же, как это [c.288]

Не будет лишним даже начать разработку программы с другой, более простой численной схемой, нежели та, которая будет применена окончательно при этом будет легче отладить другие части программы. Сложная схема расчета во внутренних узлах сетки сильно усложняет отладку программы. (Например, по опыту автора при расчете течений сжимаемой жидкости по двухшаговой схеме грубая ошибка в вычислении плотности на первом шаге обнаруживается лишь при больших I по расходимости решения для температуры.) Составление программы расчета течения сжимаемой жидкости рекомендуется начинать со случая постоянных а и программы расчета задачи радиационной газодинамики—с программирования и отладки только ее газодинамической части пока не отлажен расчет во внутренних точках, рекомендуется избегать усложнений, связанных с рассмотрением свободной поверхности, и т. д. [c.473]

Так называемый метод граничных элементов стремится к удовлетворению приведенного выше интегрального уравнения в смысле взвешенных невязок. Сначала отметим, что хотя объемный интеграл и входит в (4.13), он тем не менее не содержит искомое решение Для вычисления объемного интеграла внутреннюю область необходимо подвергнуть дискретизации, однако при этом отпадает необходимость во внутренних элементах в том смысле, в каком используются конечные элементы. В пределах каждого граничного элемента и могут быть подвергнуты интерполяции. Заметим, что некоторые узловые значения заданы на St, в то время как узловые значения заданы на Su- Можно показать [57, 58], что метод граничных элементов в случае линейной упругости приводит к уравнениям типа [c.206]

Граничные условия Неймана выдвигают два специальных требования при решении задачи. Первое требование заключается во введении градиентного условия в уравнения метода последовательной верхней релаксации. Очевидный способ решения здесь таков вычисляются новые значения на итерации во всех внутренних точках сетки, а затем по известной величине бР/бл и вновь вычисленным значениям в точках, смежных с границей, рассчитываются значения функции на этой границе. Для точки (г,/с) границы В 2 (рис. 3.22), используя в соответствии с формулой (3.380) метод последовательной верхней релаксации, получаем следующие уравнения [c.279]

Здесь приводятся два решения этой задачи с различными граничными условиями. В первом предполагается, что температурные деформации равны нулю, а во втором нулю приравниваются приложенное внутреннее и внешнее давления. На рис. 4,11 и 4.12 показаны значения напряжений, вычисленные в отмеченных на рис. 4.10 точках. Радиальные и азимутальные напряжения вычисляются при помощи простого преобразования их декартовых компонент. [c.130]

Численные алгоритмы, основанные на методе характеристик имеют ярко выраженную модульную структуру. Они заключаются в последовательном выполнении более простых алгоритмо (модулей), предназначенных для вычисления решения во внутренних и различного рода граничных узлах характеристической сетки. В предыдущем параграфе были приведены такие алгоритмы для некоторого класса гиперболических уравнений газовой динамики. Зная, как с помощью метода характеристик определить решение в точке, можно решать некоторые типичные для гиперболических уравнений задачи. К таким задачам относятся задача Коши, задача Гурса и смешанная задача. Схемы решения их методом характеристик и алгоритм решения описаны в 2.2. Алгоритмы решения задачи Коши, Гурса и смешанной задачи можно рассматривать как модули более высокого уровня (макромодули). [c.125]

Примеры применения метода характеристик. Численные алгоритмы, основанные на методе характеристик, имеют модульную структуру, заключающуюся в последовательном выполнении более простых алгоритмов (модулей), предназначенных для вычисления решения во внутренних и различного рода граничных узлах характеристической сетки. В предыдущих пунктах были описаны такие алгоритмы для некоторого класса гиперболических уравпений газовой дипамики. Алгоритмы решения задачи Коши, Гурса и смешанной задачи можно рассматривать как модули более высокого уровня (макромодули, см. п. 1.2.6). Введем следующие обозначения Д/]—модуль расчета внутренней точки области, М2 — модуль расчета точки на степке в случае стационарного течення (или на поршпе в нестационарном течении), 71 з — модуль расчета точки на свободной границе в случае стационарного сверхзвукового течения (или контактной поверхности в случае нестационарного течения), [c.80]

Одним из наиболее важных вопросов при определении НДС является вычисление граничных значений тензора напряжения. Из практики расчетов известно, что, как правило, экстремальные значения напряжений находятся именно на границе. После решения задачи МГЭ имеется полный набор граничных перемещений и усилий в системе заранее выбранных точек. С помощью принятой при численной реализации МГЭ интерполяции можно определить граничные значения перемещений и усилий в неузловых точках границы. Нормальные и касательные Оп% компоненты тензора напряжений вычисляются непосредственно по найденным значениям вектора усилий. Для определения недостающих компонентов существуют несколько способов. Наиболее простым среди них является способ вычисления недостающих компонент на поверхности тела путем экстраполяции по значениям во внутренних точках тела. Однако этот способ имеет большую погрешность вследствие того, что внутренние точки нельзя выбирать близко к границе. Ядра Shii на границе обладают особенностью l/R" где т — [c.70]

При поисках закарстованных зон более надежные и точные результаты можно получить в случае проведения наблюдений во внутренних точках среды по методике сейсмического (акустического) просвечивания и ВСП. Пример решения этой задачи с помощью межскважинного сейсмического просвечивания приведен на рис. 82. Индикатрисы скорости, вычисленные для всех точек возбуждения, выявили низкоскоростные зоны, которые связывались с повышенной закарстованностью [46]. Эти результаты подтверждены данными бурения. [c.179]

Вычисления при решении СОДУ состоят из нескольких вложенных один в другой циюшческих процессов. Внешний цикл—это цикл пошагового численного интегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель анализируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточный цикл — итерационный цикл решения системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Параметр цикла — номер итерации. Во внутреннем цикле решается СЛАУ, например, при применении узлового метода формирования ММС такой системой является (3.19). Поэтому в математическое обеспечение анализа на макроуровне входят методы решения СНАУ и СЛАУ [c.105]

В предыдущем столетии теоретические исследования двин ения жидкости проводились в большей части случаев на основе предположения, что жидкость является идеальной, т. е. не обладаюш ей трением, и притом — несжимаемой. Только в настояш,ем столетии влияние трения и сжимаемости стали учитывать в большей мере. При движении жидкости без трения между отдельными ее соприкасаюш имися слоями возникают только нормальные силы (давления), касательные же силы (напряжения сдвига) отсутствуют. Это означает, что идеальная жидкость не оказывает изменению формы никакого внутреннего сопротивления. Теория движения идеальной жидкости математически очень широко разработана и во многих случаях дает вполне удовлетворительную картину действительных движений. Такими случаями являются, например, волновое движение или движение с образованием струй. В то же время теория идеальной жидкости совершенно бессильна для решения проблемы вычисления сопротивления тела, движуш егося в жидкости. В этом случае она приводит к результату, что тело, равномерно движущееся в неограниченно распространенной жидкости, не испытывает никакого сопротивления (парадокс Даламбера). [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...