Вспомогательная задача дифракции

Подведем предварительные итоги рассмотрения нашей вспомогательной задачи. Если угол падения плоской волны на периодическую структуру из поглощающих экранов достаточно мал, то большая часть энергии излучения не поглощается, ал рассеивается благодаря дифракции. В рассеянном излучении основную роль играет отраженная волна, на которую приходится значительная часть суммарной, интенсивности излучения. Таким образом, амплитуда отраженной плоской волны сопоставима с амплитудой исходной падающей волны, приближаясь к ней по мере уменьшения а. [c.97]

Функции, по которым производилось разложение в методе Релея, сами удовлетворяют однородным волновым уравнениям. Мы находили эти функции разделением переменных и этим их свойством не пользовались. Однако, как будет показано в этой главе, в задачах, к которым метод разделения переменных неприменим, функции, в ряд по которым целесообразно разлагать искомые решения, можно определить именно из этого свойства, как собственные функции некоторых вспомогательных однородных задач. Ниже различным задачам дифракции сопоставим несколько таких однородных задач. Одному и тому же телу можно сопоставить различные системы собственных функций. Для каждой конкретной задачи дифракции один из возможных вариантов выбора этой системы дает наиболее удобное для исследования решение. [c.84]

В методах, описанных в этом и следующем параграфах, частота во вспомогательной задаче не является собственным значением, а равна частоте в задаче дифракции, т. е. частоте возбуждения. В качестве собственного значения в однородной задаче принимается какой-либо другой из параметров задачи дифракции- [c.92]

Диэлектрик в закрытом резонаторе. Объясним метод на уже сформулированной задаче (8.23), (8.24а), (8.25а) о закрытом резонаторе, содержащем диэлектрическое тело. Сопоставим данной задаче дифракции следующую вспомогательную однородную задачу, в которой сохраняются те же граничные условия (8.24а), (8.25а), а уравнения для в 1/+ и в У имеют вид [c.92]

Если диэлектрик обладает потерями (е — е +е <сО), то это никак не скажется на собственных значениях Вп- Они по-прежнему будут вещественными (если, как в нашей задаче, других потерь кроме диэлектрических нет). Они вообще не зависят от 8 задачи дифракции — эта величина не входит в формулировку вспомогательной задачи. При изменении е резонанс наступит при е = вп, а резонансная кривая будет иметь вид [c.94]

В начале этой главы вводятся функции Грина. Это вспомогательные функции, которые позволяют в некоторых простых ситуациях записывать явное решение задач дифракции. Однако их главная ценность в том, что с их помощью многие задачи дифракции, сначала формулируемые в терминах дифференциальных уравнений, удается свести к интегральным уравнениям. Перечислим задачи, которые будут рассмотрены в этой главе дифракция на диэлектрическом теле (искомой величиной является поле внутри диэлектрика) дифракция на металлическом теле (определяется ток на поверхности металла) дифракция на отверстии в металлическом экране (находится поле на воображаемой поверхности, затягивающей отверстие). По полю в диэлектрике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле во всем пространстве выражается уже в явном виде. Свести задачу о решении волнового уравнения к интегральному удобно, в частности, потому, что ЭВМ, вообще говоря, легче находит решение интегрального уравнения, чем дифференциального уравнения в частных производных. Кроме того, интегральное уравнение иногда имеет меньшую размерность. Особенно незначительны затраты машинного времени, если масштабы тел или отверстий меньше длины волны или сравнимы с этой длиной. [c.105]

Коэффициент отражения от диафрагмы. Выше вариационный аппарат применялся для определения собственных значений нескольких однородных задач, которые (гл. 111) являются вспомогательными для задач дифракции. Однако его можно использовать и непосредственно для задач дифракции, т. е. для нахождения коэффициентов отражения, прохождения и, вообще, полей, являющихся решениями неоднородных уравнений. [c.147]

Метод собственных колебаний обычно трактуется как законченный метод решения задач дифракции, почти не имеющий явных точек соприкосновения с каким-либо другим методом. В этой книге авторы показывают, что его можно рассматривать как один из вариантов некоторого более общего метода, в котором в качестве собственного значения вспомогательной однородной задачи выбирается не обязательно частота. Во многих задачах дифракции — в первую очередь при исследовании открытых резонаторов — естественными и наиболее эффективными являются другие варианты этого общего метода. В них однородная задача формулируется так, что собственными значениями являются другие физические параметры. [c.6]

Обобщенный метод собственных колебаний, основы которого излагаются в этой книге, также состоит в представлении решения стационарной задачи дифракции в виде ряда по некоторой ортогональной системе функций. Он также эффективен в первую очередь вблизи резонанса. Он применим и для открытых резонаторов и вообще для любых задач дифракции на ограниченных телах. Его основная идея состоит в том, что в качестве собственных функций используются решения однородной задачи, в которой собственным значением является, вообще говоря, не частота (как в обычном методе), а какой-либо электродинамический параметр — например, диэлектрическая проницаемость некоторого вспомогательного тела, занимающего тот же объем, что и тело, на котором происходит дифракция. Какая именно величина принимается в качестве собственного значения однородной задачи, зависит от вида задачи дифракции в книге излагается несколько вариантов метода. Во всех изложенных вариантах собственные функции соответствуют [c.7]

Задача (3.4а) — (3.4г) имеет самостоятельный физический смысл. Она описывает собственное колебание — т. е. поле, существующее без источников, — происходящее с частотой задачи дифракции в некоторой вспомогательной системе диэлектрических и металлических тел. Сравнение (3.4) с (3.1) показывает, что эта система состоит из того же резонатора и диэлектрического тела той же формы. В отличие о г системы, для которой решается задача дифракции, диэлектрическая проницаемость тела Еп в однородной задаче не равна, вообще говоря, е. Поэтому однородная задача при некоторых значениях Вп имеет нетривиальное решение (при заданном к). [c.26]

Общим во всех вариантах обобщенного метода, излагаемых в этой главе, является введение собственных значений в граничные условия однородных задач, а не в уравнения (как это имело место в й- и е-методах). Для этого на поверхности вспомогательного тела, имеющего ту же форму, что и в исходной задаче, вместо истинных граничных условий задачи дифракции ставятся какие-либо вспомогательные условия, содержащие параметр, играющий роль собственного значения. Например, в ш-методе ( 9) на границе тела ставится условие импедансного типа, и собственными значениями соответствующей однородной задачи являются те значения импеданса вспомогательного тела, при которых существуют нетривиальные решения на заданной частоте. Во всех методах этой главы каждая собственная функция обязана удовлетворять тому же уравнению, что и дифрагированное поле (т. е. однородному уравнению с истинной частотой), и тем же условиям на бесконечности (кроме варианта, изложенного в 13). Поэтому представление искомого поля в виде разложения (5.5) удовлетворяет почленно уравнению задачи дифракции и условиям излучения (если таковые накладываются) при любых коэффициентах Л . Эти коэффициенты определяются нз оставшегося условия, состоящего в том, чтобы искомое поле удовлетворяло истинным граничным условиям. При этом используются имеющие здесь место соотношения ортогональности. [c.85]

Мы рассмотрим здесь два дополняющих друг друга варианта обобщенного метода, позволяющих строить решения задач дифракции на замкнутых и незамкнутых металлических поверхностях в 11 эти методы будут применены к задачам дифракции на диэлектрических телах. Их отличие от ау-метода состоит, в частности, в том, что во вспомогательной однородной задаче на поверхности рассматриваемого тела ставятся граничные условия, имеющие смысл условий сопряжения-, в применении к задачам о телах с замкнутыми границами это означает установление связи между внутренним и внешним объемами, а для гел с незамкнутыми границами (бесконечно тонкие экраны)—связи между полями на разных сторонах экрана. Эти условия могут трактоваться как описывающие границу тела в виде полупрозрачной пленки, в то время как применяемые в ау-методе импедансные граничные условия означают полную изоляцию (экранировку) рассматриваемой области от остального объема, т. е. описывают непрозрачную пленку, повторяющую форму тела. Таким образом, вспомогательная однородная задача р-метода ставится для всего пространства (в случае замкнутых границ одновременно для внутренней и внешней областей). Поэтому ее собственные элементы позволяют строить решения как внутренней, так и внешней задач дифракции, а собственные значения, как функции частоты, содержат информацию о резонансах обеих задач. [c.97]

Для незамкнутых поверхностей решение рассмотренных выше задач дифракции можно построить иначе, разлагая дифрагированное поле по собственным функциям не одной, а двух вспомогательных задач, отличающихся постановкой граничных условий на 5. А именно, в каждой однородной задаче собственные значения следует ввести только через одно из вспомогательных граничных условий, а другое сохранить таким же, как и [c.141]

В работе [45] метод вспомогательных источников использован для построения решения задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом цилиндре, расположенном вблизи границы раздела различных сред. Аналогичным образом можно построить вычислительный алгоритм для расчета звукового поля, излучаемого цилиндром с направляющей произвольной формы, расположенным вблизи границы раздела двух жидких или газообразных сред. [c.72]

В каждом методе изложена в первую очередь его идея. Она проиллюстрирована самой простой задачей из тех, в которых применение этого метода целесообразно. Лишь затем рассмотрены— обычно очень коротко — более сложные задачи и более сложные варианты метода. Всюду, где это было возможно, вспомогательные математические преобразования опущены и заменены описанием этих преобразований. Теория дифракции, которая иногда рассматривается как глава математической физики, изложена в этой книге как совокупность нескольких простых идей, подсказанных, как правило, физической интуицией, т. е. не как математическая, а как физическая дисциплина. [c.9]

В теории дифракции, как и в любой другой физической теории, принят ряд идеализаций, т. е. рассматриваются некоторые математические модели, облегчающие анализ реальных объектов. Решения идеализированных задач близки к решениям реальных. Мы уже начали с такой идеализации — с представления о монохроматических колебаниях (1.1). Решение задач в идеализированной постановке легче, чем при учете соответствующих точных (более точных) условий. В идеализированных задачах часто удается применить какие-либо вспомогательные приемы Однако введение в теорию идеализированных объектов приводит и к некоторым усложнениям — кроме уравнений Максвелла или соответствующих уравнений акустики искомые решения надо подчинять еще и дополнительным условиям. Иначе оказываются возможными решения, не близкие к решениям неидеализированных задач. [c.18]

В предыдущем параграфе при формулировке вспомогательной однородной задачи был введен собственный параметр — диэлектрическая проницаемость е . Здесь рассмотрен еще один из возможных вариантов метода в нем собственным значением является импеданс стенки. Исследуется дифракция при любом импедансе. Импеданс зависит от структуры стенки, его мнимая часть характеризует потери в поверхности неидеального проводника. Если частота k фиксирована и нужно проследить зависимость поля от импеданса, то наиболее подходящим является именно этот метод. [c.99]

В теории дифракции для решения внутренних задач широко применяется метод собственных колебаний. Он состоит в том, что поле, возникающее при возбуждении замкнутого объема (т. е. решение неоднородной задачи), ищется в виде ряда по некоторым вспомогательным функциям — собственным функциям этого объема. Эти функции являются собственными функциями вспомогательной однородной задачи, соответствующими различным значениям собственной частоты. Они образуют полную и ортогональную систему. Метод особенно эффективен для резонаторов с малыми потерями и при частоте, близкой к одной из собственных частот. [c.7]

Допустим теперь, что на непрозрачный экран с отверстием нормально падает плоская линейно поляризованная электромагнитная волна. На вспомогательной поверхности Р вектор Е будет иметь одно и то же направление, параллельное плоскости экрана. Принцип Гюйгенса сводит задачу о дифракции к суперпозиции коллинеарных векторных колебаний того же направления. Поэтому следует ожидать, что в дифрагированной волне вектор Е всюду будет параллелен плоскости экрана. Это будет так и вдали от экрана, где дифрагированные волны разных направлений расходятся и перестают накладываться друг на друга. Так будет и в волне, дифрагировавшей косо к плоскости экрана. Но в действительности вектор Е перпендикулярен к дифрагирующим лучам и образует с вычисленным направлением угол, равный углу дифракции -О (рис. 163). [c.277]

Метод вспомогательных источников. Теория метода дана в работе [28], примеры применения для решения многих задач возбуждения и дифракции волн — в работах [21, 45,86]. [c.71]

Большой принципиальный интерес представляет принадлежащее Зоммерфельду точное решение задачи о дифракции плоской волны относительно прямолинейного края полубесконечного экрана. Потенциал в этом случае не зависит от координаты, отсчитываемой вдоль края экрана, и задача приводится, следовательно, к плоской. Идея решения вкратце такова условия, существующие на экране, могли бы получиться в свободном поле при наличии второго, симметрично расположенного источника. Однако такого источника на самом деле нет. Но если ему нет места в действительном физическом пространстве, то его можно поместить во вспомогательном фиктивном пространстве. Строится двулистная рима-нова поверхность. Один лист физический, другой фиктивный оба листа сшиты по линии экрана. Остается подобрать симметричную относительно шва функцию, удовлетворяющую волновому урав- [c.276]

Чтобы с помощью принципа Гюйгенса — Френеля определить поле световой волны за экраном, иужно знать поле на поверхности экрана и в отверстии. Предполагается, что это поле в точках отверстия такое же, как и при свободном распространении падающей волны при отсутствии каких бы то ни было экранов, а в точках, лежащих непосредственно за непрозрачным экраном, поля нет. Это предположение позволяет решить задачу дифракции, но вместе с тем оно влечет за собой целый ряд принципиальных трудностей. Во-первых, оно математически противоречиво если вычислить по принципу Гюйгенса — Френеля напряженность поля во всем пространстве, то на вспомогательной поверхности 5 она не совпадает с исходной напряженностью поля падающей волны, а на задней стороне экрана не обратится в нуль. Во-вторых, это предположение допускает разрыв напряженности поля на краю отверстия, что противоречит граничным условиям (непрерывности тангенциальных составляющих). В-третьих, предположение приводит к [c.282]

Аппарат, развитый в 3, 4 для задачи дифракции на диэлектрическом теле с посгоянной диэлектрической проницаемостью е, в. sitom и следующем параграфах будет обобщен на задачу о дифракции иа теле, в котором г есть функция координат, г = г г). Собственным значением однородной задачи будет теперь ие сама диэлектрическая проницаемость вспомогательного тела е , которая тоже оказывается функцией точки, а некоторое число, входящее в е . Вид функции е (г) зависит ог вида функции е (г) — подобно тому, как для е = onst форма тела во вспомогательной однородной задаче повторяла форму тела в основной задаче дифра а1И11. Результаты 3, 4 являются частными случаями результатов этого параграфа. [c.42]

Если в задаче дифракции нет других потерь, кроме, быть может, потерь на поверхности тела, то однородная задача (она не зависит от истинных граничных условий) будет, как правило, самосопряженной, а собственные значения — вещественными В общем случае однородная задача несамосопряженная, собственные значения комплексны, причем знак их мнимых частей соответствует выделению с поверхности вспомогательного тела энергии, расходуемой на поддержание незатухающих колебаний, происходящих с истинной частотой, в отсутствие истинных источников. Вспомогательные граничные условия в таком случае описывают некую активную (т. е. с отрицательными потерями) пленку, излучающую пропорционально квадрату поля на ней и имеющую форму границы тела. [c.86]

Если же в задаче дифракции поле должно удовлетворять условию (10.26), то для вспомогательной задачи нужно принягь [c.99]

Излагаемый в этом параграфе вариант метода применйм при решении задач дифракции в открытых системах. В нем вспомогательная однородная задача оказывается вещественной и может быть сведена к вещественному интегральному уравнению, если в задаче дифракции присутствуют только потери на излучение. Это связано со следующей закономерностью, уже обсуждавшейся для закрытых задач. А именно, при наличии потерь только одного типа соответствующую вспомогательную задачу всегда можно сделать вещественной, если вводить собственное значение именно в той области, где эти потери присутствуют, точнее, если вводить собственное значение через параметр задачи дифракции, ответственный за эти потери. В рассматриваемом варианте собственное значение однородной задачи (которая соответствует задаче дифракции с потерями только на излучение) мы введем через условия для собственной функции на бесконечности. Физический смысл этих условий состоит в том, что существует как сходящаяся из бесконечности собственная волна, так и рассеянная телом собственная волна. Угловые зависимости сходящейся и расходящейся волн, определяемые формой и свойствами облучаемого тела, должны совпадать (с точностью до комплексного сопряжения). В качестве собственных значений принимаются отношения амплитуд рассеянных и приходящих [c.125]

В этой главе обобщенный метод собственных колебаний применен к задачам дифракции на телах (диэлектрических или металлических) с границами раздела или на экранах общего типа (импедансных, полупрозрачных и т. д.). Задачи для собственных функций содержат спектральный параметр в граничных условиях, и эти функции ортогональны на границах. Условия на бесконечности рассматриваются также как граничные. В задачах о высокодобротных резонаторах нерезонапс-ный фон может быть эффективно просуммирован выбором поля и° в виде решения вспомогательной задачи [c.145]

Из достоинств этого алгоритма отметим однородность подавляющей части множества получаемых треугольников. Число конгруэнтных треу гольников равно 0(к ) и лишь 0(й" ) треугольников нестандартны В ряде случаев (например, для дифференциальных уравнений с постоян ными коэффициентами) это облегчает вычисление и хранение элемен тов матрицы дискретной задачи для регулярных узлов. Если Г — внутрен няя граница триангуляции (что имеет место в задачах дифракции), то сог пасованное разбиение получается по обе стороны от нее. И наконец, естест венная нумерация и топологическая эк зивалентность регулярной сетке поз воляют эффективно использовать двухступенчатые методы с простыми вспомогательными операторами [55]. Недостаток метода заключается в частом обращении к уравнению границы. Если оно не сгшшком простое, особенно когда задано неявно, то время работы на ЭВМ получается большим. [c.70]

Положим, что мы желаем решить задачу о дифракции плоской единичной волны от края экрана для случая скольжения волны параллельно экрану. Картина явления для этого случая была изображена на рис. 72. Преобразуем эту картину следующим образом сожмем круг в полукруг путем уменьшения всех углов вдвое. При этом радиус О А останется на месте, радиус О А повернется на 90° по часовой стрелке, фронт плоской волны — тоже, радиус, соответствующий нижнему берегу разреза ОА, повернется на 180° в ту же сторону и займет нолон епие О А ". Преобразованная таким образом картина показана на рис. 86. Граничные условия вспомогательной задачи таковы ср=0 на дуге АА , =1 на дуге А А ", 9ср/5 г=0 на обоих радиусах О А и О А". [c.380]

Идея метода, развитого в этой главе, состоит в том, что в качестве собственного значения однородных задач, которые порождают систему собственных функций, берется диэлектрическая проницаемость. Дифрагированное поле представляется в виде ряда по этим собственным функциям. Собственное значение е есть диэлектрическая проницаемость вспомогательного тела, занимающего ту же область, что и тело, на котором происходит дифракция. Истинная диэлектрическая проницаемость не входит в однородную задачу. Поэтому, в частности, на собственных значениях никак не скажется комплексность нстинного е. Собственные значения вещественны, если в задаче нет других потерь, кроме диэлектрических. Если же, например, есть излучение, то метод сохраняется, дифрагированное поле по-прежнему представимо в виде ряда по собственным функциям, но собственные значения — комплексны. Знак мнимой части собственного значения положителен — это соответствует тому, что во вспомогательной однородной задаче тело является активным, в нем выделяется энергия, компенсирующая потери. Далее в этой главе приведены обобщения на случай дифракции на неоднородном теле и на векторные задачи, описываемые уравнениями Максвелла. В 7 весь этот аппарат применен к решению квантовомеханической задачи об упругом рассеянии на потенциальном поле. [c.24]

От [38] ОМСК отличается, в первую очередь, тем, что k в однородном уравнении принято равным k в задаче рассеяния. В отличие от [32], [38] в ряд разлагается только рассеянное поле, и поэтому ряд сходится всюду. По-видимому, ранее в нем не производилось выделение слагаемого, соответствующего рассеянию на вспомогательном потенциале /(г). Именно это выделение позволило получить в резонансных условиях явное одночленное выражение. В принятой в квантовомеханической теории терминологии это означает, что собственные функции порождаются не обычным уравнением Лип-мана — Швингера (5.24), а другим уравнением Лип-мана — Швингера в методе искаженных волн [8] — уравнением (5.45) или, в других обозначениях, (7.20). Аналогом этого слагаемого в рядах, использованных в 23—28, является слагаемое, соответствующее дифракции на заметаллизированном резонаторе. По-видимому, к уравнениям (6.1) и (6.3) аналогичный аппарат не применялся. [c.281]

Дифракционный интеграл (1.2.28) широко используется при решении многих дифракционных задач. Следует, однако, иметь в виду, что возможны и другие математические подходы к анализу дифракции. Они, прежде всего, связаны с выбором другой вспомогательной функции %. В частности, функция % может быть выбрана так, чтобы она обращалась в ноль на поверхности 5. Такой подход в какой-то степени упрощает задачу, так как в выражении (1.2.28) обращается в ноль член, содержащий ЭЧуЭ . [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...