Равновесие точки. Устойчивость равновесия

РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ [c.177]

Для того чтобы определить поведение шарика, нужно не только найти состояние равновесия, но и решить вопрос об устойчивости. Аналогично тому, что было сказано об устойчивости равновесия в 29, если момент сил, возникающих при отклонении от положения равновесия, возвращает шарик к положению равновесия, то состояние равновесия устойчиво в противном случае состояние равновесия неустойчиво. Иначе говоря, для устойчивости состояния равновесия необходимо, чтобы результирующий момент обеих сил был по знаку противоположен отклонению от положения равновесия. Из выражения [c.367]

На рис. 83 показаны траектории для общего случая (не только для случая движения вблизи особой точки). Особенности расположены на линии ф = О в точках 0 = 0 и 0 = +пя точки 0 = 0 и 0 = пл (где п четное) являются седлами, точками неустойчивого равновесия, а0 = ли0= м (где п нечетное) представляют собой вихревые точки, точки устойчивого равновесия. Уравнения траекторий имеют вид [c.377]

Уравнение (5.79) представляет собой уравнение прямой. При переменном параметре х и постоянном Дг получаем семейство прямых, угловой коэффициент которых равен Кх- На рис. 5.14 приведено семейство тяговых характеристик электромагнитного управляющего элемента, построенное в относительных координатах. На этом же рисунке нанесена характеристика пружин подвески якоря. Пересечение характеристики пружин с тяговыми характеристиками дает графическое решение уравнения (5.79) и уравнения уравновешивающих прул<ин, фиксируя точки устойчивого равновесия якоря. [c.339]

Краевые дислокации взаимодействуют между собой подобно электрическим диполям. Если одну из дислокаций поместить в начало декартовых координат, то в случае упруго изотропных кристаллов возникают зоны притяжения и отталкивания с границами на биссектрисах координатных углов (рис. 2.15, а) [471. Для параллельных краевых дислокаций одинаковых знаков точки устойчивого равновесия располагаются в плоскости лишнего атомного слоя, а для дислокаций разных знаков —на биссектрисах координатных углов. В связи с этим под действием теплового возбуждения при нагреве кристалла краевые дислокации собираются в устойчивые конфигурации — дислокационные стенки (рис. 2.15, б ив), которые являются границами блоков и объясняют мозаичную структуру кристаллических зерен в поликристаллах. [c.87]

Если сумма сил (или просто сила), возникающая при отклонении тела (точки) от положения равновесия, такова, что она возвращает тело в положение равновесия, то такое равновесие называют устойчивым. Оно может сохраняться сколь угодно долго, ибо случайные малые толчки, которым подвержено любое реальное тело, не уведут тело из этого состояния. [c.158]

Если плотность жидкости изменяется непрерывно, то устойчивое равновесие по-прежнему будет иметь место в том случае, когда плотность везде уменьшается снизу вверх. Равновесие однородной жидкости в отличие от равновесия расслоенной неоднородной жидкости всегда является безразличным. В самом деле, как бы ни перемещать любые части однородной жидкости, находящейся в равновесии, возмущающие силы, нарушающие равновесие, возникать не будут. [c.25]

Очевидно, что существование дуги возможно только при условиях, соответствующих точкам А я В. Можно показать, что одна из них (Л) является точкой неустойчивого равновесия дуги, а вторая (В) — точкой устойчивого равновесия дуги. [c.146]

Условие (6-4) выполнено, значит точка В является точкой устойчивого равновесия. [c.147]

Иначе говоря, если положение равновесия точки устойчиво, то движение точки, начавшееся в достаточно малой окрестности этого положения и с достаточно малой скоростью, будет оставаться в некоторой достаточно малой окрестности этого положения равновесия. Положение равновесия, не удовлетворяющее данному определению, будем называть неустойчивым. [c.227]

Эти области изображены на рис. 34. Основной их особенностью является наличие новой точки устойчивого равновесия Y"—р" = 0. Иначе говоря, динамически сжатый спутник, находящийся в относительном равновесии с осью симметрии, расположенной по касательной к орбите, будет устойчив относительно возмущений, при которых не появляется вращений вокруг оси симметрии (то есть сохраняется условие Го=0). Это несколько дополняет результаты главы 2. На плоскости е, б (рис. 21) указанному положению условно-устойчивого относительного равновесия соответствует отрезок 8=6, 8<1, лежащий на границе области необходимых условий [c.194]

Когда а 2со", либрационные кривые стягиваются к точке устойчивого равновесия. В этом случае к 0. Для малых к полный эллиптический интеграл хорошо аппроксимируется первыми членами ряда [c.255]

Поэтому для траекторий, близких к точке устойчивого равновесия, [c.255]

В точках 2 и 3 вольт-амперные характеристики источника и дуги пересекаются. Это означает, что ток, протекающий через дугу, равен току, протекающему через источник, а напряжение на электродах равно напряжению на клеммах источника. Иначе говоря, равенство токов и напряжений определяет условие энергетического равновесия системы. Устойчивое равновесие эта система и.меет только в точке 3, координаты которой и определяют режим горения дуги (/св, д)- [c.378]

В результате решающая точка перемещается в область ближайшей точки устойчивого равновесия. Здесь возможны два варианта дальнейшего поведения решающей точки. [c.125]

График нагрузки пересекает характеристику расхода генератора в одной или нескольких точках, каждая из которых представляет собой точку равновесия, но устойчивость равновесия обеспечивается лишь при выполнении следующих условий [c.270]

Пересечение справа от максимума означает устойчивое равновесие, если наклон графика нагрузки в точке пересечения больше, чем наклон характеристики генератора, т. е. —Уь > Уд. Если кривые касаются в точке пересечения, система нейтральна если —Уь < Уо, равновесие неустойчивое и система должна занять положение, соответствующее ближайшей точке устойчивого равновесия. В действительности наклон и кривизна понижающейся ветви характеристики генератора настолько малы, что этот вид неустойчивости маловероятен. [c.270]

Иа рис. 15 (-кривая в одной своей части обращена вогнутой стороной вниз, так что мы можем осуществить равновесие между двумя растворами различной концентрации. Безводная соль изображается на рис. 15 (-точкой А. Из А можно провести к (-кривой три касательные две из них касаются кривой в точках устойчивого равновесия, а третья (на чертеже она не показана) — в точке неустойчивого равновесия. Таким образом, твердое вещество может быть в равновесии с двумя растворами различной концентрации. Комплекс С, состоящий из твердой фазы А и раствора В, может перейти с уменьшением ( в систему из двух растворов Е и Р, где ЕЕ — общая касательная к (-кривой. Если твердая фаза содержит воду (этому гидрату пусть соответствует (-точка А), то эта фаза может быть в равновесии с тремя растворами различной концентрации. [c.96]

Специфическую квантовомеханическую природу нулевых колебаний можно качественно усмотреть из того соображения, что их появление можно рассматривать как следствие принципа неопределенности — для системы, находящейся в покое в точке устойчивого равновесия и координата, и импульс имели бы определенные значения, что принципом неопределенности запрещено. Более того, описывающий состояние нулевых колебаний вектор 0) есть как раз один из векторов (см. 11), для которых неравенство в соотношении неопределенностей (79) превращается в равенство. С этой точки зрения нулевые колебания являются состоянием наименьшего движения, совместного с принципом неопределенностей . [c.474]

Предположим далее, что все собственные значения матрицы (U j) положительны, т. е. что матрица является положительно определенной (это необходимо для того, чтобы точка (/, = О была точкой устойчивого равновесия). Обозначая эти собственные значения через со (со > 0), получаем уравнение [c.183]

Рис. 1.13.4. Одномерное движение шарика, заканчивающееся в двух точках устойчивого равновесия (черные кружки) и в одной неустойчивой точке (светлый кружок).

Источник тока и электрическая сварочная дуга представляют собой энергетическую систему, которая в процессе сварки должна обладать достаточной устойчивостью. Под устойчивостью системы понимается такое состояние, когда параметры режима сварки /д и 11ц пе изменяют своей величины в течение достаточно длительного времени. Причем, если в результате каких-то внешних причин (изменение длины дуги, сопротивления ее, изменение степени ионизации) произойдет изменение этих параметров, что приведет к отклонению от устойчивого равновесия, система должна снова вернуться в состояние равновесия. [c.124]

Когда изолированная система находится в состоянии с максимальной энтропией, то в ней не могут протекать никакие самопроизвольные процессы, потому что любой самопроизвольный процесс неравновесен и сопровождается увеличением энтропии. Поэтому состояние изолированной системы с максимальной энтропией является состоянием ее устойчивого равновесия, и самопроизвольные процессы могут протекать е> изолированной системе лишь до тех пор, пока она не достигнет состояния равновесия. [c.27]

При плавании тела на поверхности (надводное плавание, рис. III—8) это условие необязательно, так как устойчивое равновесие тела возможно в некоторых случаях н при обратном расположении точек С и В на оси плавания. [c.57]

В вибрографе для записи горизонтальных колебаний фундаментов машин маятник ОА, состоящий из рычага с грузом на конце, может качаться вокруг своей горизонтальной оси О, удерживаясь в вертикальном положении устойчивого равновесия собственной массой и спиральной пружиной. Определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения, если максимальный статический момент силы тяжести маятника относительно его оси вращения равен Mgh, момент инерции относительно той же оси равен /г, коэффициент жесткости пружины, сопротивление которой пропорционально углу закручивания, равен с при равновесном положении маятника пружина находится в ненапряженном состоянии. Сопротивлениями пренебречь. [c.287]

Ограничимся изучением устойчивости равновесия системы, подчиненной голономным, стационарным и идеальным связям. Если такая система находится в консервативном силовом поле, то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа — Дирихле или теоремам Ляпунова. Теорема Лагранжа—-Дирихле гласит если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.580]

Если бы при варьировании состояния системы были учтены все возможные в ней (совместимые с заданным набором компонентов) фазы, то устойчивое равновесие можно было бы считать абсолютно устойчивым. Однако полноту набора фаз никогда нельзя гарантировать, в том числе и при эксперимен-тaль юм изучении равновесия, так как некоторые из вполне стабильных фаз могут не образоваться в силу, например, кинетических причин. Поэтому стабильность и метастабильность равновесия имеют смысл только в пределах заданного моделью системы множества фаз и составляющих веществ. [c.116]

Пример. В задаче Кеплера исключение О приводит к появлению фиктивной потенциальной энергии вида Это означает наличие фиктивной отталкивающей силы, пропорциональной 1//- , в то время как сила притяжения пропорциональна 1 /г . Эти две силы уравновешивают друг друга в некоторой точке, являющейся точкой устойчивого равновесия. Осцилляциями г вблизи SToii точки объясняются пульсации радиуса-вектора между перигелием и афелием. Если бы сила притяжеиия уменьшалась как 1/г или быстрее, то устойчивого равновесия между этими двумя силами не существовало бы и радиус-вектор не мог бы колебаться между конечными пределами. Траектории движения планет были бы либо гиперболического типа, либо типа спиралей, приближающихся к Солнцу — в зависимости от величины константы углового момента. (Кинетическое взаимодействие здесь равно нулю.) [c.156]

МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ— состояние покоя или прямолинейноравномерного движения системы материальных точек (тела, звена, механизма). М. может 1ть устойчивым, неустойчивым и безразличным. При устойчивом равновесии достаточно малые отклонения системы (тела) от положения равновесия вызывают силы, стремящиеся вернуть ее в состояние равновесия. Условием устойчивого равновесия для консервативной системы (где механическая энергйя не превращается в тепловую) является минимум потенциальной энергии данной системы (теорема Лагранжа—Дирихле). Если на систему с идеальными связями действуют только силы тяжести, то устойчивым будет положение, при котором центр тяжести занимает самое низкое положение (принциТП Торичелли). [c.178]

При -2(0 < а < 2со траектории - замкнутые линии типа эллипса, охватываюгцие точку устойчивого равновесия (О, 0). На этих траекториях угол ф изменяется в ограниченных пределах -й < ф < г, т.е. маятник совершает колебания. Величина 2а на- [c.252]

Если диссипативная система имеет много степеней свободы, то у нее может быть много зон притяжения в фазовом пространстве. Если они составлены из устойчивых фокусов, то система будет стремиться к одной из точек устойчивого равновесия. В этом случае говорят о мультиравновесной системе — это простейший пример запоминаю-шего устройства для компьютера. Предельное состояние может быть также одним из многих предельных циклов — такие запоминающие устройства также существуют (например, циклическая цепочка бегущих друг за другом цилиндрических магнитных доменов). В более общем случае система может стремиться к одному из многих возможных аттракторов, включая странные аттракторы. При выведении такой системы из заданного аттрактора с помощью внешнего [c.340]

Пренебрегая членами с высшими степенями малой величины х, подучаем следующее приближенное выражение для потенциальной энергии системы в окрестности точки устойчивого равновесия [c.214]

Понятие термодинамического равновесия мы рассмотрели ранее на примерах парообразования и изотермических и адиабатных процессов в газах (стр. 61). При этом макроскопическое состояние системы в течение времени остается неизменным. Вместе с тем малые внешние воздействия могут вызвать малые смещения равновесия, которые при устранении возмущения исчезают, подобно весам, находящимся в устойчивом равновесии, чаша которых с помощью малого груза может быть, опущена, но после удаления груза вновь возвращается в прежнее положение. Различие здесь имеется лишь в той мере, что при механических равновесиях положение устойчивого равновесия достигается после нескольких колебаний, в то время как в термодинамических системах возврат к равновесию происходит, как правило, апериодически, как в сильно демпфированных механических системах. [c.312]

Для устойчивого равновесия тела, плавающего в по-) руженном состоянии (подводное плавание), необходимо, чтобы центр тяжести тела (точка С) лежал ниже центра водоизмещения (точка В, рис. III—7), [c.56]

Для устойчивого равновесия тела при надводном плавании необходимо, чтобы при крене тела (наклоне его оси плавания на угол 0) метацентр М (точка пересечения линии действия архимедовой силы с осью плавания) лежал выше центра тяжести тела С, т. е. чтобы метацеитрическая высота Н (расстояние между точками УИ и С) была положительна. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...