Неголономные дополнительные условия

Неголономные дополнительные условия 71 [c.71]

Неголономные дополнительные условия. Как было показано в гл. I, п. 6, ограничения на координаты механической задачи могут быть наложены в дифференциальной, а не в конечной форме. Отсюда возникает вариационная задача с неголономными дополнительными условиями. Уравнения (2.5.13) в этом случае отсутствуют, но имеются соотношения, аналогичные дифференциальным формам (2.5.14) для конечных дополнительных условий. Единственное различие заключается в том, что в левых частях уравнений стоят теперь не полные дифференциалы, а просто бесконечно малые величины. Неголономные условия можно записать в следующем виде [c.71]

Особого внимания требуют неголономные дополнительные условия, которые являются одновременно реономными, т. е. зависящими от времени. Необходимо выяснить, какие соотношения будут существовать между б , если варьирование осуществляется не мгновенно, а за бесконечно малое время Ы. Дополнительные условия при этом имеют вид [c.89]

Резюме. Вариационную задачу с неголономными дополнительными условиями нельзя привести к такому. виду, чтобы решение получилось путем приравнивания к нулю вариации какой-то определенной величины. Однако уравнения движения можно получить при помощи метода неопределенных множителей так же, как и в случае голономных условий. [c.89]

Неголономные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа применим и в том случае, когда дополнительные условия вариационной задачи заданы в виде не алгебраических, а дифференциальных соотношений (ср. гл. I, п. 6, и гл. И, п. 6). Мы снова получаем уравнения (2.12.5) с той только разницей, что df dq заменены коэффициентами Aik неголономных условий (2.6.1). Различие имеется лишь в вопросе о начальных условиях. Координаты qi теперь не связаны какими бы то ни было условиями, связи наложены только на их дифференциалы. Поэтому начальные [c.88]

J= [ Г г,Х1,Х2,. ..,Хп,Х1,Х2,...,Хп) (11 при дополнительных условиях (уравнениях неголономных связей) [c.115]

Вид вариации (23) показывает, что условие стационарности функционала безусловной вариационной задачи содержит производную по времени от неопределённого множителя (х), и следовательно, для определения х требуются начальные условия, которые в механической постановке задачи отсутствуют (согласно принципу причинности Ньютона движение должно определяться только состоянием системы в начальный момент времени). Поэтому траектории неголономной системы будут принадлежать к решениям вариационной задачи при дополнительных условиях. Можно показать, что в число этих условий входят равенства [c.83]

Если свобода перемещения точек системы в пространстве ничем не ограничена, то механическая система точек называется свободной. Солнечная система является примером свободной механической системы. Если на движение системы наложены некоторые дополнительные условия, ограничивающие свободу перемещения ее точек, то система называется несвободной, а условия, ограничивающие перемещения точек, называются связями. Если связи налагают ограничения только на положение точек, то они называются геометрическими (голономными). Если связи налагают ограничения на скорости точек системы, то они называются кинематическими (неголономными). [c.341]

В конце 50-х годов в раздел Кинематика точки была введена глава, посвященная изложению управляемых движений точки с краткой характеристикой дополнительных (неголономных) условий, налагаемых на параметры движения методами наведения (метод погони, метод параллельного сближения и др.). В учебник эта глава не вошла, но хорошее изложение этой главы, отражающее методические воззрения коллектива кафедры, дано в пособии для заочников, написанном доктором технических наук Л. М. Воробьевым . [c.226]

Заключительный 4.3 главы состоит из двух частей. В каждой из них рассматривается задача об оптимальном программировании реактивного ускорения как результата действия силы тяги реактивного двигателя. В первой части эта задача анализируется в рамках классического вариационного исчисления, когда на минимизируемый функционал качества накладываются дополнительные дифференциальные (неголономные) и краевые условия. Большое внимание уделяется изучению свойств оптимального режима движения и выявлению его особенностей в критических точках траектории. Во второй части параграфа для решения аналогичной задачи предлагается воспользоваться методами теории оптимального управления, поскольку на управление (реактивное ускорение) дополнительно накладываются ограничения в виде неравенств. В качестве универсального средства синтеза оптимального управления выбран принцип максимума Понтрягина. [c.106]

Для доказательства достаточности условия (13.1) необходимо сделать две дополнительных оговорки 1) будем считать все голономные связи стационарными, а неголономные — однородными относительно скоростей 2) в данном положении системы будем считать мгновенные значения скоростей всех ее точек равными нулю, т. е. у = 0. [c.348]

Будем искать такие режимы планирования (законы программирования тяги), для которых время активного планирования 7 = тах при заданном запасе топлива (т. е. заданном значении /е). Математически задача сводится к исследованию экстремума (максимума) интеграла (5) при дополнительном не-интегрируемом (неголономном) условии (4). Таким образом, мы должны найти такую функцию f=f(t), которая удовлетворяет уравнению (4) и дает максимум интегралу (5). Это вариационная задача на условный экстремум. Для того чтобы записать необходимое условие экстремума (5) при неголономном соотно-шении (4), мы введем вспомогательную функцию ф в виде [c.219]

В большинстве задач параметры, описывающие поведение дан-НОЙ системы, связаны между собой дифференциальными уравнениями или неголономными связями движение системы исследуется при помощи интегрирования этих уравнений с привлечением необходимого количества начальных условий. Во многих случаях число независимых переменных оказывается больше, чем число связей, и описать правильно движение невозможно, если не будет назначена какая-то программа изменения группы переменных, символизирующих дополнительные степени свободы системы. Такие переменные соответственно именуются управляемыми переменными . В большинстве случаев их можно опознать по тому признаку, что их дифференциальные коэффициенты, или производные по времени, если время считается независимым переменным, не входят в уравнения связи. В авиационной технике управляемыми переменными являются именно те параметры, которые подвергаются воздействию со стороны летчика в ракетной технике —это те параметры, которые управляются командными сигналами. [c.746]

Неголономные дополнительные условия и полиген-ные силы. Если кинематические условия не имеют формы аналитических соотношений между координатами, а представляют собой неинтегрируемые дифференциальные соотношения типа (2.6.1), то уже нельзя уменьшить число степеней свободы путем исключения лишних переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа, однако, по-прежнему применим. В самом деле, из (2.6.1) мы получаем для уравнений Лагранжа [c.174]

Эти Ki можно физически интепретировать как компоненты силы, действующей на механическую систему с целью обеспечить выполнение заданных неголономных условий. Эта сила имеет теперь полигенную природу. Мы убеждаемся еще раз, что неголономные дополнительные условия механически эквивалентны полигенным силам. [c.174]

Изучение движения зенитных управляемых ракет, наводимых на цель тем или иным методом, приводит к весьма интересным задачам динамики точки переменной массы при дополнительных условиях, налагаемых на величину и направление скорости центра масс ракеты. Как правило, эти дополнительные условия включают производные по времени от параметров (координат), характеризующих движение, и являются неинтегрируемыми. Таким образом, из ракетодинамики в классическую механику пришли новые, весьма актуальные задачи динамики точки с неголономными связями. Из методов наведения можно указать на хорошо известный всем преподавателям механики метод погони (метод собачьей кривой), когда прямая, по которой направлен вектор скорости центра масс ракеты, должна в любой момент движения пересекать точечную цель. Эта задача легко решается, если цель движется прямолинейно и равномерно, а скорость ракеты постоянна по величине но для случая движения с переменной массой и переменной по величине скоростью ракеты с учетОхМ возможного маневрирования цели решения получаются лишь численным интегрированием [10]. [c.10]

Тяжелый диск, катящийся вдоль заданного прямолинейного пути. Этот пример заслуживает особого внимания потому, что если в общем случае условие чистого качения налагает, как мы знаем (т. I, гл. IV, п. 11), неголономную связь, то в этом частном случае это условие переходит просто в дополнительную голоном-ную связь. [c.315]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...