Приближенное решение операторных уравнений

Ищем приближенное решение операторного уравнения [c.9]

Бубнов Иван Григорьевич 1872-1919) — русский корабельный инженер и механик. Профессор Петербургского политехнического института и Московской академии. Разработал метод приближенного решения операторного уравнения, усовершенствованный Б. Г. Галеркиным. Развил (1902 г.) теорию пластин, работающих в системе корабля. Основоположник строительной механики корабля. [c.452]

Предположим, что удалось построить точное или приближенное решение операторного уравнения (1.7), тогда по формуле (1.5) находится решение смешанной задачи (1.1), (1.2). [c.6]

Для того чтобы с помощью вычислительных машин найти реакцию системы Y(x), необходимо разработать алгоритм численного решения системы уравнений (6-1). Математическая модель и алгоритм решения тесно связаны. Численное решение основано на приближенном представлении операторных уравнений, составляющих математическую модель. Чем полнее и точнее описываются процессы в объекте моделирования, тем сложнее будут уравнения и алгоритм численного решения, тем больше объем исходной и перерабатываемой информации. При ограниченной производительности вычислительных машин приходится искать компромиссное решение между естественным стремлением к уточнению описания и возможностями реализации модели. Важное значение имеет при этом форма, в которой записаны уравнения и ищутся решения. Известно, что математически эквивалентные формы задания исходных уравнений приводят 5 67 [c.67]

Корректность задачи зависит от тех пространств, в которых рассматривают исходные данные и ищут решение. Задача может быть корректной в одних пространствах и некорректной в других, что необходимо учитывать при решении операторных уравнений с приближенными данными, а также при решении задачи на ЦВМ. [c.33]

В первом случае система (1.1) нулевого приближения в рассматриваемой области не имеет точек покоя. Используя классические теоремы о существовании и единственности решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, можно показать, что решениями операторного уравнения (1.3) являются, по крайней мере локально (в окрестности каждой точки), п линейно несвязных операторов из (С). Обоснование алгоритма в этом случае проводится особенно просто для систем нулевого приближения общего вида (1.1). [c.97]

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ И ПО ПРИБЛИЖЕННЫМ МЕТОДАМ ИХ РЕШЕНИЯ П.1. Некоторые сведения из теории линейных операторных уравнений [c.325]

Такая замена достаточно точно отражает существо процесса. Выбираемые а,, тц, параметры могут полностью устранить приближенный характер формулы. В то же время решение задачи сводится к аппарату обыкновенных дифференциальных (операторных) уравнений [c.76]

Рассмотренные ранее волновой и лучевой варианты теории трехмерной голограммы весьма наглядны, однако имеют тот недостаток, что в дополнение к ограничениям, накладываемым на величину дифракционной эффективности самим характером первого прибли--жения, требуют также еще введения ограничений, свойственных приближению геометрической оптики. Вместе с тем такого рода ограничения совершенно не характерны для механизма записи голограммы, который, как известно, обеспечивает регистрацию не только малых объектов, но и объектов большой протяженности. В связи с этим рассмотрим два варианта теории, базирующейся на решении волнового уравнения, ограничиваясь при этом только рамками кинематического приближения и не накладывая каких-либо ограничений на размеры регистрируемого на голограмме объекта. В соответствии со смыслом характерных для этих представлений преобразований их можно назвать пространственным и частотным операторными вариантами теории трехмерной голограммы [2, 51. [c.697]

Широкий класс приближенных методов решения операторных (в частности, интегральных) уравнений основан на идее предварительной аппроксимации уравнения и последующем решении аппроксимирующего уравнения. Аппроксимирующее уравнение чаще всего строится так, что его решение сводится к решению конечной системы линейных алгебраических уравнений. [c.192]

В вычислительной математике для решения некорректно поставленных вариационных задач, а также некорректных операторных уравнений разработаны методы приближенного решения [15, 16]. Вкратце они заключаются в следующем. [c.34]

Метод регуляризации является мощным приемом вычислительной математики, предназначенным для приближенного численного решения математически некорректно поставленных вариационных задач и операторных уравнений. [c.35]

Для установления сходимости приближенных решений к точному и оценки погрешности можно воспользоваться теоремами из общей теории приближенных методов Л. В. Канторовича для операторных уравнений второго рода [1 ]. Легко видеть, что все необ- [c.53]

В этом случае для всякого неособого решения юо операторного уравнения (13.36) найдется такая последовательность приближений метода БГР, что будет иметь место асимптотическая оценка погрешности (28.19), где [c.248]

Теорема 28.5. Пусть выполнены все условия теоремы 28.3. В этом случае для всякого неособого решения ао операторного уравнения (13.34) имеется последовательность приближенных решений (лг+1) такая, что [c.249]

Согласно теореме 1.2 гл. 3 операторные уравнения (2.1) будут иметь на решениях системы (1,2) гл. 3 нулевого приближения секулярные члены. Чтобы избежать этого, необходимо в соответствии с определением 1,1 гл. 3 принять в качестве проекции от оператора Fy выражение [c.191]

Этот метод состоит в том, что приближенное решение системы операторных уравнений (2.16) ищется в виде линейной комбинации некоторых М заранее выбранных функций с неопределенными коэффициентами [c.58]

Функции т называются координатными или базисными при представлении тока или напряженности поля их часто называют модами. Функции %т обычно представляют собой первые М функций некоторой полной системы тп "т=1. Так как выражение (2.17) является лишь приближенным решением рассматриваемой системы операторных уравнений (2.16), то при его подстановке в исходную систему уравнений невязки левых и правых ча- [c.58]

При изложении методов, применяемых в задачах тепломассообмена, даются необходимые сведения о решении алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнений изложены основы метода конечных разностей. В прикладном плане приведены некоторые классические методы, такие как метод конформных отображений, операторный, разделения переменных, метод характеристик. Даны понятие об асимптотических методах, методе последовательных приближений, интегральных методах, а также некоторые точные решения задач тепломассообмена. [c.3]

Для приближенного решения операторных уравнений с положительно определенными операторами можно использовать метод (процесс) Ритца (см. приложение). В методе Ритца используется эквивалентность задачи решения операторного уравнения с положительно определенным оператором и задачи минимизации определенного квадратичного функционала, для которого строится минимизирующая последовательность, сходящаяся к решению операторного уравнения. Применительно к уравнению вида (49) таким функционалом является функционал, для которого это уравнение относительно Ki (t) является необходимым и достаточным условием минимума. [c.88]

В общем случае некорректные обратные задачи решают построением так называемого регуляризующего функционала. Символической, обобщенной формой представления обратной задачи является операторное уравнение кг—и, где А—известный оператор (т. е. известная функция, последовательность операций, алгоритм), преобразующее искомую величину 2 в известную величину и. Приближенное выражение правой части, известное в реальных условиях с некоторой погрешностью б, обозначают Решение операторного уравнения обычно ведут методом подбора, т. е. задаются некоторым пробным представлением искомой функции 2, вычисляют кг и определяют невязку [c.30]

Замечание 1.1. Существование псевдогруппы инвариантности (или, что одно и то же, алгебры, определяемой решением операторного уравнения (1.3)) не является каким-либо существенным ограничением, накладываемым на систему нулевого приближения. Например, если система (1.1) обладает общим решением в некоторой подобласти V из С, то можно показать, что существует п л1шейно несвязных решений уравнения (1.3) в V. Справедливо также обратное утверждение. В процессе обоснования алгоритма асимптотической декомпозиции обнаруживается, что существование псевдогруппы инвариантности связано с наличием интегралов системы дифференциальных уравнений, сохраняющих точку покоя, и рядом других фундаментальных понятий. [c.93]

Теорема 1.4. Пусть характеристическая система (1.15) системы нулевого приближения образована коммутирующими операторами и , ит и С является областью сущест Ования общего решения (г), рх (г), X = к—т. Тогда алгебра централизатора 58о1 определяемая решениями операторных уравнений [c.259]

Также предполагается, что существует такая ограниченная область So = M д М) > 0 , что l Sq S. Введем нелинейные операторы (3.5.2) и рассмотрим операторное уравнение (3.5.3), (3.5.4) Вопросы об эквивалентности рассматриваемых уравнений, а также о существовании и единственности их решений решаются аналогично [19] и 3.5. При численном решении уравнения (3.5.3) используем метод последовательных приближений по схеме (3.5.8). В силу симметрии задачи по у достаточно рассматривать лишь верхнюю половину (у 0) прямоугольника S, которую покроем сеткой из т узлов с шагом /г, по оси х и /ig по оси у (в расчетах т 81). При вычислении значений функции K M,N) вида (12) в этих узлах ее особенности сглаживаются путем замены R на Л, = [(х - yf + (.S - i)2 + а также при помощи добавле- [c.224]

Линейное операторное уравнение A (wq,w )wo = /г, h е Е2, относительно Wq возникает при построении приближенного решения (23) мето- [c.151]

Метод Ритца представляет собой достаточно эффективный метод приближенного решения указанного класса операторных уравнений. Однако этот метод не является достаточно известным широкому кругу специалистов, занимающихся практической оптимизацией при случайных воздействиях, и в специальной литературе по автоматическому управлению отсутствует его необходимое рассмотрение. В силу этого целесообразно дать компактное изложение метода Ритца, который в настоящее время часто используется при решении классов задач математической физики. [c.103]

При рассмотрении того или иного метода численного обращения необходимо кратко оговаривать вопросы сходимости последовательности приближенных решений к действительным распределениям. Как и ранее, не будем прибегать к излишнему формализму, который во многих случаях весьма тривиален, особенно если предполагать, что искомая функция so r) в операторном уравнении Ks=p и алгоритмически получаемая последовательность приближенных решений принадлежат одному и тому же компакту. Практически, однако, подобное предположение часто нарушается, в чем нетрудно убедиться на примере обратной задачи светорассеяния. [c.58]

Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовскими флуктуациями параметров, используемый метод приводит к приближению марковского случайного процесса соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Эйнштейна — Фоккера. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частнь[х производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Эйнштейна — Фоккера в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи, в связи с чем он может быть назван приближением диффузионного случайного процесса. Для динамических систем с не-гаусровскими флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к приближению марковского процесса. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими пуассоновский характер, получаются интегро-диффе-ренциальные уравнения типа уравнения Колмогорова — Феллера. [c.6]

Квазидиагональная структура матрицы нулевого приближения также существенно упрощает задачу нахождения проекции рг Ру от правых частей операторного уравнения (1.12) из гл. 3. Как показано в 2, 3 настоящей главы, нахождение зтой проекции сводится к решению системы алгебраических уравнений (3.1), которую с учетом выражений (5.15) для базисных операторов приведем к соответствующему виду. Запишем для матрицы. уЛ, соответствующей оператору рг Ру, разложение по базису [c.168]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Известны решения задачи прокатки полосы методом характеристик при максимальном трении на границе контакта валка с полосой, которые моделируют стационарный процесс горячей прокатки. Неизвестная форма жесткопластических границ и криволинейность контактной поверхности врагцаюгцегося валка приводят к значительным математическим трудностям. Первый пример решения был получен весьма трудоемким методом проб и ошибок графическим построением полей характеристик и годографа [7]. Позднее задача горячей прокатки полосы решалась в плоскости характеристик методом линейных интегральных уравнений [4, 5, 8, 9] и приближенным линейным матричным операторным методом [10, 11] с последуюгцим определением условий прокатки, соответствуюш их параметрам принятого поля характеристик. [c.250]

Вишик М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения,— Матем. сб., 1956, т. 39 (81), № 1, с. 51—148. [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...