Определение Якоби

Справедливость этой теоремы непосредственно следует из определения якобиана. [c.334]

Тогда, с учетом определения якобиана (Ж.1) и теоремы 2, получим [c.336]

Доказательство. При любом t по определению якобиана [c.66]

Это свойство является очевидным в силу определения якобиана. [c.88]

На страницах профессиональных и научно-популярных изданий все чаще мелькает термин безлюдная технология , которая по определению якобы исключает человека из производства и тем самым решает все проблемы человеческого фактора. На практике ситуация складывается совсем не так. Исследования показали, что в любой автоматизированной, гибкой, интегрированной системе сохранятся определенные виды деятельности человека наблюдение, вмешательство, обслуживание, дублирование, ввод данных, управление, контроль и другие. [c.5]

На эффективность применения метода оказывают влияние не только особенности самого метода, но и в не меньшей мере особенности решаемой задачи и используемой ЭВМ. Среди наиболее существенных особенностей задач, называемых ниже факторами, отметим размерность п (порядок системы уравнений), число обусловленности Ц и разреженность S матрицы Якоби, а среди особенностей ЭВМ — быстродействие Б, определенное для класса научно-технических задач, емкость оперативной памяти и разрядность машинного слова. Разработчик ППП должен ориентироваться на некоторые диапазоны значений этих факторов, характерные для моделей проектируемых объектов в соответствующей предметной области. Эти диапазоны должны быть либо указаны в техническом задании на разработку ППП, либо спрогнозированы самим разработчиком на основе исследования статистических данных [c.232]

Подставляя (140.3) в уравнение (140.1), получаем уравнение Остроградского — Якоби для определения W, не содержащее времени t [c.385]

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

В частном случае, когда рассматривается натуральная (т. е. консервативная) система, действию по Лагранжу можно придать определенный механический смысл. Вспомним с этой целью выражения для Р и АГ и представим функцию Якоби в виде [c.331]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Следствие 8.12.4. Принцип Якоби позволяет свести задачу об определении траектории движения изображающей точки к экстремальной задаче в пространстве конфигураций с римановой метрикой. В области Г + / > 0 конфигурационного пространства зададим риманову метрику формулой [c.620]

Доказательство. Пункты 1 и 2 служат прямым следствием определения 9.3.1 и легко проверяются непосредственной подстановкой. Обратимся к доказательству тождества Якоби. [c.637]

Вернемся к задаче определения закона движения механической системы с помощью полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Для симметрии обозначим [c.649]

По определению множителей Якоби, очевидно, будем иметь [c.675]

Таким образом, знание множителя Якоби и т - 2 независимых первых интегралов автономной системы дифференциальных уравнений позволяет свести к квадратурам задачу определения ее траекторий. [c.677]

Позже А. Пуанкаре дал этому определению наименование устойчивости в смысле Пуассона ). К этой же группе определений смысла понятия об устойчивости движения принадлежат определения Томсона и Тета, Якоби и некоторые другие. Эти определения здесь не приводятся ). [c.325]

Было показано, что при известном законе движения материальной системы можно построить функцию W. Теперь поставим обратную задачу, найдя функцию W без предварительного определения закона движения, найти закон движения материальной системы. Для этого докажем, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению (11.350) с частными производными первого порядка, т. е. уравнению Остроградского — Гамильтона — Якоби. Ради краткости это уравнение далее будем называть уравнением Остроградского. [c.371]

Функции Якоби по определению удовлетворяют соотношениям [c.502]

Во-первых, в литературе, особенно старой, можно нередко встретить утверждение, что полный момент электрона нельзя разделить на спиновую и орбитальную части, поскольку каждая из этих частей якобы не сохраняется даже при свободном движении. Это утверждение, однако, неправильно и возникло из-за того, что точное определение спинового (внутреннего) и орбитального моментов в релятивистском случае было сформулировано лишь через много лет после того, как Дирак опубликовал (1928 г.) свое знаменитое уравнение, описывающее движение релятивистского квантового электрона. Из этого точного определения следует, что разделение полного момента частицы с ненулевой массой покоя на спиновую и орбитальную части возможно всегда как в нерелятивистском, так и в релятивистском случаях. Для покоящейся частицы (т. е. при р = 0) полный момент просто равен спиновому. Переход к частице, движущейся с импульсом р, осуществляется посредством преобразования Лоренца, которое для спинового момента имеет довольно сложную, но вполне определенную форму. Релятивистская частица с нулевой массой не может покоиться. Поэтому для таких частиц разделение полного момента на орбитальный и спиновый в общем случае произвести не удается. Например, бессмысленно говорить об орбитальном моменте фотона. Поскольку массы нейтрино и антинейтрино равны нулю, то для них, казалось бы, эта проблема также должна-возникнуть. Здесь, однако, существенно проявляется то обстоятельство, что спины нейтрино и антинейтрино равны i/j. Для спина такой малой величины, оказывается, понятия спинового и орбитального моментов могут быть введены и при нулевой массе. Поэтому учет релятивизма не влияет на все рассуждения предыдущего пункта. [c.245]

В литературе встречаются иные определения пластичности металла и меры ее количественной оценки. Например, многие специалисты считают, что пластичность — это не свойство металла, а его способность (склонность) деформироваться остаточно без макроразрушения и связано это, якобы, с тем, что в зависимости от условий деформирования, в частности от схемы напряженного состояния, один и тот же металл может быть способен (склонен) к пластической деформации или вообще не обладать такой способностью. [c.487]

Ответ. Задачу опреде.чения прогибов балки постоянного сечения, находящейся в упруго-пластическом состоянии, можно заменить [8] задачей определения прогибов балки некоторого переменного сечения, находящейся якобы в упругом состоянии в условиях чистого изгиба (т. е. по всей балке изгибающий момент постоянен и равен Л/упр). [c.214]

Якоби показал, что полное интегрирование системы (1) и интегрирование уравнения (2) представляют собой совершенно эквивалентные задачи. Обе эти задачи приводятся к определению полного интеграла уравнения (2), т. е. к определению интеграла, зависящего от к произвольных, неаддитивных и независимых между собой постоянных. [c.235]

Для определения полного интеграла уравнения (2) применим метод Якоби в его непосредственной форме. Нам нужно будет искать к различных интегралов уравнения (4), р , Р ,..., Р , связанных условиями [c.250]

Замечание. — Определение траекторий при помощи принципа Якоби сводится к чисто геометрической задаче нахождения экстремума интеграла (2), представляющей собой задачу на определение геодезических линий. "Время при этом исключается из рассмотрения, и мы имеем экстремальную задачу, если оставить в стороне механическую интерпретацию интеграла (2). Некоторые авторы сохраняют за этим интегралом название действия вдоль траектории. Следует, однако, заметить, что рассматриваемый интеграл представляет собой действие в механическом смысле лишь при условии, что вводится гипотеза, согласно которой при движении материальной системы ее энергия Т — 7 остается постоянной. [c.324]

Принцип Якоби показывает, что если связи и силовая функция не зависят от времени, то и определение траектории выполняется независимо от времени. Это свойство, не представляющееся очевидным в уравнениях Лагранжа, обнаруживается при первом взгляде, когда уравнения написаны в канонической форме. Из канонических уравнений видно также, что если траектория известна, то t определяется квадратурой (п° 450), [c.324]

Введем определение. Рещение 5 t, qi, () уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби, содержащее п произвольных постоянных tti,. .., а , называется полным интегралом этого уравнения, если выполняется условие [c.156]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Переменные действие — угол. Во многих разделах физики важную роль играют системы, движение которых является периодическим. В таких системах нас часто интересуют не столько подробности траекторий их точек, сколько частоты этих движений. Мы сейчас рассмотрим весьма изящный и эффективный метод исследования таких систем, основанный на методе Гамильтона — Якоби. В этом методе в качестве новых импульсов выбираются не постоянные а,-, непосредственно входящие в полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, а подходящим образом определенные постоянные образующие п независимых функций от 1. Они носят название действий. [c.316]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

Согласно (5.6.12), принцип Якоби требует минимизации определенного интеграла [c.166]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Это есть принцип Якоби, хотя и без обычного квадратного корня. Траектории, получаемые из интеграла (6.10.29), тем не менее те же самые, что и из принципа Якоби. Разница заключается лишь в выборе независимой переменной т. В обычной формулировке принципа Якоби т — произвольный параметр в принципе же (6.10.29) т выбрано определенным образом. [c.223]

Построение главной функции Гамильтона при помощи полного интеграла Якоби. Несмотря на различие подходов, характеризующих теории Гамильтона и Якоби, между W -функцией и 5-функцией имеется определенная связь. Тео- [c.299]

Все сказанное придает новый смысл функции S, определенной как произвольное частное решение уравнения Гамильтона — Якоби, Полный интеграл этого уравнения был интерпретирован с помощью абстрактных математических понятий он представлял собой производящую функцию определенного канонического преобразования. Однако S-функция в виде частного решения имеет гораздо более непосредственный физический смысл. Оптическим эквивалентом функции S является функция ф, определяющая время, необходимое свету для прохождения от одного волнового фронта до другого. Это время может быть определено с по- [c.311]

Детерминант J = J j матрицы J называется якобианом преобразования. Для определения якобиана можно в равной мере пользоваться либо преобразованием (8.5), либо (8.7), однако при чтении других работ (например, книги Фына [3]) важно знать соотношения, принятые автором за основу. [c.208]

В обзоре Якоба по светящимся пламенам пылевидного угольного топлива [379] указаны способы использования излучения множества частиц. В работе [807[ используется теория Ми для определения сечения экстинкции пламен. Глейзер [2671 исследовал теплообмен излучением в вакуумированной порошковой изоляции. Ларкин и Черчилль [467] изучали пористые изоляционные [c.252]

Матрица Якоби и вектор правых частей вычисляются по значениям неремеииых, определенных на предыдущей итера ции, или по результатам предыдущих шагов (для первой итерации на шаге). [c.125]

Указать область определения для функционала принципа Мо-пертюи-Лагранжа-Якоби. [c.625]

Положительность якобиана Д при дозвуковом движении позволяет установить определенное правило, относящееся к направлению поворота скорости вдоль потока А. А. Никольский, Г. И. Таганов, 1946). Имеем тол<дественно [c.610]

Определенный интеграл, входящий в уравнение (6.31), не выражается в общем случае через элементарные функции и может быть найден лишь численно. Такое интегрирование было проведено Скривеном, и искомая зависимость (6.32) была представлена в [67] в табличной форме (табл. 6.3). Фактически эта таблица отражает зависимость модуля роста т только от числа Якоба, так как параметр Y в [67] принимался равным единице. При давлениях, далеких от критического, это допущение вполне оправдано (обычно уже при р < 0,5р р р"/р < 0,1). В [21] показано, что при условии с доо < 0,1 (или, что то же, Ja < 0,1р /р") расхождение значений т при Ja = idem для различных у не превышает 2—3 %. [c.254]

Число Якоба характеризует соотношение между тепловым потоком, идущим на перегрев единицы объема жидкости, и объемной теплотой парообразования. Оно зависит от давления и перегрева жидкости. С повышением давления число Якоба уменьшается, так как существенно увеличивается плотность пара. Наоборот, с понижением давления это число увеличивается. С увеличением перегрева жидкости число Якоба растет. В зависимости от различных условий составляются соответствующие уравнения теплового баланса на границе парового пузыря, из которых находятся аналитические зависимости для определения радиуса пузыря в период его роста на центре парообразования. При давлениях выше атмосферного (число Якоба 20) рост парового пузырька происходит за счет теплоты, передаваемой от поверхности нагрева к его основанию через прилегающий слой жидкости. Изменение задиуса парового пузырька во времени определяется зависимостью Л. 99, 126] [c.299]

Накопившиеся научные и практические данные заставляют Галилея по-новому проанализировать движение брошенного вверх камня. Он приходит к выводу, что сообщенный импульс уничтожается погашением первоначального излишка его над весом тела . Аристотелево естественное падение камня становится у Галилея насильственным — под действием силы тяжести. И наоборот, насильственное равномерное движение тела под действием якобы толкающей силы воздуха становится естественным, совершающимся без приложения силы. Сила требуется лишь для изменения этого движения. Следовательно, равномерное движение происходит по инерции. И Галилей широко пользуется принципом инерции, но толкует его еще так же космически , как и Коперник движение тела, на которое не действуют силы, есть движение по окружности. Прямолинейное же равномерное движение невозможно, поскольку оно бесконечно, а в природе ничто не может стремиться к недостижимой цели (это от Аристотеля ). Для оценки равномерного движения он вводит термин и понятие скорости (не применявшиеся в античной механике), не давая, правда, его точного определения, а лишь сравнивая скорости двух тел. [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...