Вариационный Вариационная кривая

Вес рештака определяется, очевидно, шириной развертки его желоба, а производительность конвейера — площадью сечения рештака. Поэтому поставленная задача сводится к вариационной. найти кривую, проходящую через заданные точки % = О, ух = О и = Ь, Уг = О1 где Ь — наибольшая ширина рештака (см. рис. 6. 16, а), которая при заданной длине имела бы наибольшую площадь сечения, иными словами, к отысканию максимума интеграла, определяющего сечение рештака [c.231]

В таком случае значение функционала v[y(x)] рассматривается на допустимых в данной вариационной задаче кривых (или функциях у = у(х)). Их допустимость обуславливается необходимостью удовлетворять заданным краевым условиям и определенным в зависимости от вида функционала свойствам гладкости. Выбор классов допустимых функций и составляет сущность отдельных прямых методов в вариационных задачах. [c.116]

Если локальному подходу соответствовал аппарат дифференциальных уравнений, то глобальному подходу соответствует аппарат вариационного исчисления. В связи с тем, что основы вариационного исчисления обычно незнакомы студентам к моменту, когда изучается классическая механика, автор вынужден предпослать изложению вопросов, связанных с глобальным подходом, некоторые сведения о вариационном исчислении, ограничиваясь лишь самыми необходимыми фактами мы рассмотрим к тому же не общий, а лишь частный, недостаточный для наших целей случай, когда сравниваются кривые, принадлежащие одному и тому же однопараметрическому семейству (пучку). [c.272]

Пример 62. Задача о брахистохроне. В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую, при движении по которой время движения будет наименьшим. Эта задача получи-л а название задачи о брахистохроне н положила начало вариационному исчислению. [c.235]

В этом периоде братья Якоб и Иоганн Бернулли, исследуя аналитически движение тяжелой точки по различным кривым, положили начало вариационному исчислению. Кроме того, Иоганну Бернулли принадлежит точная формулировка одного из основных принципов механики — принципа виртуальных перемещений (1717 г.). [c.13]

Будем теперь искать такую кривую, двигаясь по которой точка пройдет путь АВ в кратчайшее время аналитически эта задача сводится к нахождению такой функции z(x), которая обращала бы функционал (43) в минимум. Кривая, обладающая таким свойством, называется брахистохроной (от греческих слов рра што —кратчайший и xP vo —время). Задача о брахистохроне была впервые поставлена и решена в 1696 г. Иоганном Бернулли, который тем самым положил начало вариационному исчислению — отделу анализа, посвященному нахождению экстремумов функционалов. [c.416]

И. Бернулли поставил задачу, которую считают исторически первой конкретной задачей вариационного исчисления. Он предложил найти среди кривых, соединяющих две точки А и В, не ле-д жащие на одной вертикали, та- [c.438]

Найденное выражение Т — функционал ). Задача заключается в определении такой кривой, соединяющей точки А и В, чтобы функционал (Ь ) имел минимум при произвольных Хо и Хх. Эта задача решается посредством применения общих методов вариационного исчисления. Мы решим ее менее строго, применив элементарные методы. [c.439]

В вариационно-разностном методе интегрирование в (8.27) выполняют по приближенной формуле прямоугольников, заменяя кривые и" т V ступенчатыми линиями (рис. 8.26). Это преобразует функционал (8.27) в сумму [c.248]

Остановимся, наконец, на возможности расчета / -кривой по диаграмме разрушение р = pH), получаемой аналитически из интегрального вариационного принципа (4.6) [173, 175, 176]. [c.256]

Классическим примером вариационной задачи является задача о брахистохроне — линии быстрейшего ската, предложенная в 1696 г. И. Бернулли. Между точками А ж В, не лежащими на вертикали, требуется провести линию, по которой материальная точка в минимальное время скатится из точки А в точку В (рис. 8.1). Здесь роль функционала выполняет время i перемещения из точки >1 в точку В, а уравнение у (ж) кривой, проходящей через точки А и В,— искомая функция. [c.190]

Результаты испытаний для каждого из уровней напряжения располагают в вариационные ряды, а основании которых строят семейство кривых распределения долговечности в координатах Р—ЛГ на логарифмически нормальной вероятностной бумаге. Задаваясь значениями вероятности разрушения, на основании кривых распределения долговечности строят семейства кривых усталости равной вероятности. [c.53]

Пример. Построить кривые усталости из сплава В95 с различной вероятностью разрушения / =0.5 0,10 и 0,01. Вариационные ряды чисел циклов до излома образцов из сплава В95 приведены в табл. 4. [c.53]

По результатам испытаний образцов на шести уровнях напряжений составляем вариационные ряды (табл. 6) и строим кривые распределения долговечности (см. рис. 30). Производя горизонтальные разрезы кривых (см. рис. 30) для уровней вероятности = 0,01 0,10 0,30 0,70 0,90 и 0,99 (1 10 30 70 90 и 99 /о), находим-соответствующие долговечности при заданных значениях напряжений, на основании которых строим семейство кривых усталости по параметру вероятности разрушения (см. рис. 31). [c.63]

Как устанавливается в вариационном исчислении, в классе кривых x=f z), проходящих через заданные две точки, кривая, сообщающая интегралу [c.33]

Циклоида называется поэтому таутохроной (колебания по ней совершаются сами собой изохронно ) она называется также брахистохроной (при одинаковых начальном и конечном положениях тело при скольжении по циклоиде затрачивает кратчайшее время по сравнению с временем, которое оно затратило бы при скольжении по наклонной плоскости или какой-либо другой кривой). Задача о брахистохроне особенно замечательна тем, что с нее началось развитие вариационного исчисления. [c.128]

Положение свободной частицы в пространстве можно определить с помощью сферических координат (г, 0, ф). Если принять эти величины за прямоугольные координаты точки, то построенное таким образом пространство будет сильно отличаться по своим геометрическим свойствам от реального пространства. Прямые линии перейдут в кривые, углы и расстояния изменятся. Однако ряд важных характеристик пространства при этом преобразовании сохранится. Точка перейдет в точку, окрестность точки преобразуется в окрестность, кривая останется кривой, смежные кривые останутся смежными. Непрерывность и дифференцируемость кривых также сохранятся. Для операций вариационного исчисления важны именно такие топологические свойства пространства, в то время как метрические свойства — расстояния, углы, площади и т. п. — не играют роли. Поэтому даже упрощенная картина пространства конфигура- [c.35]

Лучевые свойства некоторого выделенного семейства механических траекторий ни в коем случае не являются тривиальными. Произвольное непрерывное семейство кривых в пространстве более чем двух измерений не может, вообще говоря, рассматриваться как семейство ортогональных траекторий по отношению к какому-нибудь семейству поверхностей. Аналитически лучевые свойства механических траекторий появляются лишь благодаря тому, что они подчиняются вариационным принципам. Без принципа наименьшего действия лучевые свойства механических траекторий не могли бы быть установлены. [c.306]

Следовательно, задача о геодезической линии, т. е. задача о минимизации длины кривой, соединяющей две точки и т.,, приводит к вариационной задаче о минимизации определенного интеграла [c.321]

Таков общий метод разрешения проблем о максимумах и минимумах неопределенных интегралов, для которых вариационное исчисление и было сначала предназначено. Мы видим, что если даже подвергнуть вариации все переменные, то мы все-таки получаем число уравнений на единицу меньшее, чем имеется переменных, но это соответствует природе вещей, так как в данном случае задача заключается не в том, чтобы определить индивидуальное значение каждой из переменных величин, как в обычных задачах на максимумы и минимумы, а в том, чтобы найти неопределенные отношения между этими переменными, благодаря которым образуется их взаимная функциональная зависимость и они могут быть выражены с помощью кривых простой или двоякой кривизны. [c.129]

Действительно, речь идет об определении кривых, удовлетворяющих вариационному условию [c.426]

Поэтому, обращаясь опять к следствиям, вытекающим из уравнения (46), мы можем заключить, что имеет место полная эквивалентность между лагранжевой системой (31) вместе с уравнением И=Е связка решений) и вариационным условием (47), отнесенным к переходу от любой траектории рассматриваемой связки к какой-нибудь бесконечно близкой кривой с теми же концами. [c.433]

Задача о брахистохроне (для заданного силового поля) формулируется так оставляя неизменными два конца А к В, определить дугу кривой с так, чтобы продолжительность t пробега была наименьшей. Эта задача впервые была поставлена и решена в 1696 г. Иваном Бернулли для случая силы тяжести U = gy, если ось у вертикальна и направлена вниз) и послужила исходным пунктом вариационного исчисления. [c.455]

Прямой вывод вида кривой с из условия стационарности этого интеграла излагается и иллюстрируется во многих курсах механики и вариационного исчисления ). Здесь же мы составим себе представление о ней на основании теоремы об эквивалентности п. 18, в), рассматривая эту кривую как принадлежащую к связке траекторий с нулевой полной энергией при движении свободной точки, находящейся в силовом поле с единичным потенциалом [c.456]

Исключение координат. Теория исключения координат, развитая в 10.1, может быть выведена из вариационного принципа, аналогичного принципу наименьшего действия. Мы будем рассматривать функционал, который принимает стационарное значение не во всем классе кривых сравнения, соединяющих концевые точки, а лишь в классе кривых, подчиненных известному ограничению. В этом параграфе мы выведем снова некоторые полученные ранее формулы (см. 10.1), и хотя здесь мы не получим никаких новых результатов, однако рассуждения, приводящиеся ниже, представляют известный самостоятельный интерес. Возьмем голономную систему с п степенями свободы, причем первые тп координат i, 2. ч Чт будем считать циклическими. [c.552]

Итак, принцип кратчайшего времени был сформулирован и продемонстрирован в геометрической оптике. Немедленно и закономерно возникла проблема отыскания аналогичных задач с минимальным значением времени в механике. Рассмотрение одной из них связано с возникновением вариационного исчисления привело в дальнейшем к формулированию вариационного принципа в механике. Более широкая постановка таких задач связана с проблемой определения кривой при условии, что некоторая величина, связанная с ее формой, имеет максимум или минимум, т. е. отысканием кривой, обладающей некоторым свойством максимума или минимума. Первой задачей такого рода была задача, приведенная Ньютоном в его Началах (книга II, секция VII, предложение 34) какую форму надо придать твердому телу вращения, движущемуся вокруг оси, для того, чтобы испытываемое им сопротивление было наименьшим Решение задачи он привел без указания способа, которым оно было найдено. [c.781]

В ходе решения, приведшего к выводу, что искомая кривая есть циклоида, Я. Бернулли высказал принцип, который хотя и не обладает полной общностью, но сыграл значительную роль как на первой стадии развития вариационного исчисления, так и в формулировке Эйлером принципа наименьшего действия. Принцип Я. Бернулли гласит, что если какая-либо кривая обладает свойством максимума или минимума, то каждая ее бесконечно малая часть обладает тем же свойством. Именно это позволило Эйлеру написать вместо конечного пути s, входящего в формулу, данную Мопертюи, элемент пути ds и тем самым сделать огромный шаг вперед. Надо отметить, что, рассматривая задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде, Эйлер показал, что длина и форма предшествовавшего пути влияют на [c.787]

Если свет проходит через среду, оптическая плотность которой непрерывно изменяется (например земная атмосфера), то траектория луча будет кривой линией. Для определения этой линии надо, согласно правилам вариационного исчисления, исследовать вариацию интеграла V с15, где V — преломляющая сила среды, а 5 — элемент траектории пределы интегрирования фиксированы. Имеем [c.811]

НО] Вариационное исчисление устанавливает эквивалентность интеграла вида (3 Л = О и группы дифференциальных уравнений. Этот метод приложим в том случае, когда дана функция трех переменных / и требуется определить кривую х = х(1) такую, [c.904]

Необходимое и достаточное условие того, чтобы кривая обладала этим вариационным свойством, состоит в том чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению [c.904]

Первый член справа обращается в нуль, если концы фиксированы, а на остальной части кривой б р, брр, б( остаются произвольными. Отсюда вариационное уравнение (68.12) приводит к уравнениям движения в форме Гамильтона для лучей или траектории, именно, к уравнениям [c.224]

Кривая / вычислена Таем [87] с помощью вариационного метода, кривая 2—по формуле (34.12), кривая 5—методом иаве-деиных э. д. с. (в работе Ваи-Флека [86]) кривая 4—Ван-Флеком [86] с помощью метода интегральных ураввеви. [c.230]

Пусть точка Л расположена так, как это показано на рис. 3.22, и принадлежит области (4.12). Это означает, что в плоскости а,б, точка Л расположена ниже кривой УЗи, определяемой равенством (4.8) при п = 0. На рис. 3.23 точку Л отметим символом Ло в соответствии с индексацией 3.1.2. Очевидно, что из точки Ло для получения решения вариационной задачи необходимо перейти некоторым путем ЛоЛд в область (4.11) так, что точка Лд будет принадлежать этой области. При всяком допустимом непрерывном переходе по крайней мере часть кривой ЛдЛд принадлежит (рис. 3.24) области (4.12). Это означает, что участок ЛдЛд может быть проварьирован так, что величина х уменьшится. Остается использовать разрывный переход из одной области в другую. При безударных течениях допустим только изэнтропический разрыв (3.1.2), обусловленный фокусировкой характеристик первого семейства аНк в точке к (рис. 3.22). Такой переход в плоскости а,1 (рис. 3.23) производится по характеристике второго семейства ЛдЛ] и характеристике первого семейства [c.119]

Действительно. Пусть X представляет собой некоторую функцию координат q,. Эта функция определяет собой семейство поверхностей Xiqi, f ) = , пересекающих искомую траекторию системы, равно как = и другие, бесконечно к ней близкие линии, проведенные через точки Р и Pi (рис. 147). В таком случае каждую из этих кривых можно себе представить заданной своими координатами, выраженными в виде функций от X. Пусть буква б соответствует переходу пз какой-нибудь точки искомой траектории в ту точку соседнего сравнимого пути, которая относится к той же X. В таком случае лю кио (7.21) заменить па вариационную задачу с закрепленными пределами 0, Xi и с закрепленными концами Ро ш Pi [c.228]

Эйлер Леонард (1707—1783), академик Петербургской академии наук, великий математик, механик, физик и астроном. Научные интересы Эйлера относились ко всем основным областям естествознания, к которым можно было применить математические методы. Написал трактат по механике, в котором впервые изложил динамику точки с помощью математического анализа и ввел понятие сил инерции. Развивая вариационное исчисление, исследовал формы кривых, которые принимает тонкий гибкий стержень при различных условиях его загружения, дал вывод формулы для критической нагрузки сжатого стержня. Разрабатывал проблему поперечных колебаний стержней. Труды Эйлера оказали большое влияние на развитие математики и механики второй половины XVIII и начала XIX в. [c.564]

Использование экстремальных алгоритмов управления возможно лишь в случае, если манипулятор обладает маневренностью, т. е. имеются избыточные степени свободы. Пусть, например, требуется воспроизвести движение точки захвата по плоской кривой при помощи манипулятора, кинематическая схема которого показана на рис. 17. Манипулятор имеет три степени свободы, и за обобщенные координаты можно принять углы поворота фю, Ф21 и фз2. Для воспроизведения заданной плоской кривой достаточно иметь две степени свободы, и, следовательно, две обобщенные координаты можно найти по алгоритмам позиционного или контурного управления. Третья обобщенная координата используется для того, чтобы удовлетворить условиям экстремума какого-либо функционала, выражающего критерий качества. Поставленная задача решается мето-дами вариационного исчисления с применением ЭЦВМ. [c.564]

Вариационные принципы, являющиеся более общими, нежели раосмотренные в работе [37], были применены к исследованию волновой проблемы Флоке Немат-Насером [51, 52]. Не-мат-Насер разработал вариационные принципы общего вида, в которых независимо варьируются перемещения, напряжения и деформации в одном случае и перемещения и напряжения-— в другом и из которых вытекают все необходимые граничные условия и условия на разрывах. Была подробно исследована задача о распространении волн в направлении, перпендикулярном слоям, и построены дисперсионные кривые. Оказалось, что численные решения очень быстро сходятся к точному рещению. [c.383]

С формальной точки зрения задача нахождення минимума определенного интеграла является собственно задачей вариационного исчисления, в то время как задача нахождения минимума функции принадлежит к обычному анализу. Исторически эти две проблемы возникли одновременно и четкого разграничения между ними не было вплоть до Лагранжа, развившего технику вариационного исчисления. Знаменитая задача Дидоны, хорошо известная геометрам древности, была вариационной задачей, требовавшей нахождения минимума некоторого интеграла. Герон Александрийский вывел закон отражения, исходя из того, что луч света, выходящий из точки А и приходящий в точку В после отражения от зеркала, достигает цели в кратчайшее время. Ферма применил этот принцип для получения законов преломления. Все эти задачи решались геометрическими методами. Задача о брахистохроне (кривой быстрейшего спуска) была предложена Иоганном Бернулли и решена независимо им самим, Ньютоном и Лейбницем. Основные дифферен- [c.57]

Вместо того чтобы использовать предельный пере.чод, решим задачу прямыми методами вариационного исчисления. Предположим, что искомая кривая задана в параметричсско форме [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...