Задача плоская трех тел

Этой теоремой иногда удобно пользоваться при решении задач на равновесие тел, находящихся под действием плоской системы трех сил, в частности для определения наперед неизвестных направлений реакций связей. [c.193]

Число неизвестных, подлежащих определению при решении задач о равновесии тела, подверженного действию совокупности сходящихся сил, не должно превосходить числа уравнений, т. е. двух для плоской и трех для пространственной системы. [c.33]

Используя эти свойства стабильности теплового потока, расчет теплопроводности в телах сложной геометрической конфигурации можно свести к расчету процесса нагрева (охлаждения) тел трех классических форм одномерной плоской пластины — тело первого класса, длинного круглого цилиндра —тело второго класса и шара — тело третьего класса. При решении задачи прежде всего необходимо рациональным образом определить класс, к которому надо отнести рассматриваемое тело. Затем произвести сравнение температурного поля с температурным полем основного тела этого класса. [c.114]

Б8. Плоская задача трех тел. Обратимся к результатам п. 47, предполагая, что движение трех тел, Яд, Р Р , происходит в плоскости т). Полагая равными нулю третьи координаты и соответствующие проекции количества движения, мы будем иметь для характеристической функции на основании формулы (96) выражение [c.329]

Пример 1 (Ограниченная задача ТРЕХ ТЕЛ (см. п. 124)). Пусть точка Р малой массы движется под действием притяжения двух точек S и J конечных масс, не оказывая влияния на движение последних. Будем считать, что точка J движется относительно точки S по круговой орбите, а точка Р движется в плоскости этой орбиты (т. е. рассматривается так на- Р с. 138 зываемая плоская круговая ограниченная задача трех тел). [c.325]

Плоское движение. Другой способ приведения к системе шестого порядка. В 29.8 мы показали, что уравнения движения в задаче трех тел в случае плоского двин ения допускают понижение до шестого порядка. Этот результат можно получить и другим путем, если исходить из уравнений в форме, приведенной в 29.10. [c.597]

Плоская задача трех тел [c.453]

Гауссом доказано, что частный случай планетного варианта усредненной задачи трех тел, а именно ее плоский вариант , состоящий в том, что плоскости орбит планет совпадают и, следовательно,. [c.141]

Он также доказал, что дифференциальные уравнения симметричного движения плоской задачи трех тел интегрируются в эллиптических функциях, если [c.111]

Рассматривая пространственные симметрические движения в задаче трех тел для общего закона взаимодействия, Ю. Д. Соколов установил, что, за исключением легко интегрируемого случая / (г) = Аг, единственно возможными видами таких движений являются указанные П. В. Воронцом вращения равнобедренного треугольника вокруг своей оси симметрии и оси, па-раллельной основанию, а также плоское движение с осью симметрии в соответствующей плоскости. Им исследованы плоские и пространственные томографические движения в задаче трех тел для общего закона взаимодействия. В частности, он доказал невозможность гомографического движения для степенного закона взаимодействия, отличного от закона Ньютона. [c.111]

Ю. Д. Соколов изучил также траектории общего соударения в обобщенной задаче трех тел. Ему принадлежит первое исследование трансцендентного уравнения Эйлера — Лагранжа, связывающего отношения взаимных расстояний с отношением масс в обобщенном случае. Он доказал, что при стремлении времени к моменту общего соударения три тела, вообще говоря, стремятся образовать предельную конфигурацию, соответствующую известным частным случаям Эйлера—Лагранжа, а также указал исключения из общего правила. Соколов исследовал пространственное симметрическое движение и, в частности, траектории общего соударения, с коллинеарной (на оси вращения) предельной конфигурацией. Он изучил также траектории обобщенной задачи трех тел в случае неограниченного расхождения точек системы для плоского и пространственного движения в течение конечного интервала времени. [c.114]

Иногда в задачах статики приходится рассматривать равновесие не одного, а нескольких тел, связанных между собой и образующих неизменяемую систему. Силы, действующие на такую систему со стороны других тел, не входящих в нее, называются внешними, силы взаимодействия между сочлененными телами системы — внутренними. В этом случае для плоской системы сил число уравнений, которые можно составить, больше трех. Соответственно может быть больше и количество неизвестных, которое нужно определить. Для каждого тела, входящего в систему, можно составить три уравнения равновесия, если действующая на него система сил является плоской. Каждое тело или группу тел системы можно выделить и рассматривать в состоянии равновесия под действием приложенных к этой части системы внешних и внутренних сил. Такой прием решения задач на равновесие системы тел называется методом расчленения. Иногда при рассмотрении равновесия системы сочлененных тел удобно составлять уравнения равновесия не только для отдельных частей системы, но и для всей системы в целом. Ниже приводим пример, поясняющий применение метода расчленения. [c.33]

Этот вариант ограниченной задачи трех тел называется ограниченной плоской круговой задачей трех тел, К этой задаче сводится, например, изучение движения космической ракеты под воздействием Земли и Солнца в случае, когда орбита ракеты находится в плоскости эклиптики. [c.229]

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ К ПЛОСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ [c.237]

В ближайших двух параграфах мы сделаем некоторые выводы из уравнения (7.3.8) для ограниченной плоской круговой задачи трех тел. Для простоты будем полагать, что нами выбрана каноническая система единиц, так что [c.244]

Теорема 3 применима ко многим задачам гамильтоновой механики. Так, например, плоская ограниченная круговая задача трех тел не допускает нетривиальной группы симметрий в виде ряда по степеням малого параметра /2 с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (ср. с п. 1 2 параметр /2 равен отношению массы Юпитера к массе Солнца). [c.194]

С теорией устойчивости (в смысле Ляпунова) тесно связано также отдельное течение в качественном направлении, посвященное изучению форм и свойств траекторий в задаче с двумя степенями свободы, типа плоской ограниченной круговой задачи трех тел (В. В. Степанов, Н. Д. Моисеев и его ученики). [c.344]

В своей теории движения Луны Хилл исходил из уравне ний движения плоской ограниченной круговой задачи трех тел, для которой, считая расстояние между двумя конечными массами весьма большим, знаменитый астроном вывел удобные приближенные уравнения, частное периодическое решение которых затем и разыскивал. [c.272]

Такую задачу мы называем, как и в классическом случае, круговой ограниченной задачей, и эта задача имеет смысл, так как, по предположению, тела обладают плоско-осевой симметрией и центры масс всех трех тел всегда находятся в одной плоскости. [c.442]

Чтобы установить существование частных решений общей задачи трех тел, найденных Лагранжем заметим сначала, что если начальные скорости всех трех тел располагаются в плоскости треугольника, образованного начальными положениями этих гел, то три точки, Мо, М), Ма, всегда будут оставаться в этой плоскости, т. е. движение системы будет плоским ). [c.745]

Изучение этого плоского движения составляет несколько более простую задачу, называемую плоской задачей трех тел, дифференциальные уравнения которой получаются из дифференциальных уравнений общей (пространственной) задачи трех тел при условии, что во все время движения положение плоскости треугольника, образованного тремя точками, Мо, Мь Мг, ие изменяется, т. е. что мы имеем [c.745]

Ограниченная задача о трех телах. Диференциальные уравнения задачи были выведены в главе VIII. Мы рассмотрим здесь только случай плоского движения. Тогда 2 = 0, и уравнения примут следующий вид [c.443]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

D, а В преобразовании Крылова — Боголюбова вида (3.60) но будет отсутствовать. Чтобы преобразование Крылова — Боголюбова давало асимптотические представления для решения нервоначальной системы (62), необходимо, как неоднократно указывалось раньше, решить усредненную систему (70). Моиаю доказать [8, 124], что усредненные по Делоне — Хиллу уравнения плоской ограниченной круговой задачи трех тел интегрируемы в квадратурах, т. е. известна полная система ее первых интегралов (система уравнений имеет четвертый порядок). То же самое можно утверждать и относительно усредненных но Фату и Моисееву уравнений плоской ограниченной круговой задачи трех тел. Что касается пространственного случая ограниченной круговой задачи трех тел, то известно, что только схема Гаусса (см. (35)) приводит к интегрируемой задаче. Первые интегралы усредненных уравнений можно найти в [7, 8, 124]. [c.148]

В. А. Приходько [127] решил эту задачу для соизмеримости А /сг = 2 5, характерной для группы астероидов Минервы. В случае плоского варианта (t = Q = 0) ограниченной круговой задачи трех тел усредненная возмущающая функция после выполнения процедуры интегрирования по формуле (67) принимает вид [c.150]

Движение системы трех материальных точек, при котором образованный этими точками треугольник остается все время равнобедренным, впервые было исследовано Д. Н. Горячевым . Существование аналогичных пространственных движений с осью и плоскостью симметрии, а также плоских движений с осью симметрии в плоскости движения в классической задаче трех тел было установлено Э. Франсеном [c.110]

Т. Банахевич показал, что в случае закона притяжения обратно пропорционально кубам взаимных расстояний пространственная задача трех тел допускает решение. Новый интегрируемый случай в задаче п тел при том же законе притяжения нашел А. Д. Билимович . Плоское и пространственное движение трех тел, при котором образованный телами треугольник остается равнобедренным, в случае ньютоновых сил притяжения рассмотрел Е. Виль-чинский Он показал, что необходимым условием таких движений, называемых равнобедренными , или симметрическими , является равенство двух масс, расположенных в вершинах основания треугольника. [c.110]

Е. Егервари указал новый случай интегрируемости в плоской задаче трех тел, который встречается тогда, когда отношение главных моментов инерции системы остается постоянным, массы точек равны и взаимодействие между ними происходит по закону / (г) = Аг Вг . Новый интеграл пространственной задачи трех тел, независимый от десяти классических при том же законе взаимодействия в случае равных масс нашла Л. А. Га-зархи [c.111]

Исследование гомоклинических структур и выяснение их роли в образовании сложных хаотических и стохастических движений детерминированных динамических систем. Кривые, названные А. Пуанкаре гомоклиническими и гетероклиническими [312], были обнаружены им в ограниченной проблеме трех тел — задаче о движениях трех притягивающихся по закону Ньютона материальных точек в предположениях, что это движение плоское и что одна из масс исчезающе мала и не оказывает влияния на движение двух остальных. (Эта проблема и после Пуанкаре неоднократно привлекала внимание многих исследователей.) [c.86]

В предыдущем параграфе было рассмотрено решение задачи об охлаждении тел трех простейших форм — плоской стенки, цилиндра и шара. Однако практические потребности не огра-кичиваются этими простейшими случаями. Очень часто возникает необходимость решения задачи об охлаждении тела сложной конфигурации . При этом температурное поле тела за ви-сит от всех трех координат, и получить аналитическое решение становится невозможным. При сложной конфигурации тела весьма трудно также использовать большинство приближенных методоз, которые очень эффективны в более простых случаях. [c.321]

Полагая в уравнениях (17), (18) z ri О, получим дифференциальные уравнения движения спутника в ограниченной плоской круговой задаче трех тел. Так как при г О третье из уравнений (18) превращается в тождество 0 = 0, то рассматриваемая плоская задача описывается системой диффере1щиальпых уравнений четвертого порядка относительно двух вещественных ( зуикций х (/) и у (/). [c.234]

Появление этих слагаемых связано с неииерциально-стью системы отсчета xyz. Величина — о) X (о) X г) или, что то же, a) xi- -yj) —это центробежное ускорение. Оно имеет компоненты и o . В случае плоской ограниченной задачи трех тел это ускорение направлено [c.235]

Периодические орбиты. Дифференциальные уравнения ограниченной плоской круговой задачи трех тел могут быть решены для любого данного конечного промежутка времени с любой требуемой точностью, если воспользоваться методами численного интегрирования. Однако получаемые таким образом результаты не позволяют судить о движении непритягивающего спутника вне этого промежутка времени. Исключение составляет тот случай, когда движение периодическое. [c.263]

Движение спутника Р в ограниченной плоской круговой задаче трех тел называют периодическим, если его координаты X t), у f) во вращающейся системе отсчета являются периодическими функциями времени, то есть существует такая константа А, > О, что х t К) = х t) г/ (/ Н- Я) = i/ t) при любом t. Если движение точки Р является периодическим и мы знаем его в течение только одного периода, то тем самым мы знаем движение для любого промежутка времени. В течение последних 70 лет появилось значительное число исследований, посвященных периодическим орбитам ограниченной задачи трех тел. Так, например, группа датских астрономов (Т. Тйле, Э. Стрем-грен и другие) дали полную классификацию периодических решений для так называемой Копенгагенской задачи, то есть для ограниченной плоской круговой задачи трех тел при условии, что массы притягивающих центров Ai и А2 равны (т = /Пз). Аналогичное исследование при = 1 10 выполнил английский астроном Дж. Дарвин в последние годы XIX столетия. Фундаментальные результаты и методы в исследовании периодических орбит принадлежат русскому математику А. М. Ляпунову (1857 — 1918) и французскому математику А. Пуанкаре (1856—1912), [c.263]

Подробно рассмотрена устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел в наиболее важных для приложений в космодинамике случаях в плоской круговой задаче, в пространственной круговой, в плоской эллиптической и в пространственной эллиптической в плоской круговой задаче получены [c.124]

Вопрос о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия консервативной системы был поставлен, как известно, В. Томсоном (лордом Кельвином), установившим ряд теорем. Эти теоремы Кельвина впервые были строго даказаны приь1енением функций Ляпунова в весьма изящной форме Четаевым (1946), обратившим при этом внимание на принципиальную и прикладную важность введенных Кельвином понятий вековой и временной устойчивости и возможность гироскопической стабилизации. Впоследствии, например, Четаев (1956) показал, что равносторонний треугольник в плоской задаче трех тел неустойчив при постоянстве угловой скорости со вращения луча соединяющего какие-либо два тела из трех, и его нельзя стабилизировать добавлением каких-либо гироскопических сил. В случае движения относительно центра масс системы, когда onst, вообще, лапласов треугольник не имеет вековой устойчивости, но может иметь гироскопическую устойчивость. [c.38]

Основной прием метода осреднения состоит в том, что правые части сложных систем дифференциальных уравненией, описывающих процесс колебаний или вращения, заменяются сглаженными , осредненными функциями, не содержащими явно время i и быстро изменяющихся параметров изучаемой системы. Этот метод издавна применялся в небесной механике, с ним связаны известные схемы осреднения Гаусса, Делоне — Хилла и др. В Лекциях Ю. А. Митропольского (1966) в качестве характерного примера применения осреднения в задачах небесной механики рассматривается ограниченная плоская круговая задача трех тел (см. также Н. Д. Моисеев, 1945). Эта задача приводит к уравнениям вида ( 2/- / (II [c.116]

Однако задача Хилла, представляющая собой некоторый предельный случай плоской ограниченной круговой задачи трех тел, имеет интерес не только для теории движения Луны, айв ряде других случаев, например, для некоторых спутников Юпитера, а поэтому, естественно, возник вопрос о применении рядов Хилла — Ляпунова в таких задачах, где параметр т выходит из границ, определенных Ляпуновым. Для седьмого спутника Юпитера, например, т 0,146, что больше предела [c.354]

Задача о движении такого астероида называется ограниченной задачей трех тел. Плоская ограниченная задача трех тел приводит к системе с двуд1я степенями свободы, периодически зависящей от времени, для движения астероида. Если же вдобавок орбита Юпитера круговая, то во вращающейся вместе с ним системе координат для движения астероида получается автономная гамильтонова система с двумя степенями свободы — так называемая плоская ограниченная круговая задача трех тел. [c.383]

Смейл на примере плоской задачи трех тел предложил общий метод исследования перестроек интегральных многообразий при переходе через бифуркационные кривые. Применительно к уравнениям Эйлера-Пуассона (линейный потенциал) перестройки бифуркационньк кривых качественно изучены С. Б. Каток, Я. В. Татариновым и Р. П. Кузьминой [84, 164, 109]. [c.144]

В задаче трех тел-точек, в которой действующие силы всегда направлены по прямым, проходящим через каждую пару точек, плоские решения всегда существуют. Действительно, если векторы начальных скоростей трех точек лежат в плоскости, образованной начальныг.И положениями этих точек, то точки всегда будут оставаться в этой начальной плоскости, так как в этом случае не будет никаких причин, которые могли бы вывести какую-либо из трех точек из этой начальной плоскости, которая, очевидно, является плоскостью Лапласа. [c.425]

В зависимости от закона (9.86 ) и формы, а также структуры плоско-осес1Пу1метричных тел Г каждая из эйлеровых точек может существовать, но может и не существовать. Кроме того, мы не можем утверждать, чго если какая-либо из трех эйлеровых точек существует, то она единственна. В самом деле, мы уже ранее, в ограниченной задаче трех точек, видели, что если все действующие силы управляются законом Гука, то любая точка бесконечной прямой, проходящей через точки Go и Gi, является эйлеровой точкой. Подобное положение может осуществиться и в рассматриваемой задаче. [c.446]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...