Пространство состояний

Правая часть этого равенства не изменяется при движении изображающих точек вдоль их траекторий в пространстве состоянии. Таким образом, получен полный относительный инвариант Э. Картана [c.384]

Пространством состояний называют п-мерное пространство, каждое измерение которого соответствует одному из параметров состояния. [c.26]

Любое состояние системы изображается точкой в пространстве состояний. Последовательность состояний системы во времени, изображаемая кривой в пространстве состояний, называется процессом. [c.26]

Будем рассматривать лишь процессы, изображаемые непрерывными кривыми в пространстве состояний. Отметим, что процессы, которым соответствуют кривые с разрывами первого рода, представляют собой модели некоторых физических процессов (типа взрывов) и их исследование составляет часть механики деформируемых сред. [c.26]

Пусть i.i, [А" —базис в пространстве состояний. Придадим параметрам (.i бесконечно малые приращения d JL и измерим количества различных видов энергии, притекающих к системе при этих изменениях параметров состояния. Данные об этих притоках определяются физическими свойствами конкретной среды, т. е. соответствующие закономерности не имеют столь универсального характера, как законы сохранения. [c.26]

Закон сохранения энергии (первый закон термодинамики) гласит при замкнутом процессе (т. е. процессе, изображаемом непрерывной замкнутой кривой в пространстве состояний) полный приток энергии к системе равен нулю. [c.27]

При надлежащих ограничениях на А каждому и соответствует одно решение у = у и) уравнения (5.413), называемое состоянием системы. В практических задачах состояния системы наблюдать (или измерять), как правило, не удается, поэтому приходится вводить специальное пространство наблюдений Н и оператор С из пространства состояний в пространство наблюдений будем предполагать, что eL(V, Я). [c.301]

Образом стационарного движения служит точка, а образом периодического движения — замкнутая линия (траектория) в пространстве состояний о них говорят соответственно как о предельной точке или предельном цикле. Если эти дви>кения устойчивы, то это значит, что соседние траектории, описываю- [c.155]

Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые никлы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходяш,им через них траекториям, далеко разойдутся первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости. [c.164]

Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные траектории расположены в ограниченном объеме пространства состояний. Классификация возможных типов странных аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна неясны даже критерии, па которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при [c.165]

Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в другом пространстве — меньшей размерности. Последнее опре- [c.166]

Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний. [c.167]

Сумма ляпуновских показателей определяет среднее вдоль траектории изменение элементарного объема в пространстве состояний. Локальное относительное изменение объема в каждой точке траектории дается дивергенцией div х = с1)У = Л, (0. Можно показать, что среднее вдоль траектории значение дивергенции ) [c.168]

Для диссипативной системы эта сумма отрицательна — объемы в -мерном пространстве состояний сжимаются. Размерность же [c.168]

В п-мерном пространстве состояний п— мультипликаторов определяют поведение траекторий в п—1 различных направлениях в окрестности рассматриваемой периодической траектории (отличных от направления касательной в каждой точке самой этой траектории). Пусть близкий к 1 мультипликатор отвечает некоторому /-му направлению. Остальные п — 2 мультипликаторов малы по модулю поэтому по соответствующим им п — 2 направлениям все траектории будут со временем прижиматься к некоторой двумерной поверхности (назовем ее 2), которой принадлежат 1-е направление и направление указанных касательных. Можно сказать, что в окрестности предельного цикла пространство состояний при t- oo оказывается почти двумерным (строго двумерным оно не может быть — траектории могут располагаться по обе стороны S и переходить с одной стороны поверхности на другую). Разрежем поток траекторий вблизи Е некоторой секущей поверхностью а. Каждая траектория, повторно пересекая о, ставит в соответствие исходной точке [c.169]

Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпосылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении R) настолько быстро, что даже в промежутках между ними занимаемая множеством траекторий область пространства состояний остается почти двумерной, и вся последовательность бифуркаций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящим от одного параметра. [c.172]

Вторичное квантование (представление вторичного квантования представление чисел заполнения) — реализация гильбертова пространства состояний системы многих частиц как пространства функций от числа частиц с заданными квантовыми числами. [c.266]

Интеграл перекрытия — скалярное произведение двух векторов пространства состояний. [c.267]

Наблюдаемая — принципиально наблюдаемая физическая величина (координата, импульс, энергия, угловой момент, спин и т. д.), которой в пространстве состояний сопоставляется некоторый самосопряженный оператор (оператор этой наблюдаемой). [c.271]

Представление — реализация пространства состояний как пространства функций на спектре некоторого полного набора наблюдаемых. [c.273]

Пример 21.1. В трехмерном пространстве состояний в базисе собственных векторов 11), 2>, 3> оператор И и операторы физических величин А и В имеют вид / 1 О О [c.141]

При вычислении теплового потока по формуле Ньютона — Рихмана основные трудности заключаются в определении коэффициента теплоотдачи. Важнейшими факторами, влияющими на коэффициент теплоотдачи, являются природа возникновения движения среды у поверхности теплообмена, режим движения среды, физические свойства среды, форма, размеры и положение тела в пространстве, состояние поверхности теплообмена. [c.194]

Геометрические условия характеризуют форму, размеры тела или системы, положение его в пространстве, состояние поверхности. Физические условия характеризуют физические свойства среды. Начальные (временные) условия характеризуют особенности протекания процесса в начальный момент времени для стационарных процессов эти условия несущественны. Граничные условия характеризуют особенности протекания процесса на границе тела и среды, на границе раздела фаз. [c.276]

Анализ и синтез объекта прогноза заключается в отыскании способов адекватного описания объекта прогноза и представления его в виде модели, наиболее соответствующей требованиям задачи прогнозирования. При этом определяются а) морфология и аксиология объекта, б) пространство состояний объекта прогнозирования и структуризация этого пространства, в) основные и второстепенные признаки и их идентификация, г) взаимовлияние признаков, д) граничные состояния признаков и способы их идентификаций. [c.5]

В последующем изложении ( 30—32) будет удобным пользоваться определенными геометрическими образами. Для этого введем математическое представление о пространстве состояний жидкости, аждая точка которого отвечает определенному распределению (полю) скоростей в ней. Состояниям в близкие моменты времени соответствуют при этом близкие точки ). [c.155]

Вернемся к обсуждению возможных результатов взаимодействия разных периодических движений. Явление синхронизации упрощает движение. Но взаимодействие может разрушить квазипериодичность также и в направлении существенного усложнения картины. До сих пор молчаливо подразумевалось, что при потере устойчивости периодическим движением возникает в дополнение к нему другое периодическое движение. Логически же это вовсе не обязательно. Ограниченность амплитуд пульсаций скорости обеспечивает лишь ограниченность объема пространства состоянии, внутри которого располагаются траектории, соответствующие установившемуся режиму течения вязкой жидкости, но как выглядит картина траекторий в этом объеме априори ничего сказать нельзя. Траектории могут стремиться к предельному [c.163]

Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать Е. Lorenz, 1963) его принято называть стохастическим, или странным аттрактором ). [c.164]

На первый взгляд, требование о неустойчивости всех траекторий, принадлежащих аттрактору, и требование о том, чтобы все соседние траектории при t- oo к нему стремились, кажутся несовместимыми, поскольку неустойчивость означает разбега-нне траекторий. Это кажущееся противоречие устраняется e jm учесть, что траектории могут быть неустойчивыми по одним направлениям в пространстве состояний и устойчивыми (т. е. притягивающими) по другим. В и-мерном пространстве состояний [c.164]

Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным внутри двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению стационарной турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее —их следы) заполняют определенную площадь проследим за изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом — сжимается ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем растяжение— объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться — в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его площади. В результате сечение пучка разбивается на систему влол<енпых друг в друга полос, разделенных пустотами С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возникающий в пределе t- oo аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев — поверхностей, на которых располагаются седлов1ле траектории (своими притягивающими направлениями обращенные наружу аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого гцзсмеии пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулю. [c.166]

По математической терминологии, такие множества по одному из направлений относятся к категории канторовых. Именно канторовость структуры следует считать наиболее характерным свойством аттрактора и в более общем случае п-мериого п > 3) пространства состояний. [c.166]

Существование этого предела означает конечность объема аттрактора в О-мерном пространстве при малом е имеем N r) xi л Ve-o (где V — постоянная), откуда видно, что N z) можно рассматривать как число D-мерных кубиков, покрывающих в D-мерном пространстве объем V. Определенная согласно (31,3) размерность не может, очевидно, превышать полную размерность п пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной именно такова она для канторовых множеств ). [c.167]

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось (течение вышло на странный аттрактор ), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем зп большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента объема (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться — его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора. [c.167]

Масштабный множитель а определяет изменение — уменьшение— геометрических (в пространстве состояний) характеристик аттрактора на каждом шаге удвоений периода этими характеристиками являются расстояния между элементами предельных циклов на оси х. Поскольку, однако, каждое удвосиие сопровождается еще и увеличением числа элементов цикла, это утверждение должно быть конкретизировано и уточнено. При этом заранее ясно, что закон изменения масштаба не может быть одинаковым для расстояний между всякими двумя точками ). Действительно, если две близкие точки преобразуются через почти линейный участок функции отображения, расстояние между ними уменьи1ится в а раз если же преобразование про- [c.177]

При малой надкритичности расстояние между линией (32,22) и прямой Xi+ =Xj мало (в области вблизи Xj = 0). На этом интервале значений х, следовательно, каждая итерация отображения (32,22) лишь незначительно перемещает след траектории, и для прохождения им всего интервала потребуется много шагов. Другими словами, на сравнительно большом промежутке времени траектория в пространстве состояний будет иметь регулярный, почти периодический характер. Такой траектории отвечает в физическом пространстве регулярное (ламинарное) движение жидкости. Отсюда возникает еще один, в принципе возможный, сценарий возникновения турбулентности (Р. Manneville, Y. Porneaii, 1980). [c.183]

Можно представить себе, что к рассмотренному участку функции отображения примыкают участки, приводящие к хаотиза-ции траекторий им отвечает в пространстве состояний множество локально неустойчивых траекторий. Это множество, однако, само по себе не является аттрактором и с течением времени точ- [c.183]

Это определение удобно гео.д1етрически интерпретировать п 2п-мериом пространстве состояний qi, ф. На рис. 152 для случая /г = 1 изображены две окрестности, задаваемые неравенствами (2) и (3). В случае устойчивости любое движение, начинающееся в момент t = to внутри квадрата со стороной 26, будет происходить все время внутри квадрата со стороной 2g. [c.346]

Квантование — построение квантово-механического описания физической системы, отвечающего данному классическому, состоящее в том, что динамическим переменным системы сопоставляются операторы в некотором пространстве состояний, подчиняюцщеся определенным коммутационным соотношениям, в Квантовые числа — числа, через которые выражаются возможные значения наблюдаемых. [c.268]

Представление Гейзенберга (картина Гейзенберга)— описание временной зволюции кванговой системы в пространстве состояний, нри котором вектор состояния ПС зависиг о г времени, а зависимость от времени операторов наблюдаемых определяется уравнением Гейзенберга. [c.274]

Вариационные принципы механики (1965) -- [ c.203 ]

Классическая динамика (1963) -- [ c.200 , c.202 , c.325 , c.333 , c.388 , c.389 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 (1981) -- [ c.43 , c.46 , c.73 , c.281 ]

Основы автоматизированного проектирования (2002) -- [ c.16 ]

Цифровые системы управления (1984) -- [ c.47 ]

Метрология, специальные общетехнические вопросы Кн 1 (1962) -- [ c.558 ]

Динамические системы-3 (1985) -- [ c.2 ]

Общая теория вихрей (1998) -- [ c.54 ]

Механика сплошной среды Т.1 (1970) -- [ c.199 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...