Непрерывная оператора рассеяния

На этом пути в п.З получаются также содержательные оценки для ВО и оператора рассеяния, позволяющие установить их непрерывную зависимость от оператора Н. Кроме того, в п. 4 дается нестационарное доказательство ПИ. [c.244]

В квантовой механике наблюдаемым отвечают самосопряжённые операторы, действующие в гильбертовом пространстве Ж. Сведения об их спектре имеют непосредственный физ. Смысл. Так, точечный спектр оператора Гамильтона — это уровни энергии связанных состояний, а непрерывному спектру отвечают состояния, фигурирующие в теории рассеяния. В соответ-ствии с идеей П. Дирака [2] в квантовой механике OUO [c.605]

Возвращаясь к общей формуле (23), необходимо подчеркнуть,что ее применимость ограничена, строго говоря, лишь невырожденным состоянием ф. В случае вырожденного уровня в непрерывном спектре (например, при описании рассеяния частицы на комплексе) необходимо входящий в обсуждаемую формулу оператор V заменить на (5 V, где Q — оператор проектирования на состояния с энергией, отличной от . Это отвечает замене [c.327]

Если, с другой стороны, Im -< О, то значения Е должны двигаться через разрез для функции Е — — уН ) , который проходит по области непрерывного спектра . На соответствующем втором листе римановой поверхности полюсы аналитически продолженной резольвенты, или собственные значения а ( ) оператора К, не имеют смысла связанных состояний гамильтониана Но + уН. Вместо этого, как будет подробно показано в гл. 16, 5, такие полюсы на втором листе (если они лежат достаточно близко к действительной оси) приводят к появлению резонансов при рассеянии. Следовательно, физический смысл того, что значение ( ) проходит вблизи единицы, или пересекает окружность единичного радиуса, и при этом имеет малую мнимую часть, состоит в появлении резонансов. Конечно, резонансы будут появляться всякий раз, когда а (0) почти равно единице, а точка а ( ) при возрастании энергии продолжает смещаться вправо. [c.227]

Произведем теперь преобразование Фурье уравнений, зависящих от времени, и перейдем к уравнениям Липпмана — Швингера (7.15) и (7.15а). Ситуация здесь является несколько иной, поскольку энергия фиксирована. Связанные состояния оператора Н, вызывающие некоторые затруднения, могут иметь энергии, не совпадающие со значениями энергии, при которых требуется решать уравнение. Поскольку рассматривается случай, когда одна частица рассеивается на неподвижной мишени или во внешнем поле сил, то спектр, соответствующий состояниям рассеяния, или непрерывный спектр, четко отделен от дискретного спектра, или спектра связанных состояний. Нас интересует решение уравнения (7.15) при > О, в то время как связанные состояния лежат в области -< 0. Поэтому не возникает никаких серьезных затруднений в вопросе о существовании и единственности решений уравнения (7.15) [или уравнения (7.11) для функции Грина] либо уравнения (7.47) для оператора Т. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже. [c.253]

Здесь уместно отметить, что матричная формулировка, приведенная в 1, п. 1, не ограничена случаем дискретных каналов. Формально мы можем ввести в нее и непрерывные каналы, включая в совокупность матричных элементов взаимодействия (16.74), такие, которые берутся между состояниями рассеяния. Тогда в (16.75) будет входить интеграл по энергиям е . Мы по-прежнему можем использовать матричные обозначения [как в (16.75а)], но следует помнить, что матрицы частично станут интегральными операторами (т. е. непрерывными матрицами). Однако это покупается дорогой ценой. Так, в 4, п. 2 мы увидим, что учет полной области изменения всех промежуточных [c.487]

Первая попытка обстоятельного рассмотрения оператора переноса связана с односкоростной задачей при изотропном рассеянии для бесконечной пластины без отражателя [21]. Первоначально предполагалось, по аналогии с другими проблемами математической физики, что существует бесконечный набор дискретных собственных значений уравнения (1.47) и что соответствующие собственные функции образуют полную систему. Точное решение уравнения (1.45) дало, однако, конечный (ненулевой) набор действительных собственных значений, для которых > —ov и, кроме того, непрерывный спектр для всех а,. < —ov (как в третьей ситуации из рассмотренных в предыдущем разделе). Вклад непрерывного спектра спадает, однако не медленнее, чем ехр (—ovt). Так как всегда существует одно или несколько дискретных собственных значений, асимптотическое решение при больших временах будет [c.35]

Теорема 7.1 применима, так как оператор / - 7(ш) обратим для вещественных .Поэтому [ / - (ш) ] 1 есть мероморфная функция на комплексной плоскости со значениями в ( А, А). Для ш, отличных от полюсов со-, решение х единственно и ( ранее мы отмечали, что плотности непрерывны, если заданные функции непрерывны) решения, построенные при помощи потенциалов, являются классическими. Рассмотрим теперь частоту рассеяния м . Тогда единица есть собственное значение оператора Т(ш ). Пусть х - соответствующий собственный вектор [c.384]

Мы рассмот Я1м здесь новые методы изучения задач рассеяния. Эти методы более общие по сравнению с методом потенциалов из предыдущей главы и годятся для изучения спектральных свойств оператора с непрерывным спектром и асимптотического поведения энергии. Метод сведения к задаче в ограниченной области ( 4) дает простой путь нахождения частот рассеяния. [c.390]

Обсудим необходимые условия справедливости соотношения (B.2) . Если / является собственным вектором оператора Я, Я/ = Л/, то u t) = exp —iXt)f и зависимость решения уравнения (В.1) от времени тривиальна. Однако из-за того, что собственные числа сдвигаются при сколь угодно слабых возмущениях, невозмущенная задача, вообще говоря, не имеет решений с таким же поведением при t со. Аналогично нельзя ожидать выполнения соотношения (B.2) при / из сингулярного непрерывного подпространства оператора Я. Впрочем, типичным для обсуждаемых в теории рассеяния случаев является отсутствие сингулярного непрерывного спектра у обоих операторов. [c.13]

В теории рассеяния нужно рассматривать разложение в интеграл вида (1) для абсолютно непрерывной части оператора Я. Оно строится по абсолютно непрерывной компоненте Ша меры т. Поскольку Ша имеет тип сужения меры Лебега на сердцевину спектра оператора Я, то [c.47]

В теории рассеяния нам понадобится информация о структуре особого множества оператор-функции на границе ее области аналитичности. С помощью теоремы 2.1, а точнее ее следствия для функций непрерывных вплоть до границы, следующий результат устанавливается вполне аналогично теореме 2. [c.66]

Рассмотрим сейчас совсем простой пример, в котором теория рассеяния строится явно. Пусть Н = L2(M), а Но = —id/dx причем V Ho) состоит из абсолютно непрерывных функций, принадлежащих i>2(M) вместе со своей производной. Оператор Но унитарно эквивалентен оператору А умножения на независимую переменную в двойственном пространстве [c.107]

Любой самосопряженный оператор Яо с абсолютно непрерывным спектром постоянной (возможно, бесконечной) кратности может быть реализован (см. 1.5) как оператор умножения на независимую переменную (Л) в гильбертовом пространстве Ь2 д ()). Здесь —сердцевина спектра оператора Яо, — вспомогательное гильбертово пространство, размерность которого равна кратности спектра. В модели Фридрихса-Фаддеева рассматривается случай, когда = а—замкнутый интервал, а возмущение V оператора Яо является интегральным оператором с гладким ядром г (Л, / ). В рамках этой модели удается не только построить теорию рассеяния, т.е. доказать существование и полноту ВО Ж (Я, Яо) (отвечающих 7 = /), но и проверить отсутствие у оператора Н = Но V сингулярного непрерывного спектра. [c.146]

H. Обозначим через П = р Но) (замкнутую) комплексную плоскость с разрезом по спектру сг = сг(Яо) оператора Hq. Нужные для стационарного построения теории рассеяния результаты о непрерывности Т(г) z И формулируются в следующем утверждении. [c.148]

Основные объекты теории рассеяния (волновые операторы, оператор и матрица рассеяния) относятся к теории возмущений на непрерывном спектре. Понятие функции спектрального сдвига (ФСС) выходит за рамки собственно теории рассеяния. [c.328]

Функция спектрального сдвига возникает в теории ядерных возмущений в связи с интегральным представлением для следа разности функций от операторов Яо и Я. На непрерывном спектре ФСС связана с матрицей рассеяния. Однако в отличие от нее понятие ФСС содержательно как на непрерывном, так и на дискретном спектрах. [c.328]

В рамках абстрактной теории операторов основные понятия теории рассеяния были сформулированы в связи с исследованием возмущений ядерного типа. Вначале рассматривался случай Tio —7i,J /.Точное определение ВО было дано в статье 106] Т.Като, заметившим необходимость введения проектора на абсолютно непрерывное подпространство. Кроме того, в 106] изучены элементарные свойства ВО. [c.403]

Абсолютно непрерывная часть оператора, 37 Альтернатива Фредгольма аналитическая, 64 Амплитуда рассеяния, 15 [c.410]

В случае чистого рассеяния доказательство проходит даже в более простой форме, так как нечетные инварианты столкновений отсутствуют. Однако рассуждения теряют силу, когда спектр L содержит точки на положительной полуоси при этом можно лишь сказать, что если деление опнс7з1вается вполне непрерывным оператором, то (согласно обобщенной теореме Вейля [3]) невещественные собственные значения образуют дискретное множество. [c.226]

Многоканальное описание процессов рассеяния, в которых участвует более двух частиц, является полным лишь в том случае, когда никак не ограничено число возможных конечных состояний. Другими словами, для полного описания процесса следует в число каналов включать не только те, которые определяются дискретными внутренними возбуждениями фрагментов, но и те, в которых фрагменты диссоциируют. Поэтому если имеется более двух конечных частиц, то энергетическое распределение непрерывно и мы сталкиваемся, так сказать, с континуумом каналов. Если в описание, использующее единый оператор рассеяния, включаются непрерывные каналы, то такое описание будет полным и будет включать процессы перестройки. Конечно, последние в этой формулировке замаскированы и не выделяются столь просто, чтобы с ними можно было работать с помощью сколько-нибудь удобных мето- [c.486]

В условиях теоремы 6 (даже при 7о = 71 = I) сходимости ВО по норме, вообще говоря, нет (по этому поводу см. статью Путнама [133]). Из теоремы 6, конечно, сразу вытекает, что при условии (14) оператор рассеяния 8 (Я(б ), Яо 7) слабо непрерывен. В действительности он будет непрерывным и в сильном смысле. [c.250]

ШРЁДИНГЕРА ОПЕРАТОРА СПЕКТР —множество собств. значений оператора Шрёдингера (ОШ) H=t+V, где Н—гамильтониан — оператор полной энергии системы (в том случае, когда П01енциал не зависит от времени), f и V—операторы кинетич . и потенц. энергий. В случае локальных сил оператор V является ф-цией координат V r). Ш. о. с. определяет все свойства квантовых систем и может быть дискретным (энергии связанных состояний— ядер, молекул, атомов и т. д.) и (или) непрерывным (энергии состояний рассеяния, к к-рым относятся и квази-стационарные—распадные, резонансные состояния). [c.469]

Квантовомеханическая теория начинается с детального и наиболее строгого из имеющихся в литературе изложения формальной теории двухчастичного потенциального рассеяния во временной и стационарной трактовках (гл. 6 и 7). Ньютон вводит меллеровские операторы, 8-матрицу, а также Т- и К-матри-цы. Для более отчетливой формулировки возникающих при этом математических проблем автор приводит два специальных математических раздела, посвященных вопросам функционального анализа. Подробно рассмотрены спектр оператора Гамильтона, представления о сильной и слабой сходимости, сходимости по норме, аналитичность резольвенты, определение и свойства вполне непрерывных (компактных) операторов. [c.6]

Допустим теперь, что мы рассматриваем такой гамильтониан, что несмотря на неэрмитов характер оператора Ша при вещественных значениях Е, превышающих порог отдельных каналов рассеяния в группе каналов , оператор S a (Ео) имеет дискретное собственное значение Eq. Тогда операторная функция ) имеет полюс в точке 0 и, согласно (16.101), в этой же точке имеется полюс и у функции (Е). Это означает, что Еа является энергией связанного состояния оператора Я. которое утоплено в непрерывном спектре. Подобное состояние невозможно обнаружить при рассеянии оно нормируемо, и, следовательно, его волновая функция асимптотически обращается в нуль. [c.459]

В общем случае спектральное семейство Е ) самосопряженного оператора А постоянно на участках вещественной оси, принадлежащих резольвентному множеству, имеет скачки в точках, являющихся собственными значениями, и непрерывно изменяется во всех остальных точках. Если (Л) постоянна на любом промежутке между двумя разрывами (как в примере с компактным оператором), то говорят, что спектр А дискретный. Если (Л) не имеет точек разрьша, то спектр называется непрерывным. В теории рассеяния мы увидим несколько примеров таких спектров. [c.31]

Основное положение теории рассеяния состоит в том, что при достаточно широких предположениях о паре Яо, Я для начального данного / из абсолютно непрерывного подпространства оператора Я функция u t) выходит на свободную асимптотику. В определении (B.3) t волновых операторов [c.13]

Как пояснялось во Введении, теория рассеяния занимается исследованием асимптотики U t)f при t —> оо (в терминах функции Uo t)fo) и проблемой унитарной эквивалентности операторов Яо и Я. В случае Tio — Ti, J = I обе эти задачи получают окончательное решение, если ВО W (H, Но) существуют и полны, т.е. их образы совпадают с абсолютно непрерывным пространством Ti оператора Я. При этом полнота W H, Но) эквивалентна существованию ВО W Ho, Н). При практической проверке обычно устанавливают существование обоих ВО W H,Ho) и Ж (Яо,Я). [c.101]

Теорема 9. В условиях теоремы 1 матрица рассеяния для пары Но Н задается при X Е а соотношением (17). Оператор 8 Х) унитарен в I), отличается от единичного оператора на компактный и 8 Х) гельдеровски непрерывно с показателем а < ао (по операторной норме в Ь ) зависит от X Е <т Л/"- [c.163]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...