Гамильтона дифференциальное уравнение в частных производных

Галилея преобразование 22 Гамильтона дифференциальное уравнение в частных производных 300 [c.363]

Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби— Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх). [c.376]

Определение действия V по формуле (7.14) предполагает знание закона движения материальной системы. Поэтому нет ничего удивительного, что в формулах (7.15) мы так просто получили то, что предположили известным с самого начала. Чтобы обойти трудности определения действия V по формуле (7.14), Гамильтон нашел то дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, для которого действие V является полным интегралом. [c.219]

Полученное уравнение носит название уравнения Гамильтона— Якоби. Оно является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет зависимость искомой производящей функции от ( 1.....qn, t. Решение уравнения (9.3) обычно обозначают через 5 и называют главной функцией Гамильтона. [c.302]

Зависимость функции W от старых координат qi определяется уравнением (9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных производных и подобно уравнению Гамильтона — Якоби (9.3). Полный интеграл его опять будет содержать п независимых постоянных, одна из которых опять будет аддитивной. Остальные постоянные 2,. .., п могут вместе с 1 быть приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений (9.21) / = О, мы можем связать п постоянных а с начальными значениями Qi и р,-. Наконец, разрешая равенства (9.22Ь) относительно qu мы можем получить их как функции at, Pi и t, чем и заканчивается решение задачи. Следует заметить, что при i ф 1 уравнения (9.22Ь) не содержат времени. Поэтому они позволяют выразить все координаты qi [c.309]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГАМИЛЬТОНА —ЯКОБИ [c.264]

Важная роль производящей функции в задаче о движении. В теории канонических преобразований нет более важной теоремы, чем та, которая утверждает, что произвольное каноническое преобразование полностью характеризуется заданием одной-единственной функции S — производящей функции этого преобразования. Подобным же образом и канонические уравнения характеризуются одной функцией —функцией Гамильтона Н. Эти две фундаментальные функции можно связать между собой определенными соотношениями. Для решения задачи о движении достаточно рассмотреть функцию Гамильтона и попытаться упростить ее с тем, чтобы канонические уравнения стали непосредственно интегрируемыми. С этой целью можно применить подходящее каноническое преобразование, причем это преобразование зависит от одной функции S. Поэтому вместо решения целой системы канонических уравнений можно свести задачу к решению одного уравнения, дифференциального уравнения в частных производных. [c.264]

Это и есть дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби, полученное теперь для произвольных реономных систем. [c.273]

Эго дает в точности условие (8.2.21), т. е. дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. Оно интерпретируется теперь как условие того, что функция Гамильтона переводится в нуль при помощи зависящего [c.273]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

Геометрическое решение уравнения в частных производных. Оптико-механическая аналогия Гамильтона. В наших предыдущих рассуждениях предполагалось, что у нас есть полное решение дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона— Якоби. Предположим теперь гораздо меньшее, а именно что мы знаем лишь некоторое частное решение заданного уравнения в частных производных [c.302]

Воспользуемся уравнением (1), чтобы показать возможность приведения дифференциальных уравнений движения к одному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Как показал Гамильтон, вариацию (1) можно разложить с помощью интегрирования по частям на две части так, что одна из них стоит вне, а другая под знаком интеграла и каждая сама по себе должна исчезать. Таким образом, выражение, стоящее под знаком интеграла, будучи приравнено нулю, дает дифференциальные уравнения задачи, а выражение вне знака интеграла дает их интегральные уравнения. [c.308]

Однако ведь и задачи классической динамики могут быть сведены к дифференциальному уравнению в частных производных, а именно к уравнению Гамильтона. При этом множество решений подобной задачи вовсе не соответствует множеству решений у. Г. Любой полный интеграл у. Г. уже полностью решает механическую проблему, каждый другой полный интеграл приводит к тем же траекториям, множество которых лишь по-иному составлено. [c.693]

Якоби указывает, что случай, когда одновременно имеют место закон живых сил и принцип наименьшего действия, очень важен <(Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением, Гамильтон называет характеристической. [c.826]

Прекрасное соотношение, найденное Гамильтоном, было несколько недоступно и туманно вследствие того, что он свою характеристическую функцию заставил зависеть еще от второго дифференциального уравнения в частных производных. Присоединение этого условия усложняет ненужным образом все открытие, так как более точное исследование показывает, что второе дифференциальное уравнение в частных производных совершенно излишне ). [c.826]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, так как этот принцип позволяет получить не только дифференциальные уравнения задачи, но также и краевые условия, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. [c.842]

Пусть гамильтониан ) Н q, р) таков, что уравнение Гамильтона — Якоби допускает разделение переменных ( 78). Поэтому мы замечаем, что в 27У-мерном пространстве переменных (q, р ) дифференциальное уравнение в частных производных [c.348]

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных. [c.217]

Гамильтонова механика Формально метод, позволяющий записывать уравнения движения динамической системы с N степенями свободы в виде 2N дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [Гамильтон (1805—1865)]. На практике под гамильтоновой механикой часто понимают теорию недиссипативных систем с потенциальными силами. [c.268]

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Таким образом, в общем случае имеем для определения функции V или функции 5 дифференциальное уравнение в частных производных. Это уравнение допускает много решений, но Гамильтон [c.359]

Если предположить, например, что уравнения движения (4) для так называемой промежуточной орбиты с характеристической функцией Ну могут быть проинтегрированы, то согласно методу Гамильтона —Якоби сначала необходимо рассмотреть дифференциальное уравнение в частных производных [c.521]

Будем интегрировать дифференциальные уравнения (1 ) при помощи дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона —Якоби [c.604]

Дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби дает, как мы видели, большую свободу выбора постоянных интегрирования. [c.614]

Дифференциальные уравнения (7) тотчас же интегрируются, и г]к становятся константами интегрирования. Таким образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона приводится к решению дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона—Якоби. Однако при этом не следует забывать, что необходимо взять не общее решение уравнения (6), а только решение с п параметрами щ,. .., 7]п, которое удовлетворяет условию 0. Это также является упрощением, так как полное решение дифференциальных уравнений Гамильтона (5) требует прежде всего 2п постоянных интегрирования. [c.30]

Следовательно, преобразование z = z((, t) будет каноническим. В соответствии с (2 21) и (8) оно переводит, с другой стороны, данную систему в ( = 0. Если t достаточно близко к т, определитель Я = хц, отличен от нуля, так как он для t = т равен 1. Поэтому преобразование Z = z ,, t) может быть получено регпением дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона—Якоби (6) вместе с уравнениями (4). [c.31]

По теории Гамильтона—Якоби, развитой в 3, полное регпение системы (17) получается в том случае, если найти зависящее от трех параметров 6, 2, Сз решение w xk, iki s) дифференциального уравнения в частных производных [c.59]

Это дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона — Якоби. Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которому должна удовлетворять производящая функция q .,. .., qs, ai, 2,. .., a.,, t) с основными перемои- [c.154]

В литературе дифференциальное уравнение (7.9.22) часто называют дифференциальным уравнением в частных производных Гамильтона — Якоби . Это название совершенно справедливо. Несмотря на фундаментальную важность функции расстояния Гамильтона, его первоначальная схема была неприемлема для целей практического интегрирования. Замечательное открытие Гамильтона дало Якоби ключ к каноническим преобразованиям, что в свою очередь расширило рамки применимости метода самого Гамильтона. С помощью функции Якоби S, на которую наложено гораздо меньше условий, можно найти и гамильтонову lF-функцию. Но было бы практически невозможно найти U -фyнкцию непосредственно путем решения двух совместных уравнений в частных производных. Связь между этими двумя теориями будет обсуждаться более подробно в следующей главе. [c.263]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Гамильтоновы методы вводят дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка и при таком рассмотрении динамика Гамильтона может быть обозначена как ЧПДУ1 (уравнения в частных производных первого порядка). Переход к квантовой теории через уравнение Шредингера заключает в себе переход к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка, что, в тех же обозначениях, как и выше, может быть записано как ЧПДУ2. [c.14]

Рассматривая пространство QTPH вместо QT, мы можем представить теорию 77 в более общем виде. В самом деле, дифференциальное уравнение в частных производных (91.2) является уравнением Гамильтона — Якоби в общей форме. Для того чтобы установить эту связь, перейдем к обозначениям q, t, р, Н), полагая, что функция энергии имеет форму [c.315]

В этой главе мы введем функцию Гамильтона — Якоби, которая является решением дифференциального уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона — Якоби. Функция Гамильтона — Якоби ведет к гамильтониану, содержащему только одну совокупность канонич еских переменных. Находятся решения уравнения Гзмильтоыа — Якоби для нескольких простых случаев, в том числе для задачи Кеплера. Во втором параграфе этой главы вводятся так называемые переменные действие — угол . Их значение видно из того, что переменные действия представлянэт собой адиабатические инварианты. Адиабатические инварианты играли существенную роль в старой квантовой теории и имеют немалое значение в теории ускорителей. Они кратко рассмотрены в последнем параграфе этой главы. [c.153]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных, которому, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Получилась обширная теория. Она дала новую удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она вскрывала более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, выявила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и кориуску- [c.208]

В работе [2] для подобной круглой трехслойной пластинки на основе вариационного принципа Гамильтона получена система дифференциальных уравнений в частных производных, описы-ваюш ая вынужденные поперечные колебания без радиационного воздействия. В нашем случае для свободных колебаний будут справедливы соответствуюгцие уравнения [c.98]

Предиоложим, что характеристическая функция Ну для промежуточной орбиты не содержит время t явно. Тогда дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона —Якоби [c.522]

Представление координат в проблеме Делоне как функций времени оказывается вообще достаточно простым при использовании дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. В качестве обобщенных координат в зависимости от обстоятельств можно использовать либо и у , либо х и Жд. В предыдущем случае необходимо рассмотреть ди ерен-циальное уравнение [c.554]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...