Конечный элемент базисная функция

Реализация ДОЭ для углового спектрального анализа. В 44 вводится понятие моданов — оптических элементов, используемых в качестве пространственных фильтров для анализа поперечно-модового состава когерентного лазерного пучка. Аналогичным образом можно рассматривать оптические элементы, служащие для разложения амплитуды светового поля по любому ортогональному базису, как спектральные анализаторы. На рис. 10.2 показана оптическая схема для спектрального анализатора светового пучка. Предположим, что пропускающая функция ДОЭ такого анализатора представляет собой линейную комбинацию конечного набора базисных функций фп,гп х у) выбранных с заданными наклонами (10.53). Если такой фильтр поместить рядом со сферической линзой и осветить световой волной с амплитудой F(i , у), то интенсивность света в точках (мте,то г . ) фокальной плоскости [c.625]

В заключение этого параграфа несколько слов о реализации варианта метода конечных элементов, в котором с самого начала в явном виде используются базисные функции (см. предыдущий параграф). Для определенности рассмотрим плоскую задачу теории упругости в виде [c.170]

Рассмотрим изопараметрические конечные элементы Лагранжа. Указанному выше условию непрерывности проще всего удовлетворить, задав F х) в виде комбинации тех же базисных функций, с помощью которых производится аппроксимация [c.199]

В этой связи весьма привлекательным представляется использование промежуточных вариационных формулировок типа (4.233), (4.244), (4.246), когда на варьируемые функции (а стало быть, и на базисные функции в методе конечных элементов) не налагается никаких ограничений. Соответствующие варианты метода конечных элементов получили название смешанных. [c.206]

Опишем кратко алгоритм решения задачи (5.1) —(5.2) с использованием метода конечных элементов. (Заметим, что этот способ был известен до изобретения метода конечных элементов под названием метода Бубнова — Галеркина метод конечных элементов дал лишь способ построения базисных функций, удобных для реализации метода на ЭВМ.) Итак, пусть xpi, фд —базис, построенный одним из описанных выше способов функции фь. ... .., Флг зависят только от пространственных координат. Будем искать приближенное решение задачи (5.1) —(5.2) в виде линейной комбинации функций pi,. .., фд. с коэффициентами, являющимися функциями времени [c.213]

Приведем теперь дискретизацию уравнения (5.284) по методу конечных элементов. Пусть Я —узлы сетки метода конечных элементов в области Qo (а) — соответствующие базисные функции. Приближенное решение задачи Ил разыскиваем в виде [c.279]

Рассмотрим пример использования векторного метода, в определенном смысле противоположный предыдущему. Если в задаче о трубке использование векторного метода является совершенно естественным (деформация может быть описана с помощью малого числа базисных функций), то исследование плоского напряженного состояния вблизи геометрического концентратора относится к числу задач, для которых использование МКЭ представляется более предпочтительным. В этом случае перемещения изменяются далеко не плавно, базисные функции должны зависеть от двух аргументов. В то же время внешние силы приложены в области, далекой от концентрации напряжений, и прямо не влияют на напряжения в зоне концентрации последние должны определяться только геометрией, связями между конечными элементами. Такая задача относится к числу наиболее неудобных для применения векторного метода. [c.246]

Как было указано во введении к части В, сплошное тело условно разбивается на конечные элементы и при построении метода конечных элементов (МКЭ) рассматривается как совокупность этих элементов. Непрерывные функции, представляющие физические величины, заменяются аппроксимирующими функциями, которые выбираются гладкими в каждом элементе, но во всем теле являются кусочно-гладкими. Приближенное решение представляется в каждом элементе с помощью интерполяционных функций с неизвестными параметрами аппроксимаций, которыми могут быть, например, значения величин в узловых точках. Интерполяционные функции, называемые также функциями формы (или базисными функциями), выбираются так, чтобы, как только определены неизвестные параметры, распределения физических величин ю всем теле определялись однозначно. Итак, нашей следующей задачей будет вычисление неизвестных параметров. [c.425]

Для того чтобы численно решить уравнения (18,52) и (18.55), в расчетах пространственных полей используется МКЭ, а для определения временных зависимостей — МКР. Для начала вся граница С условно разбивается на отрезки конечной длины — конечные элементы (рис. 18.5). В каждом элементе функции ф, т , В и D приближаются комбинацией значений этих величин в узловых точках и интерполяцией. Базисная функция линейна по S, причем S измеряется вдоль элемента. Далее, для выбора значений в контрольных точках, которыми считаются узловые точки, к уравнению (18.52) применяется метод коллокации. Таким образом, при дискретизации уравнение (18.52) заменяется системой алгебраических уравнений относительно Ф , т] и Л , причем индекс i означает, что величина относится к узловой точке i, а точка означает дифференцирование по времени. С другой стороны, при дискретизации уравнения (18.55), принимая во внимание произвольность величин получаем другую систему уравнений относительно фг, ф , T)i, т и bi ). Поскольку эти системы уравнений нелинейны относительно неизвестных величин, для численного решения используется метод возмущений. Пусть [c.437]

В конечно-элементном анализе хорда (—с/2 с с с12) разбивается на N сегментов равной длины а /N), как изображено на рис. 18.9, где Хо и x f соответствуют передней и задней кромке. Обозначая значение I (х) при х = Хо через /о, а значение I (xi) через li, примем базисные функции в каждом элементе в следующем виде [c.440]

Сначала в методе конечных элементов использовались непрерывные (С -гладкие) базисные функции и применялся метод кол-локации, в котором контрольные точки расположены в центрах тяжести элементов. Численные расчеты проводились для плоского прямоугольного крыла, помещенного в однородный поток под углом атаки а, а именно [c.444]

Рассмотрим двумерную задачу теплопроводности, определяемую уравнениями (18.1)—(18.3). При формулировке метода конечных элементов область S разбивается на треугольные элементы, как показано на рис. 18.29, а границы i и С заменяются совокупностью ломаных линий. В качестве базисных функций для 0 (х, у) выберем в каждом элементе линейные функции х к у. [c.449]

Согласно идее метода заданная оболочка разбивается на ряд фрагментов (конечных элементов), сохраняющих основные свойства целой конструкции. В пределах каждого из элементов (на границах и внутри) назначается конечное число точек (узлов), перемещения которых принимаются за неизвестные. Вводя в рассмотрение специальные базисные функции, непрерывные в области конечного элемента, удается выразить все компоненты напряжен-яо-деформированного состояния элемента через перемещения его узлов. Вся совокупность конечных элементов соединяется в узлах, расположенных на границах. [c.188]

Базисные функции (6.64) зависят от формы границ заданной оболочки и в общем случае являются трансцендентными, однако они обладают такими же основными свойствами, что и полиномы Лагранжа равны единице в узле i и нулю в остальных узлах. Трансцендентные базисные функции (6.64) отличаются от полиномов Лагранжа (6.60) характером изменения между узлами и видом производных. Эти функции используют также и для построения изопараметрических конечных элементов. В ряде случаев [247] конечные элементы с трансцендентными функциями дают лучшие результаты. Кроме (6.60), полиномы Лагранжа могут быть получены и по формуле (6.64) как частный случай при соответствующем выборе функций fj(af ). [c.190]

Оценки погрешности различных интерполяций, в том числе и конечно-элементных, достаточно хорошо изучены. Если в качестве базисных функций для конечных элементов выбраны полные полиномы степени т и область интерполяции имеет равномерную разбивку с характерным размером конечного элемента h, то можно показать, что максимальную асимптотическую (при Л->0) погрешность по энергетической норме (1.33). можно оценить как [c.13]

Введенная выше терминология известна читателям, знакомым с методом конечных элементов действительно, базисные функции, которые мы далее рассмотрим, общеприняты в обоих методах — и МКЭ, и МГЭ. Однако наше изложение материала несколько отличается от привычного, и мы надеемся, что оно окажется одновременно полезным и интересным даже для тех, кто уже усвоил основные идеи. [c.206]

Эта интерполяционная функция ф может быть использована для построения базисных функций для так называемых линейных прямоугольных элементов. Для построения большинства базисных функций более общего вида, используемых в методах конечных элементов, прибегают к выражениям более высокого порядка [1, 5, 6]. Так как в каждом узле в координатах ii мы имеем по одному узловому значению (Ф1 отвечает узлу 1 и т. д. см. рис. 8.7,6), то, очевидно, можно найти четыре функции из уравнений вида (например, для узла 1) Ф1 =/о +/1 +/2 +/з и т. д. После отыскания / = /(Ф ) соотношение (8.3]) можно переписать в виде [c.217]

Большая часть приведенных выше сведений о базисных функциях была заимствована из литературы по методу конечных элементов [1], в которой основное внимание уделяется схемам внутренней (ячейки), а не поверхностной дискретизации. Мы уже об- [c.227]

Уравнение (14.496), очевидно, имеет тот же самый вид, что и любое уравнение, полученное при дополнении системы конечных элементов новыми элементами. Следовательно, уравнения (14.49а, б) могут быть объединены путем удовлетворения обычным образом условиям совместности смещений на внутренних границах. Выполнение последних может быть обеспечено лишь в том случае, когда граничные базисные функции для смещений совпадают с изменениями смещений в примыкающих конечных элементах. При этом условие равновесия удовлетворяется в дискретном смысле, а именно сумма узловых значений сил в каждом узле равна результирующей внешних сил, приложенных к этому узлу. [c.400]

Для решения плоских задач механики разрушения, а также сквозных трещин в толстых пластинах, подвергнутых растягивающим и изгибающим нагрузкам, был использован еще один вариант описанной выше концепции суперпозиции [76—78]. В рамках этого подхода, который аналогичен глобально-локальной формулировке метода конечных элементов [79], пробные функции перемещений, используемые в гфинципе виртуальной работы, состоят из двух частей (1) из множества обычных (несингулярных) конечно-элементных базисных функций, которые, если их рассматривать в качестве глобальных функций формы, соответствующих единичному перемещению на каждом узле, будут иметь ненулевые значения только на элементах, содержащих рассматриваемый узел в качестве общего (т. е. имеют локальный носитель) (2) из аналитического решения, которое включает в себя изменения напряжения типа l/ /r и О (г), причем это решение справедливо глобально. [c.210]

При формулировке МКЭ разобъем балку на четыре конечных элемента равной длины I, как показано на рис. 18.22, и выберем в каждом элементе базисные функции в виде кубических" многочленов относительно переменной х [c.448]

На основании результатов 11.2 доказательство сходимости метода конечных элементов сводится к оценке погрешности интерполяции функций из пространства V, в котором отыскивается решение базисными функциями метода конечных элементов. В настоящем параграфе будет приведено очень краткое описание схемы получения оценок погрешности для отдельного конечного элемента. В следующих ниже формулировках используется поня- [c.186]

Для решения системы (5.199) применим метод копечных элементов в обычной форме, описанной в главах 3 — 4 более эффективным оказывается метод конечных элементов, когда решение задачи разбивается на два этапа на первом строятся собственные формы колебаний соответствующего упругого тела, на втором построенные собственные формы применяются в качестве базисных функций метода Бубнова —Галеркина. [c.261]

Для решения задачи минимизации функционала (5.249) могут быть использованы хорошо разработанные методы математического (нелинейного) программирования. Естественно, что для реализации этих методов на ЭВМ задачу необходимо дискретизировать— привести ее к конечно-мерной эту процедуру можно производить с помощью метода конечных элементов. Приведем для справки результат дискретизации функционала (5.249) и уравнения (5.244) по методу конечных элементов в варианте, описанном в главе 3. Итак, пусть а, — узлы сетки метода конечных элементов, w i (х) — соответствующие векторные базисные функции. Тогда приближенное решение по методу конечных элементов отыскиваегся в виде [c.275]

Применение устойчивых численных методов решения этих систем на ЭВМ позволяет применять в расчетных схемах весьма большое число элементов. Имеется возможность с высокой точностью аппроксимировать элементы переменной толщины набором однотипных базисных элементов постоянной или линейно-переменной толиданы, например тороидальные и эллиптические оболочки могут быть представлены набором конических и цилиндрических оболочек и кольцевых пластин. Такой подход соответствует варианту метода конечных элементов, в котором в качестве функций для перемещений конечных элементов используются вместо полиномов известные аналитические решения теории оболочек и пластин, что позволяет выбирать более крупные элементы и снижает погрешность расчета конструкции. [c.46]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного (разбивка на конечные элементы) и вариационного (использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЭ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационньк методах. В классических вариационных методах, изложенных в гл. 1.4, этот выбор сильно усложняется их зависимостью от конфигурации рассматриваемой области. В МКЭ такой зависимости нет. Влияние сеточных методов на МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается сравнительно простым. [c.54]

Из вьппеизложенного следует, что МКЭ можно трактовать как специфический вариационный метод. Специфика состоит в выборе базисных функций, которые отличны от нуля в ограниченном числе смеящых конечных элементов и, следовательно, носят локальный характер. Именно это и обеспечивает решающее преимущество МКЭ перед классическими вариационными методами. Каждый из методов гл. 1.4 можно рассматривать как частный случай МКЭ, при котором вся область рассматривается как один конечный элемент. [c.54]

Основная идея, использованная при разработке гибридных трещинных элементов, сводится к включению решений (3.1) и (3.2) в базисные функции, представляющие перемещения и/или напряжения трещинного элемента, дополнительно к (несингулярным) полиномиальным базисным функциям порядка О г). Поскольку коэффициенты /Сг, /Сп и /Сщ являются неопределенными параметрами соответствующих базисных функций элемента, то их можно определить непосредственно из конечно-элементного решения. Заметим, что коэффициенты Ки и Kui, как правило, являются функциями координаты t. Тем не менее при конечно-элементной аппроксимации в каждом элементе, связанном с фронтом трещины, величины К], /Сгг и /Сги могут быть приняты постоянными, в результате чего сингулярное решение (3.2) может оказаться самоурав-новешенным. С другой стороны, если Ки Ки и / in выбраны так, что в каждом из элементов они являются произвольными функциями /, то сингулярное решение (3.2) не будет самоурав-новешенным. [c.188]

Метод конечных элементов с использованием перемещений в качестве основных неизвестных представляет одну из наиболее удобных модификаций метода Ритца. Легко показать, что при определенном выборе базисных функций в векторном методе мож1Ю получить обычный метод конечных элементов. Как уже было отмечено, недостатком МКЭ является жесткая связь между числом представительных точек и числом базисных функций для перемещений (последнее непосредственно связано с числом КЭ). Поэтому для многих прикладных задач при использовании имеющейся вычислительной техники расчет кинетики неупругого деформирования с помощью МКЭ оказывается практически невозможным из-за чрезмерной трудоемкости (большая величина произведения m (2п + fn), характеризующего не только требуемую оперативную память, но и число операций в одном упругом решении). При этом в ряде случаев большое число т не дает существенного уточнения и потому является излишним, расчет с тремя—десятью базисными функциями был бы вполне адекватен. Таким образом, использование векторного метода дает преимущества, но по сравнению с МКЭ он проигрывает из-за необходимости подбора базисных функций, который может представлять серьезную проблему. В МКЭ задание базисных функций является наиболее ёстественным и унифицировано для любых задач. [c.222]

Таким образом, при конечно-элемеитной формулировке потребовалось применить базисные функции классов С и по переменным, отсчитываемым вдоль оси л и по размаху крыла соответственно. Вычисления проводились для плоской квадратной пластины, помещенной в однородный поток под углом атаки а. Расчет делался для пластины, разбитой на 6x6 элементов, и результаты приведены на рис. 18.18. Хотя на этом рисунке показано распределение вдоль хорд крыла, нетрудно видеть, что результаты уже не образуют резких зигзагов и по размаху крыла. [c.445]

Метод конечных элементов близок к широко известному методу Ритца. Отличие состоит в использовании кусочно-непрерывных базисных функций вместо гладких, свойственных методу Ритца. [c.188]

Сформулированные в [240] критерии сходимости приближенных конечно-элементных решений к точным накладывают ограничения на базисные функции Lpqr(aK а , а ). Последние должны обеспечивать непрерывность перемещений щ на границах контакта конечных элементов возможность точной аппроксимации постоянной деформации всего элемента равенство нулю тензорного поля деформаций при смещениях конечного элемента как жесткого тела. [c.189]

Широко известный метод конечных элементов (МКЭ) позволяет преодолеть вторую трудность за счет очень специфического способа выбора базисных функций (fi — конеч ных элементов, отличных от нуля лишь в малых подобластях области D, но приводит к необходимости брать достаточно большое число таких элементов. Фактически МКЭ уже не имеет ярко выраженной в классических методах Ритца и Бубнова-Галеркина аналити ческой природы и в некотором смысле более близок к проекционно-разностным подходам. [c.21]

Перейдем к рассмотрению перестраивающихся схем конечных элементов, которые характерны При использовании сингулярных конечных элементов (с аппроксимацией полей перемещений исходя из общих представлений полей в вершине трещины). Так, в работе [47] в качестве базисных ф)Шкций элемента были выбраны собственные функции (1.23) для стационарной трещины. Вершина трещины перемещалась в пределах сингулярного элемента между узлами Л и В, как показано на рис. 3.14, а. Когда вершина достигает узла В, то сетка элементов мгновенно перестраивается А, В — новые положения узлов А к В). Аналогичный подход применен в работе [ 89 ]. Сингулярный элемент имеет 13 узлов (рис. 3.14, в) и топологически эквивалентен двум совмещенным восьмиузловым изопараметрическим элементам. Местонахождение сингулярного элемента внезапно изменяется на расстояние, равное размеру регулярных элементов впереди вершины, когда вершина трещины распространяется на критическое расстояние внутри сингулярного элемента (приблизительно 80% его длины). [c.76]

Вообще при численном решении задач по расчету динамики трещин требуется использование всех резервов точности для уменьшения влияния неблагоприятных факторов, повышающих погрещность расчета. Сейчас уже можно сформулировать ряд требований к сингулярным конечным элементам, которые обеспечивают сходимость [28, 52]. В частности, необходимо включать в число базисных функций элемента члены нулевого порядка, соответствующие смещениям тела как жесткого целого, и члены второго порядка, соответствующие постоянным напряжениям, т. е. число используемых для аппроксимаили собственных функций должно быть таким, чтобы число неизвестных коэффициентов При этом было не меньше числа степеней свободы элемента. Кроме того, необходимо позаботиться о непрерывности перемещений при переходе границы между сингулярным и регулярным элементами. [c.77]

Х = (д, р). Таким широко используемым представлением является представление Вигцера [678]. Вангно отметить, что с учетом конечности размерности гильбертова пространства, отвечающего копечному фазовому объему Q N — Q/ 2nh), где г—число степеней свободы), операторы, представляемые функциями /о(Х), равными нулю вне Q, имеют вид квадратных NXN матриц и требуют для своего описания конечного числа базисных элементов. Это означает, что континуальный набор базисных элементов е(X), где Хей, является переполненным. Предельный переход й делает очевидной переполненность базиса е(Х) и в неограниченном фазовом объеме. Это обстоятельство означает возможность неоднозначного представления Л- -/(Х), которая устраняется после выбора соответствующего наиболее прост о правила в представлении Вигнера /(Х) = = 2я%ут тАе ) [136]. [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...