Матрица податливости материала

Матрица [Е] называется матрицей жесткости материала, а [E] — матрицей податливости материала. Аналогично выражению (4.10) можно непосредственно обобщить вышеприведенные соотношения на случай наличия начальных деформаций [c.117]

Если расположение волокон материала в типичном объеме подчиняется определенному геометрическому закону или известны характеристики его случайного поля, то вычисление средних значений компонент матрицы жесткости (или податливости) материала не представляет труда. Их усреднение по типичному объему АУ осуществляется как среднее интегральное [c.54]

Выражения для расчета упругих констант слоя с искривленными волокнами приведены в табл. 3.3. Они получены из известных формул пересчета компонент матрицы податливости при повороте главных осей упругой симметрии 13 материала вокруг оси 2 в соответствии с (3.10) и (3.11). [c.63]

В работе 10 содержится вывод выражений для упругих констант в случае плоской задачи для малых искривлений арматуры. За основной прием при решении задачи принято усреднение тензора податливости неоднородного материала по углу, характеризующему поворот площадки при движении точки по линии искривления волокон. Сложные интегралы для вычисления коэффициентов матрицы податливости представлены разложениями в ряды. Выражение для модуля упругости при удержании первого члена в ряду соответствует (3.14). При этом погрешность вследствие неучета остальных членов ряда не превышает 9 % при ф 0,5. В этом же диапазоне параметра ф расчетные значения модуля упругости [по (3.13)1 удовлетворительно согласуются со значениями, вычисленными по формуле [c.64]

Расчет эффективных упругих констант в плоскости композиционного материала ( ,, Е , 12, <3 2) с учетом компонент матрицы жесткости в случае плоского напряженного состояния несколько проще, чем в случае плоской деформации. Это связано с тем, что компоненты матрицы податливости в плоскости материала при плоском напряженном состоянии находят обращением матрицы жесткости второго порядка, а при плоской деформации после обращения матрицы жесткости необходимо еще учесть добавки к полученным компонентам матрицы [c.73]

Сдвиговые свойства композиционного материала в поперечном к плоскости укладки слоев направлении рассчитывают путем усреднения компонент матрицы податливости слоев [c.74]

Следует подчеркнуть, что вид ( заполненность ) матриц податливости и жесткости определяется не только типом упругой симметрии материала, но и выбором системы координат. Тип симметрии материала однозначно определяет число независимых коэффициентов в этих матрицах, однако для любого анизотропного тела матрицы податливости и жесткости в произвольной системе координат, никак не согласованной с упругой симметрией материала, будут в общем случае целиком заполненными. [c.13]

Надлежащий выбор системы координат позволяет существенно упростить исходные матрицы податливости и жесткости, если материал обладает симметрией упругих свойств. Рассмотрим, например, композиционный материал, состоящий из упругого связующего, регулярно армированного в одном направлении упругими волокнами (рис. 1.2). Для описания деформационных свойств такого материала можно воспользоваться моделью однородного анизотропного упругого тела. В произвольно ориентированной системе координат матрица податливости (и жесткости) будет целиком заполненной, а число подлежащих определению независимых коэффициентов не ясным. В системе координат (Xi, х , х ) плоскость (х , Xs) можно считать плоскостью упругой симметрии матрица коэффициентов податливости в этом случае будет иметь структуру (1.11). Еще более полно симметрия упругих свойств рассматриваемого материала выявляется в системе координат (х1, хг, Xj) плоскость х, Хг) тоже можно считать плоскостью упругой симметрии. Следовательно, теперь все координатные плоскости — плоскости упругой симметрии, материал является ортотропным и матрица коэффициентов податливости имеет структуру (1.12). Более того, при равномерном распределении армирующих волокон допустимо считать, что упругие свойства во всех направлениях в плоскости (x l, Хз) идентичны. Теперь становится ясным, что рассматриваемый материал является трансверсально изотропным, матрицы его коэффициентов податливости имеют вид [c.13]

Величины, зависящие только от s -г — орт, касательный к оси s Е — модуль Юнга F — площадь поперечного сечения а, Ь — матрицы податливостей с — диагональная матрица погонных массовых моментов инерции р — плотность материала f — коэффициент вязкого трения q — вектор распределенной нагрузки, приложенной к оси Q — круговая частота вынуждающих снл №, q" — векторы силы [c.19]

Используя технические упругие характеристики тканевого пластика, определенные по формулам (5.1.36) - (5.1.38), можно получить все коэффициенты его матриц податливости и жесткости с учетом вида потери сплошности материала [c.287]

Матрица податливости в соответствии с равенствами (9-И. 13) для плоского напряженного состояния и изотропного материала [c.202]

Известно, что матрица жесткости или податливости относится к главным осям материала, но ее довольно просто можно преобразовать в матрицу жесткости при любом угле к главным осям поворотом осей координат на любой требуемый угол [19]. Если преобразуется матрица податливости, то, зная новые коэффициенты податливости, можно легко рассчитать инженерные константы, модуль Юнга и т. д., соответствующие новому направлению. [c.212]

Компоненты матрицы податливости [5 /] являются функциями от технических деформативных характеристик материала [c.19]

Матрица податливости ортотропного в осях х, у, г материала при рассмотрении плоской (плоскость ху) задачи [c.31]

Матрицы жесткости В< и податливости аы ) характеризуют упругие свойства материала в целом. Упругие свойства компонентов материала (волокна и матрицы), а также напряжения и деформации в каждом компоненте отличаются от их средних значений по типичному объему (Ви), (а ), (О ), /еЛ соответственно на величины б -, [c.53]

Рассмотрим упругие свойства материала 4П в системе осей 1 2 3, связанной осью 1 с одним из направлений волокон. Положение оси 2 определяется углом ф, характеризующим поворот вокруг оси 1, от направления, перпендикулярного ей и проходящего через ближайшую вершину куба. Плоскость 2 3 перпендикулярна одному из направлений волокон, она же параллельна плоскости основания правильного тетраэдра, рассмотренного ранее. Матрица упругой податливости исследуемого материала, полученная путем классических преобразований, имеет в системе координат 123 восемь отличающихся друг от друга компонент [c.192]

Значения функции /р т) помещены в табл. I для ряда показателей т. В табл. II даны вычисленные значения коэффициентов перенапряжений для некоторых значений т ж г. Поскольку протяженность пластической области зависит от напряжения и анизотропии материала, то и коэффициенты перенапряжений в случае упругопластической матрицы зависят от податливости [c.188]

В рассматриваемом случае проблему представляет величина Sij p). Эта величина зависит от армирующего материала, материала матрицы, содержания армирующего материала в композите, распределения наполнителя, сцепления упрочняющего материала с матрицей. Она представляет собой некоторое преобразование податливости при ползучести, и при помощи упругой податливости при сдвиге J(/) и объемной упругой податливости В(0 может быть представлена в виде [c.136]

В зависимости от механических качеств материала, температуры, величины и формы поковки (отношения высоты поковки к диаметру) усилие Р р может быть меньше и больше Р . В первом случае матрицы останутся плотно сомкнутыми в течение всего времени штамповки во втором случае, начиная с того момента, когда Р р превысит Р , матрицы обнаружат податливость и будут расходиться в пределах десятых долей миллиметра на величину, зависящую от поперечной жёсткости машины. [c.586]

В (1.57) шесть коэффициентов матрицы жесткости слоя gtj в осях (х, у) записаны через четыре независимых коэффициента Число коэффициентов У не случайно равно четырем. Оно отражает то обстоятельство, что независимо от преобразований системы координат число независимых характеристик определяется лишь типом симметрии материала. При плоском напряженном состоянии трансверсально изотропный однонаправленный материал имеет четыре независимых характеристики жесткости (податливости), которые могут быть представлены в одном из взаимосвязанных вариантов [c.21]

ОТНОСЯТСЯ В ОСНОВНОМ химическая инертность армирующего компонента (обычно волокна) при умеренных температурах изготовления материала, а также большая упругая податливость матрицы. [c.15]

Прочность материала не является некоторой функцией, усредненной по всему испытуемому сечению, как, например, упругая податливость. Прочность скорее является функцией точки и может быть определена как среднее напряжение в наиболее слабой точке поперечного сечения, которое вызывает разрушение материала. Обычно прочность материала определяется напряжением, рассчитанным по первоначальному поперечному сечению (техническое напряжение), а не напряжением, рассчитанным по площади в данный момент. В случае статических растягивающих напряжений критерий разрушения прост и определяется наиболее высоким или предельным растягивающим напряжением по первоначальному сечению, которое может выдержать материал образца. Для высокомодульных композиций с металлической матрицей этим разрушением заканчивается четвертая Стадия деформации, как описано в предыдущем разделе. В результате, по мере того как нагрузка увеличивается, несущая способность снижается вследствие разрушения отдельных волокон. [c.26]

Для линейно-упругого изотропного материала матрицы коэффициентов упругости и податливости также имеют вид (2.9), но в них входят два независимых параметра (см. 1.4), что приводит к дополнительному условию [c.62]

Для линейно-упругого тела, материал которого при деформировании подчиняется закону Гука (1.11), деформации е определяются через напряжения е = С- о, где — матрица коэффициентов податливости. Тогда вариационная формулировка принципа возможных изменений напряженного состояния, соответствующая (1.65), принимает вид [c.19]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

Следует отметить, что упругие постоянные Сц и составляющие матрицы упругой податливости зц взаимосвязаны. Решая систему шести уравнений (1.5) относительно шести компонент тензора напряжений, получаем эту взаимосвязь. Как видно из сопоставления зависимостей (1.5) и (1.6) с (1.14) и (1.15), число независимых постоянных жесткости и упругой податливости одно и то же для данного материала и оно определяется лишь степенью анизотропии материала. [c.14]

Обозначение коэффициента Пуассона снабжено двумя индексами. Первый соответствует оси, по которой приложено напряжение, а второй - той оси, по которой происходит сужение. Для монотропной среды, естественно, /i2i = М31- Написав аналогичные выражения и для остальных компонент деформированного состояния, получаем матрицу податливости мо-нотропного материала в следующем виде [c.340]

В приближении, предложенном Фойг-том, эффективные значения компонент матрицы жесткости материала можно принять равными их средним значениям, т. е. Вц = (А у). В этом случае, как следует из сравнения (3.1) и (3.2), достаточно принять е = 0(о 0). Если принять = О (е . о), то из (3.1) и (3.2) следует равенство эффективных значений компонент матрицы податливости их средним значениям, т. е ац = (ц у). Последнее приближение предложено Рейссом [118]. [c.54]

Матрица податливости aij , 1, ) = = 1, 2,. .., 6, определяемая на участке dx, является обратной по отношению к матрице жесткости (В ,), компоненты которой тождественны соответствующим компонентам тензора жесткости [Втпп1] п, к, I = I, 2, 3 их вычисляют по общей методике расчета констант слоистой среды по формулам (3.33)—(3.36). Усредненные значения выражений, входящих в правые части этих формул, находят по зависимостям, аналогичным (3.43). При этом компоненты тензора жесткости каждого слоя Втпк1 в системе координат 123 рассчитывают по формулам пересчета констант материала при повороте главных осей упругой симметрии 1 3 вокруг оси 2 на угол 0. Необходимые для расчета компоненты матрицы жесткости 5 , 1,/ = 1, 2,. ... 6, в главных осях 1 23 выражают через упругие постоянные [c.91]

Выражения для усредненных на базе I компонент матрицы податливости двух совместно работающих слоев получаются при подстановке зависимостей (4.9)—(4.11) в выражение (3.10) с учетом их изменений при повороте системы координат. При наличии синусоидальной формы искривления волокон формулы для расчета усредненных компонент матрицы податливости совместно работающих слоев получаются весьма сложными. Вычисление интегралов может быть выполнено лнщь с помощью ЭВМ. Замена синусоидальной формы искривлений волокон ломаной линией, как показывает сравнительный анализ, не вносит большой погрешности в значения упругих постоянных материала, но значительно [c.93]

Сведение трехмерноармированной среды к однонаправленно-армированной. Суть третьего подхода заключается в том, что арматура материала, уложенная в двух направлениях, усредняется со связующим в макроскопически однородную анизотропную матрицу, упругие характеристики которой определяют по расчетным зависимостям для ортогонально-армированного материала. Расчет упругих констант последнего подробно изложен в работе [49]. Анизотропная матрица представляется пронизанной волокнами третьего направления. Выражен ния для расчета упругих констант трехмерноармированного композиционного материала, полученные на основе подхода работы [49], приведены в табл. 5.2. Верхние индексы в скобках при упругих постоянных обозначают направление укладки арматуры, нижние — компоненты матрицы податливости. [c.125]

В настоящей главе мы в общих чертах наметим теорию больших деформаций материалов, состоящих из жестких волокон и матрицы из более податливого материала, таких, например, как резина, армированная нейлоновыми нитями, или пластичный алюминий, армированный жесткими металлическими волокнами. Нашей целью не является определение механических свойств композита по известным свойствам его компонентов, мы также не будем заниматься другими важными проблемами, в которых необходимо отличать частицы материала матрицы от частиц волокон вместо этого мы постараемся найти механическое поведение композиционного материала в целом, рассматривая его как сплошную среду, свойства которой определяются из макроопыта. [c.288]

На рис. 7.2 показаны расчетные зависимости, иостроенные по формулам (7.8) с использованием характеристик компонентов из табл. 7.1. На этом же рисунке точками отмечены экспериментальные результаты, полученные в [39] для боро-пластика на эпоксидном связующем. Точность расчетных оценок Ег и Glt оставляет, конечно, желать лучшего. Учет стеснения деформации более податливого материала матрицы в направлении армирования при действии поперечной нагрузки позволяет приблизить расчетную оценку Ej к экспериментальной. Для этого в.место модуля упругости матрицы Ет в уравнение для расчета Ет следует подставить значение Ет, соответствующее стесненным деформациям (можно получить, положив две из трех компонент деформации в трел- [c.257]

Металлокомпозитам свойственно существенно неупругое поведение, обусловленное, в основном, неупру-гими деформациями обычно более податливого материала матрицы. Влияние металлических матриц на жесткость композита в целом весьма велико, оно во много раз превышает влияние полимерного свя.эуюшего на жесткость армированных пластиков. Как следствие, проявляемые металло-композитами нсупругие эффекты могут самым существенным образом [c.122]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

В работе [33] были также изготовлены композиты со стеклянными шариками, сначала обработанными соединяющим составом, а затем покрытыми на толщину 0,1 мкм податливой эпоксиднсй смолой с модулем упругости, равным) одной восьмой модуля упругости матрицы. Эти композиты имели несколько более высокую прочность на 10%), чем композиты с матрицей из эпоксидной смолы. В этой работе также отмечено, что податливое покрытие увеличивало вязкость материала, измеренную по кривым напряжение — деформация. Неизвестно, увеличивают ли эти податливые покрытия молекулярную ориентацию около стеклянных шариков и, таким образом, увеличивают ли они энергию разрушения этих серий, как показано в предыдущих разделах. [c.51]

Как и в большинстве теорий прочности композитов, в анализе, использующем критерий тина Хплла, в качестве основной технологической единицы слоистого материала принимается однонаправленный слой. Модули композита, его матрицы жесткости и податливости вычисляются по четырем независимым упругим константам материала слоя при помощи обычных процедур преобразования и интегрирования (см. разд. 4.3). Деформации композита, вызванные любой приложенной нагрузкой, определяются при помощи его упругих свойств. Затем рассчитываются деформации е,/ и напряжения ац каждого слоя, и при помощи критерия прочности Хилла оценивается напряженное состояние каждого слоя [c.152]

Анизотропия самого общего вида у реальных материалов, когда матрица коэффициентов податливости ISl содержит 21 независимый коэффициент, — явление редкое. Обычно структура материала такова, что его упругие свойства в некоторых направлениях идентичны. В этих случаях число независимых коэффидиентов в матрице коэффициентов податливости (и, следовательно, в матрице коэффициентов жесткости) уменьшается, и при надлежащем выборе системы координат упрощается запись закона Гука. [c.9]

Такими материалами в первую очередь явля[ются современные композиционные материалы, или композиты, как все чаще называют эти материалы в научной литературе. Создание самых разнообразных композитов опирается на уникальную по простоте идею армирования, когда, например, податливый пластичный материал матрицы пронизывается жесткими высокопрочными волокнами. Именно эта идея армирования, заимствованная пока в крайне упрощенном виде у природы, в последние годы стимулировала интенсивное развитие новых представлений о деформировании и разрушении материалов, а главное, поставила проблему конструирования самих материалов. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...