Преобразование пространства проективное

Закончим обзор следующим замечанием, которое в ряде случаев может сильно облегчить практическое решение конкретных задач. Уравнения (3.10) и (3.14) инвариантны относительно проективного преобразования пространства (И. Н. Векуа, 1959). Поэтому легко можно получить формулы преобразования полей смещений и усилий при переходе от данной оболочки к другой, срединные поверхности которых проективно эквивалентны. Используя эти проективные свойства, можно, решив задачу для данной оболочки, построить решения соответствующих задач для проективно эквивалентных оболочек. В силу этого, например, многие-задачи для оболочек эллипсоидальной формы можно свести к задачам. для сферической оболочки. [c.290]

ГЕОМЕТРИЯ ПРОЕКТИВНАЯ. Геометрическая наука, изучающая свойства фигур, не изменяющиеся при проективных преобразованиях, Проективная геометрия рассматривает не метрические свойства геометрических образов, а свойства их взаимного расположения. Базируется она на законах центрального проектирования на наклонную плоскость. Пространство проективной геометрии отличается от эвклидова некоторыми дополнительными свойствами. В последнее время методы проективной геометрии нашли свое отражение в элементарной геометрии, начертательной геометрии и др. [c.25]

Причина график преобразования Лежандра проективно двойствен графику исходной, функции (при естественном пополнении аффинных пространств до проективных). Поэтому особенности графика преобразования Лежандра гладкой функции лежандровы (откуда и происходит термин). [c.99]

Проективные свойства главного символа Кристофеля поверхности S. Докажем еще одно важное свойство главного символа Кристофеля Ё— го инвариантность относительно проективных преобразований пространства. [c.173]

Проективные преобразования пространства характеризуются формулой вида [c.173]

Кроме того, из второго равенства (3.21Ь) следует, что главный символ Кристофеля В остается без изменения при проективных преобразованиях поверхности. Иными словами, главный символ Кристофеля поверхности представляет инвариант относительно проективных преобразований пространства. Как мы видели выше, для сферической поверхности 5=0. Следовательно, для всякой поверхности < , проективно эквивалентной сфере, главный комплексный символ Кристофеля обращается в нуль. [c.174]

Абсолютная окружность остаётся в покое при всех подобных преобразованиях пространства. Всякое проективное преобразование, оставляющее в покое абсолютную окружность, есть подобие. [c.117]

Проективная геометрия указывает, что такое взаимное положение плоскостей существует, что любые два треугольника, лежащие в разных плоскостях, можно расположить в пространстве так, что точки одного треугольника будут параллельными и даже ортогональными проекциями соответствующих точек другого треугольника, для чего может потребоваться предварительное преобразование одного из этих треугольников методом подобия (подобием увеличения или уменьшения) . Другими словами, два любых треугольника можно привести в перспективно-аффинное, родственное соответствие. Это положение устанавливает, что плоскость, в которой лежит горизонтальная проекция искомого треугольника, и плоскость, в которой лежит треугольник, подобный любому наперед заданному треугольнику, должны иметь одно, единственно возможное, вполне определенное взаимное положение, т. е. эта задача имеет однозначное, вполне определенное решение Теперь надо найти и научно обосновать метод решения этой задачи. В данной главе излагается метод, пользуясь которым, можно решить не только данную задачу, но и любую другую, аналогичную данной, в которой фигурируют любые многоугольники и фигуры с криволинейным очертанием. Решения задач, объединенных в I главе, являются основанием построений, излагаемых в последующих главах. [c.5]

Проективная геометрия изучает инвариантные свойства и преобразование проективного пространства. Возникновение проективной геометрии как науки относят к 1822 году, когда вышел труд известного математика, француза по происхождению, Жана Виктора Понселе (1788 - 1867), написанный им в городе Саратове Трактат о проективных свойствах фигур, труд полезный для лиц, занимающихся приложениями начертательной геометрии . [c.27]

Преобразование (95) может быть истолковано как ортогональное аффинное преобразование координат в четырехмерном пространстве (так называемом проективном пространстве), определяемое оператором или тензором (см. гл. 8) с соответствующей матрицей 4-го порядка (см. гл. 4). [c.47]

Соотношение (2.15), как и (2.6), описывает преобразование волновых аберраций третьего порядка при распространении сферической волны, но в отличие от (2.6) дает связь между аберрациями в оптически сопряженных плоскостях. В п. 2.1 при выводе формулы (2.6) предполагалось, что волна распространяется в. свободном пространстве, тогда как выражение (2.15) справедливо только при наличии оптического элемента между рассматриваемыми плоскостями, который и обеспечивает их оптическое сопряжение. Если в соотношении (2.6) при переходе в другую плоскость зрачковые координаты заменяются линейными комбинациями новых зрачковых координат и координат центра кривизны сферической волны, в результате чего происходит перераспределение аберраций по типам, то в (2.15) все сводится к изменению масштаба координат зрачка и предмета, а перераспределений аберраций по типам не происходит. Конечно, именно к такому результату для сопряженных плоскостей должно было привести проективное преобразование, которому подчиняется замена переменных в аберрациях третьего порядка. [c.56]

Проективные преобразования неевклидовых пространств, переводящие в себя их абсолюты, являются движениями этих пространств. Они сохраняют расстояния между точками и углы между прямыми проективные преобразования евклидова пространства, переводящие в себя его абсолют,— это. преобразования подобия, они сохраняют углы между прямыми, расстояния же между точками при этом умножаются на один и тот же множитель. [c.344]

Основную роль в проективной геометрии играют преобразования объемных фигур в однородных координатах. При проецировании всегда предполагается, что плоскость проекций совпадает с плоскостью ХУ, т. е. начало координат системы ХУ находится в плоскости проекций. Это допущение облегчает процедуру проецирования. Координаты точек трехмерного объекта на плоскости проекций можно определить умножением исходной матрицы А размером (Мх4), описывающей положение объекта в трехмерном пространстве, на матрицу преобразования вида [c.239]

Преобразование Лежандра — вспомогательный математический прием, состоящий в переходе от функций на линейном пространстве к функциям на сопряженном пространстве. Преобразование Лежандра сродни проективной двойственности и тангенциальным координатам в алгебраической геометрии яли построению сопряженного банахова пространства в анализе. Оно часто встречается в физике (например, при определении термодинамических величин). [c.59]

Контактная структура пространства расслоения задает на слоях локальную структуру проективного пространства. Лежандровы эквивалентности сохраняют эту структуру, т. е. задают локально проективные преобразования слоев. [c.333]

Примеры. 1. Преобразование Лежандра гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной. [c.452]

Общие формулы. Пусть (х, у, г) — координаты точки Р в пространстве предмета и х, у, г ) — координаты точки Р в пространстве изображения в одной и той же произвольно выбранной декартовой системе коо >динат. Проективное преобразование этих двух областей друг в друга осуществляется с помощью следующих соотношений [c.152]

Выберем в проективном пространстве, отнесенном к проективной координатной системе (ж ), произвольную точку М(ж ) и приведем с помош ью линейного преобразования метрическую форму пространства в точке М к каноническому виду [c.66]

Легко проследить действие групп на все определённые выше геом, объекты. На многообразие прямых (СЛ/ переносится действие группы SL(4. (П) проективных преобразований пространства 7 =С/ . Очевидно, что они являются автоморфизмами конформной структуры, определённой на (ГМ. Подгруппа SU2) проективных преобразований, сохраняюн.щх квадрику Го, индуцирует группу конформных преобразований пространства Минковского. Подгруппа в 5(/(2 2), сохраняющая прямую Iпорождает Пуанкаре группу движений пространства Минковского М. Если рассмотреть в. 9642 2) подгруппу, сохраняющую не только прямую, но и ещё одну прямую /о, не пересекающую и лежащую на Г(, (напр., Z(,= —z , Г[= -2з), ТО на М получим классич. представление Лоренца группы. [c.53]

Поэтому без ущерба для общности можно считать, что Поверхности S ш S, декартовы координаты точек которых связаны соотношениями вида (3.20а), будем называть проекпъивно эквивалентными. Например, легко доказывается, что все алгебраические поверхности 2-го порядка положительной гауссовой кривизны проективно эквивалентны сфере. Теперь переходим к выводу формул преобразования некоторых геометрических характеристик поверхности при проективных преобразованиях пространства. Пусть S — выпуклая поверхность. Тогда ее радиус-вектор г относительно сопряженно-изометрических координат х и у удовлетворяет уравнению (3.9f). Если радиус-вектор г представить с помощью декартовых координат X , X в виде [c.173]

Теперь нетрудно получить формулу преобразования тензора Дарбу при проективном преобразовании пространства. Если S и S — проективно эквивалентные поверхности, то соответствующие главные ковшлексные символы Кристофеля В л В равны. Тогда согласно формулам (3.19 g) и (3.25с, d) можем написать [c.177]

Аффинная и проективная система координат. За аффинную (или проективную) систему координат можно принять любой геометрический образ 3), обладающий следующим свойством аффинное (или проекгивное) преобразование пространства, оставляющее образ Ф в покое, необходимо является тождественным преобразованием (т. е. оставляет в покое каждую точку пространства). Образ, не обладающий этим свойством, не годился в качестве системы отнесения в аффинной (или проек пвной) геометрии если существуют аффинные (илт проективные) преобразования, оставляющие в покое , но перемещающие точку М, то все по/ ожения, проходимые при эт( м точьой М, неразличимы относительно [c.114]

Преобразование, определяемое уравнениями (3.5), может быть истолковано как ортогональное ас инное преобразование координат в четырехмерном пространстве, называемом проективным пространством. [c.40]

Однородная система координат является математическим аппаратом, помогающим описывать проективные преобразования. Точка X, Y, Z) в трехмерном пространстве представляется вектором из четырех чисел [ab d. Компоненты этого вектора интерпретируются как координаты в четырехмерном пространстве. Для перехода от координат (X, Y, Z) точки в обычном трехмерном пространстве к однородным координатам достаточно взять некоторое отличное от нуля число W и сформировать вектор [c.281]

Построенные евклидова и эрмитова структуры (2), (3) в касательных пространствах к СР" инвариантны не относительно всех проективных преобразований многообразия СР", но лишь относительно тех, которые задаются унитарными (сохраняющими эрмитову структуру) линейными преобразованиями линейного пространства С"+1. [c.311]

Поскольку большинство оптических систем состоит из поверхностей вращения с общей осью (такие системы обычно на.чываются центрированными), особую роль в оптике играет" случай аксиальной симметрии. Тогда из симметрии системы следует, что изображение любой точки Я,, лежит в плоскости, проходящей через эту точку и ось симметрии поэтому при ияучении свойств соответствующч.х проективных преобразований можно ограничиться рассмотрением точек, лел<аи1их в такой меридиональной плоскости. Пусть эта плоскость совпадает с плоскостью уг, а ось г направлена вдоль оси симметрии. Тогда точка (О, у, г) в пространстве предмета преобразуется в точку (О, г/, г ) в пространстве изображения, где [c.153]

Произвольная центрированная система. Было показано, что в приближении параксиальной оптики преломление и отражение лучей на повер.хно-сти вращения описывается проективными соотношениями между величинами, относящимися к пространствам предмета и изображения ). Поскольку, согласно 4.3, последовательное применение нескольких проективных преобразований эквивалентно одному проективному преобра.чованию, в этом приближении отображение центрированной системой тоже оказывается таким преобразованием. Используя формулы, приведенные в пп. 4.4.1, 4.4.2 и 4.4.4, можно [c.163]

По соображениям, которые сделаются ясными из последующего излон епия, я пришел к следующему обобщению этого понятия. Я буду называть пространство аффинной связности, заданное коэффициентами Несуществующего и нем параллельного перенесения, к -кратно проективным, если его геодезические линии выражаются в соответствующей координатной системе системой уравнений, среди которых имеется к линейных. Такое /с-кратно проективное пространство п измерений мы будем обозначать Р . Это обобщение представляется тем более целесообразным, что свойство, которым определяется /с-кратно проективное пространство, остается инвариантным относительно линейного преобразования координат (относительно коллинеа-ции). В соответствии с этим мы будем называть координатную систему, в которой осуществляется указанное выше свойство пространства Р , проективной. Обыкновенное [c.23]

Функциональный определитель этого преобразования отличен в силу (22) от нуля. Таким образом, мы получаем в субпроективном пространстве снова проективные координаты, причем полюс остается в начальной точке. [c.146]

Эта система координат характеризуется тем, что все двумерные плоскости Е , в которых расположены геодезические пространства А , проходят через начало координат. Разумеется, такая проективная система координат определена пеодиозпачио. Во-первых, из геометрических соображений ясно, что соотношение (1) не нарушается при любом аффиниом преобразовании [c.165]

Итак, проективная система координат субпроектитого пространства в которой выполнено (1), определена с точностью до преобразования (Ъ), где А — постоянные с Bet А фО, а функция а> х) такова, что в — не является однородной функцией [c.166]

Если плоскости 2, содержащие геодезические субпроективного пространства проходят пе через начало координат, а через какую-то точку то существенных изменений в форму, лах (1) не произойдет величины г заменятся величинами г — х. Болре существенно изменятся коэффициенты связности, если перейти в ту координатную систему, в которой все 2 параллельны некоторому направлению. Этого можно добиться, например, за счет проективного преобразования координат [c.167]

Косортогональные дополнения к радиус-векторам образуют ОЬ -инвариантное поле гиперплоскостей в пространстве ненулевых бинарных форм. Это поле определяет поле гиперплоскостей в проективном пространстве 0-мерных подмногообразий фиксированной степени на проективной прямой. Это поле гиперплоскостей и есть контактная структура. Эта контактная структура естественна (инвариантна под действием группы проективных преобразований прямой на пространстве 0-мерных подмногообразий фиксированной степени). [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...