Контактная структура (пространства

В координатах 1-струя определяется значением независимой переменной, которую мы обозначим через z, зависимой (обозначим ее у) и производной dy/dz (обозначаемой р). Контактная структура пространства 1-струй в координатах записывается в виде dy—pdz, проекция на 0-струи — забывание р (ЯуУ, р) (Z, у). [c.180]

Контактная структура пространства расслоения задает на слоях локальную структуру проективного пространства. Лежандровы эквивалентности сохраняют эту структуру, т. е. задают локально проективные преобразования слоев. [c.333]

Контактная структура пространства 1-струй функций определена следующим условием для всякой функции многообразие её 1-струй во всех точках многообразия М касается (контактной) гиперплоскости. [c.61]

Эта естественная контактная структура пространства 1-струй функций в локальных координатах (г,р,д) задаётся как поле нулей контактной 1-формы 2 — pdq (здесь г обозначает значение функции, д [c.61]

Контактные структуры пространств характеристик совпадают со стандартными контактными структурами на пространствах ЗТ М и J дM, R), определёнными в 3.1. [c.212]

Используя естественные симплектическую и контактную структуры пространств многочленов, мы можем представить нормальные формы Н и теоремы 2 в несколько изменённом виде. [c.263]

Точки вырождения контактной структуры, задаваемой полем плоскостей общего положения в трехмерном пространстве, образуют поверхность. Эта поверхность вырождения контактной структуры для системы общего положения трансверсально пересекается с медленной поверхностью по кривой. Более того, она может в отдельных точках трансверсально пересекать гладкую кривую нерегулярных точек проектирования медленной поверхности (кривую складок). Для системы общего положения точки пересечения будут именно точками складки, а не сборки. [c.176]

ЗИЯ, или с 2п — 1-мерным многообразием уровня энергии материальной точки, движущейся по риманову многообразию по инерции. Контактные структуры в этих 2п — 1-мерных многообразиях тесно связаны с симплектической структурой в 2п-мерном фазовом пространстве точки (т. е. в кокасательном расслоении исходного риманова п-мерного многообразия). [c.315]

Пример 2. Множество всех касательных плоскостей к графику функции / = ф (ж) в и -Ь 1-мерном евклидовом пространстве с координатами (аг ,. . Хп, /) является лежандровым подмногообразием в 2п -Ь 1-мерном пространстве всех невертикальных гиперплоскостей в пространстве графика (контактная структура задается 1-формой [c.332]

Рассмотрим еще второе 2п 1-мерное контактное пространство с координатами (Р, X, Р) и контактной структурой, заданной формой [c.332]

Рассмотрим пространство К2"+1 с контактной структурой, заданной формой а = X йу + йг, где х = (х ,. . ., х ), у = у ,. . . [c.333]

Эквивалентностью лежандровых расслоений называется диффеоморфизм пространств расслоений, переводящий контактную структуру и слои первого расслоения в контактную структуру и слои второго. Можно доказать, что всякое лежандрово расслоение эквивалентно только что описанному специальному в окрестности каждой точки пространства расслоения. [c.333]

Теорема 2. Предположим, что ростки ограничений на подмногообразие двух контактных структур объемлющего пространства совпадают. Тогда существует локальный диффеоморфизм объемлющего пространства, неподвижный на подмногообразии, отправляющий первую структуру во вторую. [c.62]

Спроектируем гиперплоскость, определяющую контактную структуру, из точки пространства лежандрова расслоения вдоль слоя на базу. Её образ есть контактный элемент к базе в точке, являющейся образом исходной точки. [c.63]

Таким образом мы сконструировали отображение из пространства лежандрова расслоения в пространство контактных элементов к базе. Это отображение является (локальным) диффеоморфизмом, так как невырожденность контактной структуры влечёт тот факт, что проекция гиперплоскости, задающей контактную структуру, вращается с ненулевой скоростью, когда точка пространства расслоения движется с ненулевой скоростью вдоль слоя. [c.63]

Это отображение переводит исходные контактную структуру и лежандрово расслоение в контактную структуру и естественное лежандрово расслоение пространства контактных элементов базы, что и доказывает теорему. [c.63]

Теорема. Естественный изоморфизм (1) отправляет естественную контактную структуру первого пространства в естественную контактную структуру второго пространства. [c.65]

Для явного описания этой контактной структуры используем координаты (р, д) на аффинной части нашего проективного пространства размерности (1 = 2а — 1, состоящей иэ 0-мерных подмногообразий, не содержащих бесконечно удалённую точку х = оо. Такие подмногообразия могут быть заданы уравнением /(х) = О, где [c.244]

Теорема 3. Естественная контактная структура проективного пространства 0-подмногообразий определена 1-формой [c.244]

Сдвиги многочленов вдоль оси х действуют на пространстве многочленов (+) и сохраняют контактную структуру. [c.244]

Естественная ( г-инвариантная) контактная структура на этом пространстве определена уравнением [c.249]

Рассмотрим лежандровы проекции лежандровых поверхностей с полукубическими рёбрами возврата. Само ребро является гладкой интегральной кривой распределения контактных плоскостей. Типичная интегральная кривая контактной структуры нигде не вертикальна. Следовательно, её проекция является гладкой кривой, которая локально может быть преобразована в прямую диффеоморфизмом базового 3-пространства. Объемлющее контактное многообразие и его лежандрово проектирование могут быть отождествлены с расслоением контактных элементов базы. Элементы, соответствующие ребру возврата, могут быть сделаны параллельными при помощи нового диффеоморфизма, сохраняющего описанную выше прямую. [c.257]

Поверхность Р х,у,р) = О, задаваемая типичным неявным уравнением в контактном пространстве 1-струй функций от одной переменной (снабжённом естественной контактной структурой у = р х) не особа. [c.290]

В теории релаксационных колебаний наша задача встречается в момент перестройки типичных семейств систем с одной быстрой и двумя медленными переменными, зависящих от одного параметра. Контактная структура в трёхмерном фазовом пространстве есть поле плоскостей, порождённых (вертикальным) направлением быстрого движения и (произвольным) направлением малого возмущающего поля. Быстрая релаксация отправляет фазовую точку вдоль вертикальной прямой на медленную поверхность, на которой отсутствует движение с быстрой скоростью. Медленная эволюция по этой поверхности протекает вдоль характеристик медленной поверхности нашего контактного пространства. [c.290]

Приведение осуществляется выбором подходящих гладких координат (х,у) в пространстве-времени и диффеоморфизмом FT R + , сохраняющим контактную структуру, световую гиперповерхность и уже имеющуюся в нашем распоряжении нормальную форму лежандрова подмногообразия L . [c.314]

На основании полученных данных о распределении составляющих скоростей и давлений по радиусу и высоте контактно-сепарационного элемента можно сделать следующие выводы профили относительных компонентов составляющих скоростей и давлений автомодельны осевая и тангенциальная составляющие скорости уменьшаются с приближением к оси элемента, причем осевая скорость в центральной зоне элемента может стать отрицательной тангенциальная составляющая скорости резко изменяется у стенки элемента, что свидетельствует о наличии трения между потоками в пристенном пространстве в зависимости от конструкции завихрителя изменяется структура потока, формируемая завихрителем из исследованных конструкций лучшие показатели по формированию потока имеет элемент диаметром 100 мм, снабженный комбинированным завихрителем, исключающим деформацию составляющих полей скоростей и давлений. [c.286]

Заметим прежде всего, что множеств всех контактных форм на контактном многообразии имеет естественную структуру гладкого многообразия четной размерности -Ь 1- А именно, мы можем рассматривать множество всех контактных форм как пространство расслоения над исходным контактным многообразием. Проекция на базу — это отображение, сопоставляющее контактной форме точку контакта. [c.322]

Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной. Рассмотрим точку, где наше поле плоскостей невырождено (задает контактную структуру) . Слои нашего расслоения касаются плоскостей поля. Значит, расслоение ле-жандрово (состоит из интегральных многообразий максимальной размерности). Все лежандровы расслоения в контактном пространстве фиксированной размерности локально контактно-морфны (переводятся друг в друга вместе с контактной структурой диффеоморфизмом в окрестности каждой точки пространства расслоения). Следовательно, наше трехмерное пространство быстрых и медленных переменных с введенной контактной структурой расслоенным (над плоскостью медленных переменных) локальным диффеоморфизмом переводится в трехмерное пространство 1-струй функций одного переменного, расслоенного над пространством 0-струй, с его естественной контактной структурой. [c.179]

Источником симплектических структур в механике являются фазовые пространства (т. е. кокасательные расслоения к конфигурационным многообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфихурацион-ных пространств. [c.314]

Следствие. Пространство-симплектизация контактного многообрази.ч имеет симплектическую структуру, которая канонически (т. е. однозначно, без вс.якого произвола) определена контактной структурой исходного нечетномерного многообразия. [c.323]

Пример. Рассмотрим 2и — 1-мерное многообразие контактных элементов и-мерного гладкого многообразия с его обычной контактной структурой. Каждому контактному элементу можно приписать положительнуто сторону , выбрав одну из половин, на которые этот элемент делит касательное пространство к и-мерному многообразию. [c.325]

Пример. Рассмотрим R +i с координатами х ,. . ., Хп, Рх,. . ., Рп, м и с контактной структурой, заданной 1-формой а = du — р dx. Функция Ф (х, р, и) задает дифференциальное уравнение Ф (х, ди/дх, и) = О и подмногообразие Е = Ф 1 (0) в пространстве R2 +i (называемом пространством i- mpyu функций в R"). [c.336]

Г. Контактная геометрия систем лучей и волновых фронтов. Напомню, что контактной структурой на нечетномерном гладком многообразии называется невырожденное поле гиперплоскостей в касательных пространствах. В чем именно состоит условие невырожденности, несущественно, так как вблизи точки общего положения все поля гиперплоскостей общего положения на многообразии фиксированной нечетной размерности диффеоморфны (контактная теорема Дарбу, Добавление 4). [c.450]

Пример 3. Контактный элемент на У — это гиперплоскость в касательном к V пространстве. Все контактные элементы на V образуют расслоение над У, со слоем — проективным пространством контактных элементов, приложенных в одной точке контакта. Расслоение контактных элементов над V есть проективизация кокасательного расслоения V. Таким образом, пространство проективизации кокасательного расслоения РТ У имеет естественную контактную структуру (рис. 33). [c.61]

Теорема 1. Росток подмногообразия контактного пространства определён, с точностью до контактоморфизма, пфаффовой структурой, индуцированной на подмногообразии из контактной структуры объемлющего пространства. [c.62]

Косортогональные дополнения к радиус-векторам образуют ОЬ -инвариантное поле гиперплоскостей в пространстве ненулевых бинарных форм. Это поле определяет поле гиперплоскостей в проективном пространстве 0-мерных подмногообразий фиксированной степени на проективной прямой. Это поле гиперплоскостей и есть контактная структура. Эта контактная структура естественна (инвариантна под действием группы проективных преобразований прямой на пространстве 0-мерных подмногообразий фиксированной степени). [c.244]

Для изучения лежандровых проектирований и фронтов, соответствующих приведённым выше лагранжевым отображениям, контакти-зируем симплектическое пространство, лагранжево расслоение и лагранжево подмногообразие. Выберем кокасательное расслоение ( ) 9 в качестве локальной нормальной формы лагранжева расслоения. Контактизированным пространством является тогда пространство (р, 9 г) 1-струй функций, снабжённое контактной структурой dz = pdq. Лежандровым многообразием, соответствующим данному лагранжеву, является многообразие 1-струй (многозначной) производящей функции [c.266]

Строго говоря, однородные среды соответствуют нетипичным контактным стр5тст5фам, а типичные неоднородные среды соответствуют типичным контактным структурам на пространствах, содержащих ту же самую квадратичную коническую особенность световой гиперповерхности. [c.273]

Для инженерного расчета контактных аппаратов, как правило, применяют методы расчета тепло- и массобмена, представленные первым направлением. Оно характеризуется многообразием методов расчета контактных аппаратов, в известной мере отражающим сложность гидродинамической и теплофизической обстановки Б их реактивных пространствах и, в особенности, различие способов образования межфазовой поверхности, ее структуры, а также ее неоднородность и полидисперсность. [c.41]

Дело в том, что многообразие контактных элементов связано простой конструкцией с пространством кокасательного расслоения (проективизацией которого является многообразие контактных элементов). Причем невырожденность поля контактных плоскостей проективизированного расслоения тесно связана с невырожденностью 2-формы, задающей сиьшлектическую структуру кокасательного расслоения. [c.321]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

Для точки Л (О, 1) пространства параметров X, я (см.рис. 167) картина разбиения фазового цилиндра на траектории представлена на рис. 168,/ (см. пример 1 3 гл. 14). Предельных циклов нет (это вытекает из расположения контактной кривой рассматриваемой системы и консервативной системы я = Я, = 0) (см. гл. 6, 5). Есть только две особые точки седло 0 и сложная особая точка Огз4 (п/2, 0). На куске АВ кривой будет осуществляться структура разбиения, представленная на рис. 168,//. При переходе от точки А к точкам куска АВ осуществляются две бифуркации [c.315]

Структура разбиения на полупрямой и = я(Я-—1) + 1>1. При возрастании Л и л от значений Л = л = 1 вдоль полупрямой кусок изоклины на интервале О < ф < я/2 поворачивается вокруг точки ((я — 1)/2, Я ), и отрезок покоя распадается с возникновением трех особых точек Оз(фз, рз)— устойчивый фокус или узел, 0. ((я — 1)/2, я ) — седло с направлениями для сепаратрис, определяемыми уравнением я А + 2я ( 1-Ь л) А -Ь 4 = О, и 02(я/2, 0)— сшитый узел (неустойчивый). Контактная кривая с кривыми вырожденной системы (и = Я, = 1) при изменении параметров вдоль прямой будет р = я и, следовательно, всегда проходит через седло. Векторное поле в области р > 1 поворачивается при возрастании л по часовой стрелке, и поэтому со-сепа-ратриса, идущая в седло по направлению к < —2я не может пересекать интегральную кривую р = я е" вырожденной системы, касающуюся отрезка покоя как раз в той точке, в которой при и > 1 возникает седло, и входящую в седло по направлению к = —2я . Сепаратриса пересекает ось ф = О в точке р > > я е"" > 2 и входит в область выше максимума изоклины горизонтальных наклонов. Предельных циклов, охватывающих цилиндр, нет при любых значениях Я и л на рассматриваемой полупрямой. Структура разбиения фазового пространства для всех точек этой полупрямой будет одинакова и эквивалентна изображенной на рис. 169, S ( 4 гл. 16). [c.435]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...