Метод касательных Ньютона

Значения T и w, помимо уравнения пересчета, должны удовлетворять уравнению, описывающему зависимость точки замерзания от количества незамерзшей воды в единице объема грунта. Систему двух нелинейных уравнений можно решить методом касательных Ньютона-Рафсона. [c.162]

Чтобы продемонстрировать квадратичную сходимость, воспользуемся методом касательных Ньютона. Первый шаг этого метода представлен уравнением (2.6.2). Ошибка е первого шага [c.163]

Исаак Ньютон (1642—1727) по праву считается основателем классической механики. Он Создал стройную систему механики, четко сформулировал ее аксиомы, ввел понятие массы и решил целый ряд проблем механики. Замечательно, что большинство открытий Ньютон сделал в течение двух лет, когда он был еще совсем юным. Об этих годах своей жизни Ньютон пишет, что в начале 1665 г. он открыл свой бином, в мае — метод касательных, в ноябре — прямой метод флюксий (дифференциальное исчисление), в январе 1666 г. — теорию цветов, в мае приступил к обратному методу флюксий (интегральное исчисление), в августе открыл закон всемирного тяготения. [c.11]

Метод касательных клиньев (конусов) менее удобен, чем формула Ньютона, так как в общем случае зависимость давления на клине от его угла представляется в неявной форме, а на конусе она определяется лишь численными методами. [c.120]

В свою очередь изменение давления, вызванное отклонением внешнего потока под воздействием тела увеличенной вследствие нарастания пограничного слоя толщины, можно вычислить с помощью уточненной формулы Ньютона (46) пли по методу касательных клиньев пли конусов. [c.129]

Остается подобрать такой вид функции Ф (д ), чтобы процесс итераций сходился. Для этой цели существуют стандартные приемы. Один из них носит название метода Ньютона или метода касательных. Он пригоден для отыскания простых корней, т. е. для того случая, когда F х) в районе корня отлично от нуля. [c.77]

При Xi равном значению корня эта дробь равна нулю, и в силу непрерывности существует такая окрестность корня, в которой I/ I < 1 и, следовательно, метод итерации будет сходиться. Таким образом, излагаемый метод обязательно приведет к успеху., если нулевое приближение взять достаточно близко к корню. Метод Ньютона, как правило, порождает монотонную последовательность приближений. Действительно, если F" в районе корня знака не меняет, то / по разные стороны от корня имеет разные знаки. Если Хд взять в той части отрезка, где / > О, то и все последующие приближения будут находиться в той же части отрезка. Если же Хо взять там, где / < О, то Xi окажется с другой стороны от корня, т. е. там, где / > О и все последующие члены последовательности будут расположены в той же части отрезка. Итак, все члены последовательности в этом случае будут принадлежать области, где FF" > 0. Этот метод имеет название метод касательных , так как в нем за (k + 1)-е приближение принимается точка пересечения оси х с касательной к графику функции F (х), построенной в точке с абсциссой Xk (рис. 2.4). [c.77]

Так как в соотношение (2.21) разница между приближениями входит в квадрате, метод Ньютона называется методом второго порядка. Следует отметить, что оценка (2.21) практически никогда не используется, так как вычислить F и F" и исследовать на экстремум их модули — задача для сколько-нибудь сложной функции F по своей трудоемкости неадекватная той цели, ради которой ее следует решать. Вообще, метод Ньютона — это достаточно громоздкий в реализации метод, так как он требует вычисления двух функций F к F. Его можно рекомендовать для решения сравнительно простых уравнений, когда F может быть вычислена относительно просто. На практике, когда вычисление F сложно, прибегают к ее приближенному вычислению, т. е. берется Ф л MF (см. (2.20)). При этом получается сходящийся итерационный процесс первого порядка, близкий по своему геометрическому истолкованию к методу касательных. Примером может служить решение уравнения теплового баланса поверхности ЛА. Для стационарного состояния справедливо следующее уравнение [c.78]

Одним из наиболее эффективных приемов решения такого рода нелинейных уравнений является итерационный метод Ньютона (метод касательных). Суть этого метода применительно к решению нелинейных уравнений вида [c.206]

Метод Ньютона, или метод касательных, строится на основе следующей итерационной формулы [c.42]

Уточнение точки встречи для поверхности высшего порядка. Для таких поверхностей уравнение (3.23) в обш,ем случае неразрешимо аналитически, поэтому при его решении необходимо применять какой-либо численный метод. Как известно, все численные методы являются итерационными процессам уточнения корня, начиная с какого-либо начального приближения. Рассмотрим, например, один из наиболее употребительных методов—метод Ньютона—Рафсона, или метод касательной. [c.87]

Другой общий прием, позволяющий построить сходящийся итерационный процесс, носит название метода хорд. Он также, по-существу, близок к методу Ньютона и получается из него путем замены касательной хордой [c.79]

Хд с недостатком получаем при помощи метода Ньютона, т. е. проводя касательную в точке А [где опять /(х) [c.126]

Иллюстрация рассмотренного итерационного процесса для одномерного случая приведена на рис. 3.11, а. Если на каждом шаге приближения не проводить корректировку матрицы IG ] (значит оставлять прежней матрицу жесткости конструкции), а лишь уточнять невязки )с т. то итерационный процесс будет соответствовать модифицированному методу Ньютона (рис. 3.11, б). На практике для решения нелинейных задач деформирования многослойных конструкций из композиционных материалов часто применяют пошаговое нагружение. В пределах шага по нагрузке уточнение выполняют модифицированным методом Ньютона. Матрица касательных модулей корректируется при изменении нагрузки. [c.108]

Касательный модуль Gn используется для метода Ньютона и всех шаговых методов. Для метода переменных параметров G является секущим модулем и на основе (3.13) формула для принимает вид [c.111]

В работе [39] методом Ньютона получено решение стационарной задачи для условий чистого скольжения, когда на неподвижной поверхности имеется одиночная впадина в виде полуволны. Численными результатами продемонстрировано значительное влияние глубины впадины и ее расположения на распределения р(х), Н(х) и поле касательного октаэдрического напряжения в подповерхностном слое. Показано, что из-за неровности на поверхности максимальное значение возрастает и сдвигается ближе к поверхности. Влияние синусоидальной волнистости поверхности в той же постановке исследовалось в работе [40]. В работе [94] при решении стационарной задачи многосеточным методом учитывался измеренный профиль шероховатости. Результаты решения показали, что имеет место заметная деформация микрогеометрии с уменьшением скорости скольжения возрастают амплитуды осцилляций давления и уменьшаются вариации толщины пленки в то время как для шероховатой поверхности меньше, чем для гладкой, средняя толщина пленки практически не изменяется. В работе [78] стационарная задача решалась для условий, когда при критическом значении амплитуды волнистости внутри зоны контакта в ряде точек (в первую очередь в окрестностях зон входа и выхода) давление падает до нуля и возникает кавитация. В итоге расчетная область [c.509]

Метод последовательных приближений, разработанный Ньютоном, очень широко используется при построении итерационных алгоритмов. Его популярность обусловлена тем, что в отличие от двух предыдущих методов для определения интервала, в котором заключен корень, не требуется находить значения функции с противоположными знаками. Вместо интерполяции по двум значениям функции в методе Ньютона осуществляется экстраполяция с помощью касательной к кривой в данной точке. На рис. 2.6 показана блок-схема алгоритма этого метода, в основе которого лежит разложение функции (х) в ряд Тейлора [c.22]

Метод Ньютона. Вместо точки пересечения кривой с осью Л берут точку пересечения с осью. г касательной к кривой в близлежащей точке. Если посредством подбора или построения находят, что. 1 — приближенное значение корня уравнения [ (л) = О, то определяют Х2 как более лучшее приближение, чем, Г1, посредством вычисления поправки [c.51]

Метод Ньютона нахождения корней уравнения / х) = О с заданной точностью состоит в замене кривой у = / х) касательной к ней в точке с абсциссой Жо, которая считается аппроксимацией корня х подлежащего определению. Если х — Хо < е, то отклонение кривой от касательной есть величина порядка приближенное значение корня х определяется линеаризованным уравнением [c.245]

В решении (4.42) W определяется в ходе итерациоппой процедуры по методу касательных Ньютона-Рафсона по формуле [c.96]

Метод касательных Ньютона для отыскания корней алгебраических уравнений при начальной погрепшости е дает после п приближений ошибку порядка е ". Такая сверхсходимость позволяет парализовать влияние малых знаменателей, появляющихся в каждом приближении, и в результате удается не только провести бесконечное число приближений, но и доказать сходимость всей процедуры. [c.373]

Математическим аналогом метода касательных модулей является метод Ньютона—Рафсона—Канторовича. Для опномер-ного случая итерационный процесс (3.22) допускает гепметриче скую интерпретацию (рис. 3.4). На п+1 итерации I (1= 2,. .., L) уравнение метода конечных элементов будет иметь вил [c.77]

Такой приближенный метод, по своей идее опирающийся на метод Ньютона, был предложен в свое время (1947 г.) С. В. Валландером и получил наименование метода касательных конусов (в плоском слзшае — касательных клиньев). [c.348]

В результате, для решения исходной задачи необходимо найти решение нелинейного алгебраического уравнения /1(02) = 0. С целью решения данного уравнения можно использовать различные численные методы метод деления отрезка нонолам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и др. Как показала практика, для дайной задачи иредночтительнее использовать итерационные методы, поскольку с их помощью задача решается быстрее всего. Одип из пих — метод Ньютона, отличающийся своей простотой и достаточно быстрой сходимостью прп удачном выборе начального приближения. Метод Ньютона в ирименении к решению уравнения /1(02) = О иреднолагает на /с + 1-ом шаге решение относительно С2 следующего линейного уравнения [c.311]

Итерационый процесс, описываемый соотношением (3.8), известен под названием метода Ньютона. Графическую интерпретацию метода Ньютона иллюстрирует рис. 3.3. Здесь очередное приближение к корню X определяется точкой пересечения с осью Ох касательной к кривой f(x), проходящей через точку с координатами x -i, /(x i). [c.58]

Будем считать, что в физических соотношениях (3.89), связывающих приращення напряжений и деформаций, матрица касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми, поэтому при использовании соотношений (3.89) не будем делать различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. На рис. 3.7 условно показан процесс вычиааений. Здесь р vi и обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется постоянной. [c.100]

Более эффективный в смысле сходимости итерационный процесс метод Ньютона Рафсона (1.5.12) использовался в работах [475—478,408, 394, 506, 390, 414, 515, 269, 439, 431, 406, 480]. Однако этот метод требует корректировки касательнш матрицы жесткости на каждом шаге итерационного процесса, что сопрово ается значительными затратами машинного времени. Это устраняется при применении для итераций модификации метода Ньютона (1.5.13), так как при зтом для итераций используется касательная матрица жесткости, построенная на предыдущем шаге по параметру. Такой подход к организации итерационного процесса на каждом шаге по параметру применялся в работах [420,318,517, 515 476,518,1,397, 535,191,134,303, 536]. [c.192]

Метод переменных параметре упругости, когда для итераций используются параметры упругости (в том же смысле, что и касательные модули упругости), достигнутые на предыдущем шаге по пч>аметру, по смыслу близок к модифицированноьу методу Ньютона и применялся совместно с ним в неявной схеме интегрирования по параметру для решения однсюре-менно физически и геометрически нелинейнкк задач [534, 340, 302,175, 463, 197, 6]. Неявная схема продолжения с использованием для итераций метода Ньютона — Рафсона реализована в статье [423] для уточнения решения после нескольких шагов по параметру по явной схеме типа метода Эйлера. Итерация по Ньютону - Рафсону на каждом шаге интегрирования проводилась в работах [515,1,324]. [c.194]

Недостатком итерационной процедуры стандартного метода Ньютона — Рафсона является то, что на всех итерациях при решении системы уравнений (6.9) надо формировать матрицу t+At (i-i) проводить ее факторизгщию. В модифицированном методе Ньютона — Рафсона [49, 62, 122] касательная матрица жесткости не пересчитывается на каждой итерации. Вместо этого в уравнениях вида (6.9) на каждой итерации используется одна и та же матрица К (т обозначает некоторый момент времени на предыдущих шагах, например т = t или г = 0). Недостатками итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона являются ее более медленная сходимость и более частая расходимость по сравнению с процедурой стандартного метода Ньютона — Рафсона. [c.188]

Как отмечено выше, стандартный метод Ньютона — Рафсона является мощным инструментом решения нелинейных задач, однако он трудоемок в применении, поскольку требует вычисления и триангуляризации касательной матрицы жесткости на каждой итерации. Модифицированный метод Ньютона — Рафсона существенно снижает число операций на одной итерации, однако при этом ухудшаются характеристики сходимости. Семейство квазиньютоновых методов [62] по характеристикам сходимости и числу операций на одной итерации занимает промежуточное положение между стандартным и модифицированным методами Ньютона — Рафсона. В квазиньютоновых методах на каждой итерации строится приближение к обращенной касательной матрице жесткости без вычисления ее в явном виде. [c.189]

Эффективным методом решения уравнения F x) = О для случая функции F x) с вещественными значениями, зависящей от вещественной переменной ж, является метод Ньютона (касательных). Этот метод был обобщен академиком Л.В. Канторовичем 33] на уравнения в банаховых пространствах (функциональные уравнения). [c.236]

Для современников основным произведением Гюйгенса была книга Маятниковые часы (1673 г.) Это классическое произведение по богатству и ценности содержания имеет мало себе равных. Прежде всего, оно, в соответствии со своим названием, содержит (в первой части) описание великого изобретения Гюйгенса — маятниковых часов. Разрабатывая теорию математического маятника, Гюйгенс показал неизохронность колебаний кругового маятнйка и для него разработал метод расчета периода колебаний, равносильный приближенному вычислению соответствующего эллиптического интеграла. Гюйгенс строго доказал точную изохронность колебаний (любой амплитуды) циклоидального маятника, дал формулу для вычисления периода этих колебаний, а также и для периода малых колебаний кругового маятника, разработал и осуществил конструкцию циклоидального маятника. В связи с этим Гюйгенс создал новый раздел дифференциальной геометрии — учение об эволютах и эвольвентах. Он изобрел часы с коническим маятником. Попутно Гюйгенс открыл явление параметрического резонанса (наблюдая установление консонанса двух маятников, прикрепленных на одной балке) и правильно объяснил его. Кроме того, в Маятниковых часах изложены многочисленные математические результаты, как, например, спрямление многих кривых, определение площадей некоторых кривых поверхностей, метод построения касательных к рулеттам и т. д. Не располагая алгоритмом анализа бесконечно малых, Гюйгенс, проявляя исключительную изобретательность, систематически применяет инфинитезимадьные методы в геометрическом оформлении — этим аппаратом он овладел в совершенстве, и в этом среди его современников никто, кроме Ньютона, не мог с ним соперничать. Но мы еще не сказали о том, что в четвертой части Маятниковых часов , под названием О центре качания , решена поставленная Мерсенном проблема определения периода колебаний физического маятника. Это — первая глава динамики твердого тела. В этой созданной Гюйгенсом главе одинаково значительны результат и метод. В ней налицо то сочетание эксперимента и теории, технической направленности и обобщающего физического мышления, которое характерно для рассматриваемого периода. Проявить это сочетание в своем творчестве дано было только деятелям экстра-класса — Галилею, Гюйгенсу, Ньютону. [c.110]

Вопрос о величине силы притяжения Пьютон решает очень оригинальным чисто математическим методом. Движение планеты ассоциируется с круговым движением шарика под действием центростремительной силы (притяжения). В соответствии со вторым законом величина этой силы должна быть пропорциональна изменению количества движения. Если рассматривать движение по окружности как предельное движение по вписанной в окружность ломаной линии, то движение по ломаной можно рассматривать как последовательность прямолинейных движений с изменением направления скорости в угловых точках. Проведя через угловую точку ломаной касательную к окружности, можно считать, что шарик, двигавшийся по звену ломаной, в угловой точке ударяется о касательную и продолжает движение в другом направлении (по следуюш,ему звену ломаной). Из законов абсолютно упругого удара и геометрических соображений, после предельного перехода от ломаной к окружности Ньютон получает выражение для центробежной (выталкивающей шарик-планету в наружную сто- [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...