Интегрируемые системы

Таким образом, чтобы получить достаточные условия интегрируемости системы связей, следует рассматривать дифференциальные связи, линейные по скоростям [c.311]

Доказательство. Интегрируемость системы связей означает существование интегральной поверхности проходящей через [c.315]

Если Я не зависит явно от времени Т то в уравнениях Уиттекера координата дп+1 будет циклической, из-за чего порядок интегрируемой системы можно понизить на две единицы. Интеграл энергии приобретает смысл циклического интеграла [c.667]

Эта система имеет п — к независимых решений i/i+i, Уп- Система (11) называется полной, если она имеет п — к независимых решений. Для каждой голономной (интегрируемой) системы (10) система (И) всегда полная. [c.293]

Это условия совместности деформаций или условия интегрируемости системы (5.19) в декартовых осях при малых перемещениях. [c.107]

Это условие совместности деформаций, полученное в результате исключения т е , Еу, е у функций перемещений и (х, у), v (х, у) и представляющее собой условие интегрируемости системы уравнений (19.2), если на них смотреть как на систему дифференциальных уравнений для определения функций и, v при заданных е. ., и у. Таким образом, из выражения (19.2) можно найти и, v только в том случае, если е ., е , г у удовлетворяют условиям совместности (19.4). [c.441]

Тогда для полной интегрируемости системы (1.12) на основании теоремы Фробениуса необходимо и достаточно, чтобы обращались в нуль все разности вида [c.47]

ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ — УГОЛ. Пусть L, — неособая связная компактная компонента совместного уровня интегралов вполне интегрируемой системы. Тогда по теореме о фазовых торах она и (все близкие) диффеоморфна п-мерному тору. [c.266]

Геометрическую нелинейность интегрируемой системы дифференциальных уравнений характеризуют малые величины высших порядков [c.352]

После сделанных замечаний вернемся к интегрированию уравнений (294)—(298). Прежде всего из уравнений (297) и (298) исключим температуру Т. В интегрируемой системе Т встречается еш,е в уравнении (Мб), определяющем величину в уравнении [c.172]

В. к. играют большую роль в теории турбулентности плазмы, являясь в ряде случаев осн. механизмом не редачи энергии от волн к частицам плазмы. В. к. могут иметь место и в интегрируемых системах (см. Обратной задачи рассеяния метод). [c.314]

Уравнения неразрывности являются условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнений. В частности, для оболочек в традиционной постановке этой системой является [c.25]

Условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнений (4.2) относительно перемещений являются уравнения совместности Сен-Венана, обращающие в нуль симметричный тензор несовместности Т] [c.235]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Если удается найти / независимых интегралов движения, то система называется интегрируемой. Тривиальным примером интегрируемой системы является система невзаимодействующих частиц с Ф( г ) = О в гамильтониане (1.1.2). Для интегрируемых систем решение уравнений движения можно найти в явном виде, так что динамическое состояние известно для сколь угодно больших интервалов времени. В общем случае уравнения движения могут быть решены приближенно, например, численными методами. [c.13]

Системы Гамильтона длительно и настойчиво изучались как в аналитическом, так и качественном планах. Среди них есть и очень простые (полностью интегрируемые) системы, и очень сложные. [c.21]

ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ ОБ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ 301 [c.301]

Теорема Лиувилля об интегрируемых системах [c.301]

Ниже мы изложим некоторые приближенные методы интегрирования таких уравнений. Они основаны на так называемом локальном подходе, когда рассматриваемая система является в некотором смысле близкой к некоторой, точно интегрируемой. К точно интегрируемым системам относятся линейные системы, а также системы, описываемые в излагаемой ниже теореме Лиувилля. [c.301]

Условие интегрируемости системы (1.4) Продифференцируем соотношения (1.4) по, в результате получим [c.95]

Математически уравнения совместности деформаций получаются как условия интегрируемости системы дифференциальных [c.83]

Функция 0 — первый интеграл невозмущенной системы. Пусть тор / = нерезонансный. Тогда , р) не зависит от р, так как любая траектория заполняет нерезонансный тор всюду плотно [4] и функция З й постоянна на решениях невозмущенной задачи. Для завершения доказательства остается использовать непрерывность функции и всюду плотность множества нерезонансных торов невырожденной интегрируемой системы [4]. [c.16]

Теорема о поведении циклических переменных в интегрируемых системах [c.211]

В частности, в переменных /, р mod 2тг функция Гамильтона вполне интегрируемой системы с инвариантными торами принимает вид Я = Н 1). При этом / = -dH/dip = О, р = дН/д1 = = о (/). Следовательно, I t) = /о, ш 1) = о (/о). Переменные /, нумерующие инвариантные торы в I) х Т", называются переменными действия, а равномерно меняющиеся координаты ip — угловыми переменными вместе они называются переменными действие — угол. [c.86]

Леви-Чивита нашел критерий интегрируемости системы с функцией Г амильтона Я(р, д) методом разделения переменных в данных симплектических координатах. Функция Я должна удовлетворять следующей системе уравнений [c.99]

Алгебраически интегрируемые системы [c.110]

Алгебраически интегрируемые системы ше системы (9.1) с помощью эллиптических функций Якоби [c.111]

Интегрируемость системы на эллипсоиде в поле U = Iбыла доказана Якоби [34]. [c.77]

Получили теорему Фробеииуса необходимым и достаточным условием интегрируемости системы (7) являются равенства [c.292]

Уравнения неразрывности деформаций можно рассматривать как условия интегрируемости системы дифференциальных уравнений при разыскивании перемещенийпо заданным деформациям —системы (6.38). [c.162]

ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ квантовой теории поля и стапистичсской ф и з и к и (вполне интегрируемые системы), матем. модели физ. систем, допускающие точное вычисление собсзв. функций и собств. значений гамильтониана таких систем, а также статистич. суммы для них как правило, это системы низкой пространственной размерности (одно- или двумерные см., напр., Двумерные модели квантовой теории поля). Т. р. м, имеют принципиальное значение в физике фазовых переходов. [c.150]

Интегрируемыми системами будем называть системы, интегрируемые в чр1дратурах [c.147]

К ИИ. 2.1—2.2 гл. II. Вывод уравнений сплошности Сен-Венана как условий интегрируемости системы дифференциальных уравнвиий, опре- [c.911]

На основании (П1.88) подстановка (1.2.70) в (1.2.88) приводит к тождеству. Это означает, что при решении задач МСС в перемещениях нет необходимости проверять выполнение условия (1.2.88), когда тензор деформаций определяется по формуле О.Коши (1.2.70). При решении же этих задач в малых деформациях на тензор Те должны бьпъ наложены ограничения в виде соотношения (1.2.88), которое назьшается условием Б.Сен-Венана или в данном случае условием совместности деформаций. С математической точки зрения выполнение соотношения между компонентами тензора деформаций в (1.2.88) является необходимым и достаточным условием интегрируемости системы уравнений О.Коши (1.2.70) относительно компонент вектора перемещения (п. П1.6), которые вычисляются по обобщенной формуле Е.Чезаро (П1.108) с заменой в ней а на и ао на uo Тс на Т о и Ть на Те [c.42]

Важно отметить также, предваряя решение задачи, что при постановке задачи о выборе оптимального управления Ло(ж, ) нигде не предполагается выполнение условия измеряемости переменных состояния x t), x t) в любой момент времени (как, впрочем, и переменных у, у, Z, z). Иначе говоря, требуется обеспечение полной интегрируемости системы и определение на этой основе состояния объекта в любой момент времени t, t G [to, ti]. [c.199]

В общем случае приведенные четыре интеграла не инволютивны, поэтому простое их указание (даже всех четырех) не является доказательством интегрируемости системы. Гамильтониан Н и момент инерции I находятся в инволюции, третьим же интегралом в инволюции является - - Q . Таким образом, задача 3-х вихрей действительно является интегрируемой. Современное изложение данного вопроса можно найти в книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике . [c.72]

Дополнительные вопросы тензорного анализа 93 Символы Кристоффеля не являющиеся тензорами (93). Условие эвклидовости пространства (94). Условие интегрируемости системы (1.4) (95). Свойства симметрии тензора Ри-мана - Кристоффеля (96). Тензоры Риччи и Эпштейна (96). [c.6]

Такая форма уравнений существует согласно теореме Лиувил-ля-Арнольда об интегрируемых системах [4]. Введем, следуя С. В. Ковалевской, новые переменные si, S2, которые выражаются через переменные Эйлера-Пуассона по формулам [c.200]

Полную интегрируемость системы с потенциалом а/ z для всех п установил Калоджеро. Затем Мозер [222] нашел интегрируемые случаи, когда f — а/ sin z и f = а/ sh z. Применяя технику Мозера, Калоджеро обобщил эти результаты, доказав интегрируемость системы взаимодействующих частиц с потенциалом в виде р-функции Вейерштрасса [185]. Потенциалы a/z , а/s z и а/ sh . 2 являются, как известно, вырожденными случаями р-функции. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...