Алгебраически интегрируемые системы

Алгебраически интегрируемые системы [c.110]

Алгебраически интегрируемые системы ше системы (9.1) с помощью эллиптических функций Якоби [c.111]

Это утверждение полезно сравнить с результатом работы [177], где рассмотрен случай, когда Д состоит из тг + 1 векторов Аь. .., а +1, причем любые тг из них линейно независимы. В [177] показано, что критерием алгебраической интегрируемости системы (4.2) является именно выполнение условия (4.7). Следствие 1 утверждает, что в этом случае критерием интегрируемости по Биркгофу также является (4.7). Зга ситуация аналогична имеющей место в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой уравнения движения алгебраически интегрируемы в том и только том случае, когда они имеют полный набор независимых полиномиальных интегралов. [c.388]

При к = О общее решение исходной системы дифференциальных уравнений не может быть мероморфным. В частности, в этом случае гамильтонова система (9.11) не является алгебраически вполне интегрируемой. На этом простом замечании основан метод Ковалевской распознавания алгебраически интегрируемых систем дифференциальных уравнений, впервые примененный ею к уравнениям вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой [73]. Оказалось, что в этой задаче к О лишь в интегрируемых случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Метод Ковалевской с успехом используется для отыскания новых интегрируемых задач классической механики и математической физики. [c.119]

До работы [177] было мало что известно об интегрируемости системы (4.2) в общем случае. В [177] рассмотрена система, спектр которой состоит из п+ 1 векторов а1,...,Оп+1, любые п из которых линейно независимы. Доказано, что при этих предположениях критерием алгебраической интегрируемости уравнений [c.387]

Отметим, что далеко не каждая вполне интегрируемая система вида (4.2) будет алгебраически интегрируемой в смысле определе- [c.387]

Стоит также подчеркнуть, что, согласно результатам 4 гл. УП, гамильтонова система с графом л) алгебраически интегрируема лишь при соблюдении условий г з = u,5 = О или v = Vt = 0. [c.394]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

В данном случае реализуется физическая дискретизация вместо реальной континуальной системы рассматривается ее упругий эквивалент, составленный из отдельных элементов, что позволяет свести задачу теории упругости к решению системы алгебраических уравнений взамен решения системы трудно интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных. [c.60]

Факторизацией по орбитам действия группы симметрий можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений. Примерами служат переход к барицентрической системе отсчета и знаменитый.результат Якоби об исключении узлов в задаче многих тел. Развивая эти идеи. Софу с Ли доказал интегрируемость в квадратурах системы п дифференциальных уравнений, допускающих (п— 1)-мерную разрешимую группу симметрий. Алгебраический аналог теории Ли — знаменитая теория Галуа групп подстановок корней многочленов. [c.14]

Система (9.16) имеет вид (9.11). Функции Fi и F2 являются функциями Казимира. Как установлено в работе [177], гамильтонова система (9.16) алгебраически вполне интегрируема. В частности, импульсы Ук и экспоненты Vk — мероморфные функции комплексного времени. [c.117]

Если гамильтонова система (9.11) алгебраически вполне интегрируема, то почти все ее решения будут мероморфными функциями времени. Точнее, уравнения (9.11) допускают решения вида [c.117]

Интегрируемость гамильтоновых систем [16, 144, 165-167]. В XIX веке система уравнений считалась интегрируемой, если решение можно было получить с помощью алгебраических операций и квадратур — вычислений интегралов известных функций. Одновременно велись поиски условий интегрируемости систем [142]. Этот подход развивается и сейчас в классических и квантовых теориях поля [86, 168, 169]. [c.256]

Мы изложим здесь несколько основных подходов к интегрируемости гамильтоновых и общих дифференциальных уравнений, связанных с отысканием решений системы в квадратурах. Решить систему в квадратурах — это представить ее решение с помощью конечного числа алгебраических операций (включая обращение функций) и квадратур — вычисления интегралов от известных функций. Различные аспекты интегрируемости освещены в обзорах [74, 136, 8] (см. также [97]). [c.73]

Второй случай Сретенского, обобщающий интеграл Гесса, может быть проинтегрирован по общей схеме, разобранной нами далее в 3 гл. 3. Отметим также результат Л. Гаврилова [216], утверждающий, что общие случаи интегрируемости, приведенные в таблице (2.2), исчерпывают все возможности существования у системы (7.1) дополнительного алгебраического интеграла движения. [c.158]

Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.17), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует процессу редукции в алгебраической форме. Для реального понижения порядка необходимо, так же как и в случае плоскости, ввести некоторую систему координат (не обязательно канонических) на симплектических листах, которые и являются фазовым пространством приведенной системы. В дальнейшем ( 3) мы проделаем эту процедуру для частного случая при N = Ъ, при введении канонических (симплектических) координат, которые выражаются в очень частном случае через эллиптические функции. При К = 4 нам удалось построить соответствующие симплектические координаты только для случая плоскости, для случая сферы можно указать лишь общие соображения, позволяющие разобрать общий алгоритм, хотя и не являются каноническими, но также могут быть использованы для аналитических и численных исследований. [c.43]

Следовательно, (5.4) является (единственной) функцией Казимира скобки. Тем самым мы получили (редуцированную) систему (5.3) со скобкой Пуассона (5.5) ранга четыре, т.е. мы выполнили редукцию в алгебраической форме [2] и свели систему к двум степеням свободы. Для ее интегрируемости необходимо наличие еще одного дополнительного первого интеграла независимого с Н, который, по-видимому, в общем случае не существует. В последующих работах предполагается выполнить численный анализ системы (5.3) с целью выяснения основных качественных свойств движения цилиндров. [c.335]

Лемма 5.2. Система алгебраических уравнений (5.16) для определения матрицы оператора проекции рг распадается на т независимо интегрируемых подсистем порядков [c.168]

При этом будем считать, что выполняются следующие условия система (1.19) не подвергается алгебраическим преобразованиям и является вполне интегрируемой при любом значении параметра е. [c.258]

Замечание 6. Исследование алгебраической интегрируемости системы (2.3), (2.8) содержится в работе [226], при помощи метода Ковалевской данная система исследована М. Адлером и П. ван Мёрбеке [187, 186, 185], где также обсуждается интегрируемость. В работе [185] найден новый интегрируемый случай. Условия мероморфности решения на комплексной плоскости времени получены в работах [37,38]. Они заключаются в том, что в равенстве (2.16) к должно быть целым нечетным числом. Необходимые условия алгебраической интегрируемости получены также в работе [206], при этом к должно быть рациональным. [c.190]

В случае, когда матрицы В и С не являются диагональными, вопрос об алгебраической интегрируемости системы Кирхгофа рассматривался Рожером Лиувиллем в [21]. В этой работе он указывает условия существования дополнительного первого интеграла в случае, когда ЬiJ 0, 1 однако самого интеграла не выписывает, ссылаясь на его слиш-ком сложный вид. Проведенные авторами численные эксперименты указывают на хаотическое поведение системы при условиях Р. Лиувилля и тем самым на ошибочность его результатов. [c.32]

Теперь мы готовы дать, следуя М. Адлеру и П. ван Мербеке [178], общее определение алгебраически интегрируемой гамильтоновой системы. [c.115]

К этому же виду приводится гамильтониан задачи о движении по окружности п одинаковых точек, попарно связанных упругими пружинами. С помощью метода Ковалевской в [177] доказано, что при п = 3 и 71 = 4 для почти всех начальных условий переменные у и ехр(гж,) не будут мероморфными функциями комплексного времени. В частности, система Гросс — Невё алгебраически неинтегрируема. Подчеркнем, что алгебраически неинтегрируемые системы могут быть вполне интегрируемыми (см. 9 гл. П). [c.202]

Выражение общего решения для большинства интегрируемых задач динамики твердого тела в однозначных эллиптических (в комплексном смысле) функциях времени обусловлено тем, что общий уровень первых интегралов, представляющий пересечение достаточно простых алгебраических поверхностей, типа квадрик, допускает продолжение в комплексную область до абелевых многообразий (абелевых торов), допускающих параметризацию с помощью тэта-функций. Она изучается в проективной и алгебраической геометрии, а сами системы называются алгебраически интегрируемыми. При этом общее решение может получиться однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее конечнолистном накрытии (см. случай Горячева - Чаплыгина, 5 гл. 2). [c.82]

Комментарии, 1. В случае, когда в гамильтониане (1.2) матрицы В и С не являются диагональными, вопрос об алгебраической интегрируемости изучался Рожером Лиувиллем [245] (которого не следует путать с Жозефом Лиувиллем — крупнейшим математиком XIX века). В этой работе Р. Лиувилль указывает условия существования дополнительного интеграла в случае, когда bij ф О при % ф j. Однако в явном виде этот интеграл не выписан. Численный эксперимент, проведенный авторами, показал хаотическое поведение системы при общих условиях Лиувилля, что указывает на неточности выводов [c.170]

В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраический интеграл. Этот результат, естественно, поставил общую задачу о связи между существованием алгебраических интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41]. [c.126]

Простейшим примером алгебраически вполне интегрируемой гамильтоновой системы является задача Эйлера, рассмотренная в п. 1. Более сложные примеры дают интегрируемые случаи Ковалевской, Клебша, Ляпунова—Стеклова из динамики твердого тела. [c.116]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

Как уже говорилось, теорема 9 дает точную конкретную реализацию нашего алгебраического подхода к классической (статистической) механике. Следуя Купману [241], можно получить менее точную, но конкретную реализацию в гильбертовом пространстве, которая тем не менее оказывается пригодной для анализа свойств классической системы, находящейся в данном состоянии ф ). Пусть (Г, i) — гильбертово пространство всех функций Г С с интегрируемым квадратом по мере i, соответствующей по теореме 9 данному состоянию ф. Для каждого элемента Л е 21 определим ограниченный самосопряженный оператор [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...