ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегрируемые системы из "Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 " В классической механике известно много примеров интегрируемых задач во всех этих примерах интегралы (П26.2) были найдены. [c.208] Уравнения Fi = fi = onst, г = 1,. .., n, определяют инвариантные многообразия системы (П26.1). Можно заметить, что во всех примерах инвариантными многообразиями служат торы и что движение на этих торах квазипериодично (см. пример 1.2, гл. 1). Докажем теперь, что такая ситуация неизбежна для всех систем, допускающих однозначные интегралы (П26.2). Доказательство основано на очень простых топологических соображениях. [c.208] Произведение [grad F, grad G] = (F, G) называется скобкой Пуассона функций F и G. Ясно, что функция F есть первый интеграл системы (П26.5) в том и только том случае, если ее скобка Пуассона с функцией Гамильтона тождественно равна нулю. Если две функции имеют скобку Пуассона, равную нулю, то говорят, что они находятся в инволюции. [c.210] Лемма П26.10. Форма pdq на М 1) замкнута. [c.211] В действительности достаточно доказать, что интеграл от pdq вдоль бесконечно малого параллелограмма, касательного к М(/), равен нулю. [c.211] Таким образом, формула (Н26.8) в действительности определяет многозначную функцию 5, а уравнения (Н26.9) определяют, по крайней мере локально, каноническое преобразование р, q. [c.211] Чтобы убедиться в этом, заметим, что при любом I дифференциал от 5(/, (р) есть глобальная 1-форма на М 1). Следовательно, то же справедливо и относительно (1(р определяемого формулой (П26.9). [c.212] Вернуться к основной статье