Система интегрируемая невырожденная

Интегрируемые консервативные системы удобно классифицировать по степени их вырождения т, равной разности между числом степеней свободы и числом быстрых фаз (т = п — k). Рассмотренная выше общая линейная система является невырожденной (т = 0) вследствие несоизмеримости частот. [c.149]

Функция 0 — первый интеграл невозмущенной системы. Пусть тор / = нерезонансный. Тогда , р) не зависит от р, так как любая траектория заполняет нерезонансный тор всюду плотно [4] и функция З й постоянна на решениях невозмущенной задачи. Для завершения доказательства остается использовать непрерывность функции и всюду плотность множества нерезонансных торов невырожденной интегрируемой системы [4]. [c.16]

При = О имеем интегрируемую гамильтонову систему с одной степенью свободы. Предположим, что невозмущенная система имеет в области О три неустойчивых невырожденных положения равновесия 1, 2 и Zз, соединенных двоякоасимптотическими траекториями Г1 и Г2, как показано на рис. 27. Точки Zl и zз могут совпадать, однако мы требуем, чтобы Zl ф Z2. Точки Zl, Z2 к. zз — неподвижные точки отображения 50 за период I = 2тг невозмущенной системы, а Г1 и Г2 — инвариантные кривые этого отображения, заполненные точками, которые при положительных (отрицательных) итерациях отображения 50 стремятся к точке Z2 zl) для кривой Г1 и к точке zз ( 2) для кривой Г2. При малых значениях [c.288]

Кажется, что вполне надеяться на численные методы можно только в интегрируемой ситуации, в которой такого разбегания не происходит. Тем не менее, оказывается, что консервативные системы даже в стохастической ситуации сохраняют многие элементы интегрируемой динамики. При небольшом возмущении интегрируемой задачи продолжают существовать невырожденные периодические орбиты, не разрушается большинство условно-периодических движений (КАМ-теория). [c.18]

При такой записи уравнений движения легко видеть, что движение происходит вдоль прямых линий и с постоянной скоростью, так как скорость v сохраняется. Это значит что п компонент вектора v являются интегралами движения. Для любой данной скорости v движение соответствует линейному потоку Т/ (см. 1.5). Следовательно, мы можем рассматривать фазовое пространство ГТ как E" х Т" с динамикой, описываемой следующим образом торы X Т" инвариантны и движение на г х Т" задается выражением г) X Т/. Таким образом, эта система вполне интегрируема, и естественные координаты являются для нее координатами действие — угол , которые были введены в 1.5. Гамильтониан системы Н(х, v) = v, v)/2 равен ее кинетической энергии, и невырожденная 2-форма ш имеет вид w = dx А dVi. [c.205]

Первые строгие результаты о неинтегрируемости гамильтоновых систем принадлежат Пуанкаре. Сущность идеи Пуанкаре состоит в том, что сложное поведение решений (например, рождение невырожденных периодических решений, расщепление асимптотических поверхностей и т. д.) несовместимо с полной интегрируемостью уравнений Гамильтона. В этой главе изложены основные методы доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем, основанные йа выявлении различных нетривиальных динамических эффектов, не свойственных вполне интегрируемым системам. Более подробное изложение содержится в работе [13]. [c.226]

Из первого уравнения следует, что Fo — интеграл невозмущенных уравнений с функцией Гамильтона Но Пусть тор / = / нерезонансный. Тогда Fo( , ) не зависит от tp, так как любая траектория заполняет нерезонансный тор всюду плотно. Для завершения доказательства заключения 1) остается учесть непрерывность функции Fo и всюду плотность множества нерезонансных торов невырожденной интегрируемой системы. [c.228]

Невозмущенное движение. Условия невырожденности. Напомним основные понятия, связанные с интегрируемыми системами. Рассмотрим невозмущенную интегрируемую гамильтонову систему с гамильтонианом Но 1). Ее фазовое пространство расслоено на инвариантные торы / = onst. Движение по тору является условно-периодическим с вектором частот =дНо1д1. Тор, на котором частоты рационально независимы, называется нерезонансным. Траектория заполняет его всюду плотно (как говорят, является обмоткой тора). Остальные торы /= onst называются резонансными. Они расслоены на инвариантные торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной, если ее частоты функционально независимы [c.197]

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых Новых методах небесной механики . В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова Симметрии, топология и резонансы в гамильто- [c.9]

Покажем, что функция не зависит от угловой переменной g. Так как функция — первый интеграл невозмущенной задачи, то она постоянна вдоль траекторий невозмущенной системы уравнений. На нерезонансных инвариантных торах интегрируемой задачи траектории всюду плотны [4], следовательно, непрерывная функция постоянна на каждом нерезонансном торе. Хорошо известно [4], что в невырожденной интегрируемой гамильтоновой системе нерезонансные торы всюду плотно заполняют фазовое пространство. Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. III) и функция 0 непрерывна, то постоянна на всех инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. Очевидно, что для всех g G R точки (Х°, Р, G , g) лежат на одном и том же инвариантном торе (см. 1). Следовательно, [c.64]

Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на гиперболическом торе при t — 00. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла... (А. Пуанкаре [146]). [c.252]

Трещёв Д. В. О существовании бесконечного количества невырожденных периодических решений гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой //В кн. Геометрия, дифференциальные уравнения и механика.— М. изд-во МГУ, 1986. 121-127. [c.423]

Возмущенная система вполне интегрируема на канторо-вом множестве [184]. Это означает, что в невырожденном случае при достаточно гладком возмущении существуют симплектическая замена переменных /, ф /, Ир с производящей функцией Уф + е5(/, ф, е) и невырожденный гамильтониан 5 (7, е) такие, что [c.199]

Невырожденные неустойчивые периодические решения имеют асимптотические многообразия, заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к периодическим траекториям при г- - оо. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неиитегри-руемых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут пересекаться ие совпадая, образуя в пересечении довольно запутанную сеть (см. рис. 44). Б этом параграфе мы опишем восходящий к Пуанкаре способ доказательства иеиитегри-руемости, основанный на анализе асимптотических поверхностей гамильтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых. [c.235]

Симплектическая структура на орбитах, инволю-тивность интегралов и полная интегрируемость системы Эйлера. Любой касательный к орбите Од в точке М вектор I представим в виде = [М, а] для некоторой кососимметрической матрицы ос. На 0 есть симплектическая структура, задаваемая невырожденной замкнутой два-фор-мой (0(11, у. Форма (0( 1, У = —1г(М-[а1, а ]), где = = [М, осу], и задаваемая ей симплектическая структура были впервые использованы Кирилловым в теории представлений нильпотентных групп Ли. На пространстве кососимметрических матриц 0 (п) определено невырожденное скаля рноеХпроизведение (а, Р) = —1г(ос-Р). Значение формы (0(11, У = ( М, К, а]) = (11, аа) = —(5а, 1), где у = [М, ау], не зависит от произвола в выборе а,- по заданным 5у. Так как [а , 2] = —[а , а,], то о)( ,, У =--= —(0( 2, 11). Форма (О невырождена, так как для любого О существует такое, что 2) О, и [c.309]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...