ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегрируемые системы из "Аналитические основы небесной механики " С п степенями свободы можно заменить п системами, каждая из которых имеет одну степень свободы и получается из (14) после замены в правых частях Н на Я,, г = 1. м. (Точками обозначаются, разумеется, производные по переменной I, определяемой согласно (14) 180). Каждая такая система имеет интеграл энергии Я = кг, причем постоянные интегрирования к, .кп должны быть таковы, что ку + Нп = 0. Обращение этой су ы в нуль вытекает из того факта, что Н — Н +. .. + Нп, а Я — О в силу изложенного в конце 180. [c.172] В соответствии с (3) каждая из п переменных ti = и 1) изменяется вместе с t от — оо до -Ь оо монотонно. Из формул же (4i) —(44) следует, что переменные qi, рассматриваемые как функции t, имеют период Xi. [c.173] Для этого требуется исключить и + 1 переменных 1. tn, I из формул (41), (4г), (21). При таком исключении мы придем к периодическим функциям дх = qi t), 1 = 1. п, лишь в очень частном случае, когда все Т( взаимно соизмеримы друг с другом. Если же хотя бы две величины из Т1,.. ., т несоизмеримы друг с другом, то мы придем при неограниченных значениях времени к задаче о диофантовых приближениях. [c.174] Кроме того, из (6г) видно, что функция v t) =Еу ( ) является почти периодической с частотами, которые содержатся в модуле, порождаемом п числами р.,- = 2л / Тг, = 1. г (возможно, линейно зависимыми). [c.176] Следовательно, к (Hi) применима теорема, сформулированная в начале этого параграфа, и таким образом i = i + м ( ),где i (i) — почти периодическая функция с частотами, содержащимися в модуле п чисел [ii = 2л/тг, i = 1,. .., м. Тогда, если -честь формулы (4г) —(4з) для t = t + w(t), видно, что (7) вытекает из (4i). [c.176] Во втором случае мы имеем в (10) знак =, и это равенство означает, что наименьшая нижняя граница суммы Xdl qi t)) совпадает со средним значением M Edi = 1. Следовательно, почти периодическая функция Xdi qi t)) вырождается в константу (равную 1). Из (2i) —(2г) поэтому следует, что t = t (с точностью до аддитивной постоянной), а формулы (4i) —(44) показывают, что каждая из функций i, г = 1,. .., м, является чисто периодической по I с периодом Тг = 2n/ ii. Очевидно, что формула (7) справедлива и в этом вырожденном случае. [c.176] К преобразованиям позиционного или фазового пространства. Например, если при п = 2 заменить прямоугольные координаты X, у полярными г, ф, то вполне возможно, что ф окажется циклической координатой, хотя х ж у такими не являются (см. 211). Поэтому, хотя из изложенного в 117 следует, что любая динамическая систеа1а может быть приведена с помощью соответствующего канонического преобразования к нормальной форме (12) — (13) ИЗ, когда все координаты становятся циклическими, главная проблема состоит, как было замечено в конце 113, именно в нахождении такого пребразования. [c.177] По существу, положение еще менее благоприятное. Дело в том, что доказательство существования канонического преобразования, приводящего систему к нормальной форме (или, что то же самое, доказательство существования полного решения уравнения (15) 114), основывается лишь на общих теоремах, относящихся к существованию неявных функций и решений обыкно-пенных дифференциальных уравнений, т. е. на теоремах, имеющих чисто локальный характер. Вместе с тем математические вопросы динамики имеют не такой тривиальный локальный характер, но представляют собой проблемы исследования в боль-1иом, связанного с нелокальной топологией рассматриваемы многообразий. Для иллюстрации этого создавшегося ноложени г можно привести краткую справку об историческом развитии понятия неразрешимой динамической проблемы. [c.177] С одной стороны, эти теоремы существования или сходимости справедливы в общих случаях, не имеющих ничего общего с динамическими проблемами. С дрз той же стороны, простейшие примеры показывают, что от всех этих методов требуется справедливость лишь в ограниченном -промежутке. Поэтому все, что можно достичь в этом направлении, сводится к утверждениям локальной теоремы существования обыкновенных дифференци-а.1ьных уравнений (см. 79). [c.178] О современных взглядах на эти методические проблемы см. 227 и 440. [c.179] Аналогичным образом интегрирование в двух из интегрируемых случаев задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой (случай Эйлера инерционного движения и случай осевой симметрии) может быть непосредственно выполнено с помош ью введения сферических координат (Эйлер, Лагранж). Возможность интегрирования в третьем случае (Софьи Ковалевской) обусловлена тем, что функция Лагранжа приобретает вид (li) — (I2), если ввести эллиптические координаты qi, qz (Колосов). [c.179] Поскольку этот прямоугольник представляет собой замыкание множества тех точек, к которым кривая (g, т]) = (g(i). il( )) приближается сколь угодно близко при i оо, из (12i) —(12г) следует, что Га — Гг (i), но не ri = n(i), при некоторых достаточно больших значениях t принимает значения, сколь угодно близкие к нулю. Из (12i) —(12г) также видно, что по крайней мере при достаточно больших t не только ri(i) 0, но и Г2 (I) 0. Действительно, если бы гг обращалось в нуль при некоторых значениях t, сгущающихся на бесконечности, то периоды периодических функций сЬт](г), h (i) не могли бы быть несоизмеримыми. [c.182] Поскольку Гг = ri t) — расстояние между движущейся частицей М и неподвижным центром Pi, = 1, 2, то равенство г(0 = О означает, что имеет место столкновение между М и Pi в момент t, а неравенство ri t) 0 указывает на отсутствие столкновения. Вместе с тем при рассмотренном выборе постоянных интегрирования движение М таково, что г (i) О, Гг (i) О при onst С i( С схз, хотя Km inf n t) = О при t oo. Следовательно, частица М движется под влиянием притяжения двух неподвижных центров Pi и Рг так, что хотя настоящих столкновений между М и Рг, г = 1, 2, нет, но в опреде-иенные и сколь угодно большие моменты t частица М оказывается в произвольно малой окрестности Рг. [c.182] Вернуться к основной статье