ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегрируемые системы из "Математические методы классической механики " Чтобы проинтегрировать систему 2п обыкновенных дифференциальных уравнений, нужно знать 2п первых интегралов. Оказывается, если дана каноническая система дифференциальных уравнений, то во многих случаях достаточно знать лишь п первых интегралов — каждый из них позволяет понизить системы не на одну, а на две единицы. [c.238] Лиувилль доказал, что если в системе с п степенями свободы (т. е. 2п-мерным фазовым пространством) известны п независимых первых интегралов в инволюции, то система интегрируема в квадратурах. [c.238] Вот точная формулировка этой теоремы. [c.238] Предположим, что на Mf п функций Fi независимы (т. е. п 1-форм dFi линейно независимы в каждой точке Mf). [c.239] Прежде чем доказывать эту теорему, отметим некоторые из ее следствий. [c.239] Следствие 1. Если в канонической системе с двумя степенями свободы известен один первый интеграл Г, не зависящий от функции Гамильтона Н, то система интегрируема в квадратурах, компактное связное двумерное подмногообразие фазового пространства П = к, Р = f есть инвариантный тор, а движение на нем условно-периодично. [c.239] Действительно, Г п Н находятся в инволюции, так как Г — первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н. [c.239] Другие примеры получаются из следующего замечания если каноническая система интегрируется методом Якоби — Гамильтона, то она имеет п первых интегралов в инволюции. [c.240] В частности, сказанное применимо к задаче о притяжении двумя неподвижными центрами. Число примеров легко умножить фактически сформулированная выше теорема Лиувилля охватывает все проинтегрированные на сегодняшний день проблемы динамики. [c.240] По условию п 1-форм Рх линейно независимы в каждой точке 71//. Следовательно, по теореме о неявной функции, есть п-мерное подмногообразие 2п-мерного фазового пространства. [c.240] Лемма 1. На п-мерном многообразии Mf существуют п касательных векторных полей, попарно коммутирующих и линейно независимые в каждой точке. [c.240] Доказательство. Симплектическая структура фазового пространства определяет оператор I, переводящий 1-формы в векторные поля. Этот оператор I переводит 1-форму йРх в поле I д,Рх фазовой скорости системы с функцией Гамильтона Рх. Покажем, что п полей I йРх касаются Mf, коммутируют и независимы. [c.240] Действительно, из независимости д,Рх и невырожденности изоморфизма I следует независимость I д,Рх в каждой точке Мр Поля I йРх попарно коммутируют, так как скобки Пуассона их функций Гамильтона Рх, F ) = 0. По той же причине производная функции Рх по направлению поля I dPj равна нулю для любых I, / = 1,. . ., п. Значит, поля I Рх касаются Mf, и лемма 1 доказана. [c.240] Действительно, п векторов I йРх [ж попарно косоортогональны (Рх, Р]) = 0) и образуют базис в касательной плоскости к многообразию Щ в точке X. [c.240] Много( разия, на которых транзитивно действует группа К . Теперь мы воспользуемся следующим топологическим предложением (доказательство заканчивается на стр. 244). [c.240] Лемма 2. Пусть М — компактное, связное дифференцируемое п-мерное многообразие, на котором задано п векторных полей, попарно коммутирующих и линейно незаешимых в каждой точке ЛГ. Тогда многообразие диффеоморфно п-мерному тору. [c.241] Очевидно, в е К . Зафиксируем точку Хд е М. [c.241] Указание. Применить теорему о неявной функции и воспользоваться линейной независимостью полей в точке а . [c.241] Задача 2. Докажите, что К ЛГ есть отображение н а. [c.241] Указание. Соедините точку х М с кривой (рис. 212), покройте Кривую конечным числом окрестностей II предыдущей задачи и определите I как сумму сдвигов 1, соответствующих кускам кривой. [c.241] Вернуться к основной статье