Разложение орбит

В качестве примеров двигательных установок стабилизации и управления положением на орбите приведены реактивная система управления (РСУ) корабля Спейс Шаттл , двигательный блок многоцелевого модульного аппарата второго поколения Марк II , тормозная ДУ космического аппарата Галилей , объединенная двигательная установка спутника Олимпия и, наконец, РСУ для спутника, работающая на продуктах разложения однокомпонентного топлива. [c.243]

Проблемой тяготения Ньютон начал заниматься в 1666 г. Он обратил внимание на то, что сила притяжения к Земле действует на все тела, как бы высоко над Землей они не находились — он поставил вопрос действует ли притяжение Земли и на Луну Луна движется вокруг Земли по орбите, которую можно принять за окружность с радиусом = 60/ , где — радиус Земли так как период обращения Луны вокруг Земли равен 27,3 суток, то отсюда можно найти скорость Луны V = = 1020 м/сек. Пользуясь разложением бесконечно малого перемещения точки [c.53]

Спутник на круговой орбите вокруг Земли. Центр масс совпадает с началом координат вращающейся системы, т.е. г = 0. Ньютоновский потенциал в квадратичном приближении (при разложении по отношению размеров спутника к радиусу орбиты) имеет вид [c.66]

Будем говорить, что поток удовлетворяет аксиоме А, если Q являегся объединением некоторого множества, удовлетворяющего (а) и (Ь), и конечного числа ие принадлежащих ему гиперболических неподвижных точек. По теореме Смейла о спектральном разложении [24], [18] гиперболическое множество является объединением конечного числа непересекающихся базисных множеств. Траекторная структура цц в большой степени определяется этими базисными множествами. На протяжения этой статьи X всегда будет обозначать базисное множество, не сводящееся к единственной замкнутой орбите. [c.109]

Разложение (4.6.15) является точным относительно а — отношения больших полуосей орбит возмущаемой и возмущающей [c.393]

ТО устойчивость круговых орбит не нарушается при достаточно малых по модулю значениях параметра [х. Другими словами, зональные гармоники в разложении потенциала центрального тела (см. ч. IV, гл. 5 и ч. VI) не нарушают устойчивости круговых орбит, если только разложение потенциала сходится достаточно быстро , [c.847]

Для этого возьмем в качестве переменных взаимную наклонность орбит и для каждой планеты логарифм большой полуоси, эксцентриситет, эксцентрическую аномалию и и угол, который можно назвать эксцентрической долготой и который равен сумме эксцентрической аномалии и долготы перигелия, всегда отсчитываемой от линии узлов. Тогда нашей целью будет построить разложение [c.390]

Вторыми и высшими степенями е и г] в этом разложении можно пренебречь, если мы ограничимся отысканием таких периодических орбит, которые лежат в близкой окрестности точки (а, Ь). [c.356]

Введенная Пуанкаре классификация периодических решений не учитывает все множество таких орбит. Его исходная точка зрения состоит в отыскании периодических орбит при ц = О и затем в определении условий, при которых периодические орбиты могут быть также при малых значениях р. Прежде всего при этом, конечно, исключаются такие периодические орбиты, для которых настолько велико, что координаты тела не могут быть разложены по степеням Нельзя также быть уверенным, что [I при этом должно иметь весьма большое значение. Известно. что (А встречается в качестве множителя в вековых неравенствах долготы перигелия и узла периодических орбит, и разложения координат (или элементов) содержат одновременно со степенями р и степени 1. Таким образом, нельзя быть уверенным в том. что при помощи разложений по степеням ц можно получить такне орбиты, для которых период Т превышает определенную величину. [c.453]

В предыдущем параграфе мы нашли, что координаты в эллиптическом движении являются голоморфными функциями эксцентрической аномалии, и что эксцентрическая аномалия зависит от двух величин, а именно, от эксцентриситета орбиты С и средней аномалии планеты I. Во многих случаях, в частности, при определении элементов орбит планет из наблюдений, делаются попытки использовать разложения координат в ряды по степеням средней аномалии, и, следовательно, определение радиуса сходимости этих разложений имеет большое практическое значение. Так как [c.477]

Радиусы сходимости разложений по степеням времени можно легко вычислить при помощи формул (9) и (18), если известно значение среднего движения по орбите или большая полуось. [c.483]

Для круговых орбит р=1 и 9=0, и эти разложения приводятся соответственно к разложениям С08(/ — д) и 81п(/ —2д). [c.54]

У=У е- + У<.с + иллюстрирует разложение постоянной интегрирования у по постоянной е, которая введена в ходе решения. Эта процедура потребовалась для того, чтобы удовлетворить условию, что Ш должна быть периодической функцией от I без линейного члена. Если в S допускается присутствие линейного члена относительно к, то решение будет соответствовать движению по орбите со средним движением, отличным от указанного наперед. [c.86]

В некоторых методах, применяемых в теории движения Луны, особенно в методе, использованном Делонэ, требуется разложение возмущающей функции по эллиптическим элементам орбит Луны и Солнца. В качестве первого шага к получению такого разложения необходимо рассмотреть os 5. Пусть SI есть долгота восходящего узла орбиты Луны, У— наклонность орбиты Луны к эклиптике, d —угловое расстояние лунного перигея от восходящего узла, / — истинная аномалия. Пусть, далее, ш, / означают соответствующие углы для Солнца. Наконец, положим истинные долготы Луны и Солнца равными соответственно [c.270]

Однако эта форма разложения применяется редко пли никогда не применяется вследствие очень большой сложности функций от а, входящих в нее. Принято начинать сперва с численного значения а, которое обычно представляет собой наиболее точно известный элемент. Кроме того, плоскость орбиты возмущаемой планеты обычно выбирают в качестве плоскости отсчета, а восходящий узел орбиты внешней планеты на орбите внутренней — за нача.т1о счета долгот. Тогда, если У —взаимная наклонность, а П и П — долготы перигелиев от этого нового начала, то мы можем написать [c.402]

Если е мало, как в планетных орбитах, то эти ряды очень быстро сходятся если е превышает 0,6627..то они расходятся для некоторых значений М, как это впервые показал Лаплас. Это значение е превышается в солнечной системе лишь в случае орбит некоторых комет, но подобные разложения не употребляются при вычислении возмущений комет [c.158]

Определение положения тела, двигающегося по эллиптической или гиперболической орбите, когда е почти равно единице. Аналитические решения, приведенные выше, зависят от разложения по степеням е. [c.164]

Чтобы получить удобное для употребления аналитическое решение, применим для эллиптических орбит разложение по степеням. Исходное положение берется из уравнения площадей и полярного уравнения орбиты, принимаемой за эллипс. [c.164]

Описанные выше примеры (планеты, движущиеся по гелиоцентрическим орбитам с взаимными возмущениями, и движение Луны по геоцентрической орбите, возмущаемой Солнцем) иллюстрируют два совершенно различных типа задач, решаемых в рамках общей теории возмущений. В первом случае в качестве малого параметра, по которому проводятся разложения в степенные ряды, используется отношение массы возмущающей планеты к массе Солнца. Во втором случае в разложениях используется малая величина, равная отношению расстояния от спутника до планеты к расстоянию от Солнца до планеты. Уже говорилось, что даже в случае, когда возмущающей планетой является Юпитер, т,1т 10 , тогда как в системе Земля — Луна—Солнце /400 Кроме того, применяются разложения по степеням и произведениям эксцентриситетов и наклонений. [c.183]

Точно так же, как гравитационный потенциал Земли описывается разложением в ряды, гармонические постоянные которых можно оценить из наблюдений изменений орбит искусственных спутников Зе.мли, внешний гравитационный потенциал вращающейся и искаженной приливными воздействиями звезды можно выразить посредством подходящего разложения по гармоникам. [c.469]

Начиная с 40-х годов, а именно с создания в Германии снаряда А-4, конструкторы зачастую использовали ту легкость, с которой жидкая концентрированная перекись водорода превращается в смесь водяного пара и кислорода при температуре 1 000° С в присутствии соответствующего катализатора. Такую парокислородную смесь можно использовать в турбонасосах для управления положением спутника на орбите или для распыления ракетного топлива, подаваемого в главную камеру ракетного двигателя. На рис. В-14 изображен сосуд для разложения перекиси водорода, используерлый в турбонасосах двигателя ракетной системы. Жидкая перекись водорода впрыскивается в сосуд сверху и попадает на поверхность слоя, состоящего из кусков катализатора. При 24 [c.24]

В разложении Леверье возмущающей функции [107] получены все члены ряда Фурье с коэффициентами до 7-й степени включительно относительно малых величин эксцентрисптетоп орбит двух планет е,, отношения больших полуосей aja и sin (//2), где I — угол между плоскостями их орбит (угол взаимного наклона орбит). [c.138]

Каждый элемент А os pt или В sin pt обусловливает в системе свой собственный эффект, а именно колебание той же фазы и того же периода конфигурация и амплитуда колебания будут зависеть от частоты р. В некоторых случаях такое разложение возникает совершенно естественно, как, например, в теории приливов. Возмущающее действие Солнца и Луны при учете их переменного склонения и неравенства их движений но орбите можно достаточно точно представить рядом типа (5). Оказывается, что высота нр11лива в любом данном месте должна выражаться рядом [c.138]

Устойчивость Солнечной системы. Решение этой задачи тесно связано с вопросом о наличии вековых членов в разложениях больших полуосей, эксцоптриситетов и наклонов планетных орбит. Методами Н. м. вопрос об устойчивости Солнечной спстемы по может быть решен, т. к. ряды, применяемые в Н. м., являются расходящи.мпся и пригодны только для ограпичепных интервалов времени. [c.365]

Леверье построил разложение возмущающей функции [25] для двухпланетной задачи с точностью до седьмых степеней эксцентриситетов орбит и синуса половины взаимного наклона орбит включительно. Привести полные формулы Леверье здесь не представляется возможным и заинтересованного читателя мы отсылаем к трудам [25]. В 1885 г. Боке [26] получил разложение основной части возмущающей функции с точностью до восьмых степеней малых параметров включительно. [c.390]

Очевидно, наиболее сильная рекуррентность возникает тогда, когда разложение из теоремы 14.6.3 содержит единственную транзитивную компоненту и ни одной периодической компоненты, т. е. когда М представляет собой квазиминимальное множество потока (см. определение в конце п. 14.4 а). По следствию 14.6.4 отсутствие сепаратрис, соединяющих седла, достаточно для квазиминимальности. В следующем параграфе мы покажем, как параметризовать семейство классов гладко траекторно эквивалентных сохраняющих площадь потоков таким образом, что в отсутствии гомологически тривиальных замкнутых орбит у большинства потоков нет сепаратрис, соединяющих седла. Сейчас же мы покажем, что в естественных однопараметрических семействах потоков, сохраняющих площадь, подобно линейным потокам на восьмиугольнике с угловым коэффициентом в качестве параметра, все, кроме счетного числа, потоков не обладают сепаратрисами, соединяющими седла. [c.483]

Замечание Если внешнее поле направлено вдоль оси х, то х-компонентз поля, действующего со стороны ядра на электрон, находящийся на смещенной орбите, должна быть равна внешнему полю. Корректное квантовомеханичг-ское решение задачи дает результат, отличающийся лишь числовым множителем, — вместо 1 получим 9/2. (Величина о есть первый член разложения а = Оо Ь <Х1Е [c.489]

Точную траекторию движения ИСЗ можно определить одним из методов численного интегрирования. Например, методом Адамса Рунге — Кутта и др. Шаг интегрирования обычно выбирают в диапазоне 10—60 с. Поле притяжения Земли описывают зональными тессеральными и секториальными гармониками до 8-го порядка включительно в разложении потенциала поля по сферическим функциям. Если высота орбиты меньше 1000 км, то возмущения от Луны и Солнца можно не учитывать. Для более высоких орбит уже необходимо учитывать эти возмущения. Плотность атмосферы на высотах до 1500 км задают в соответствии с динамической модзлью верхней атмосферы с поправкой на текущий индекс солнечной активности [10]. [c.403]

Теперь будем считать, что эксцентриситеты орбит не равны нулю и поставим своей целью получить разложение главной части возмущающей функции по степеням эксцентриситетов. Лучшим методом для этого является метод Ньюкомба, основанный на применении некоторых операторов ). [c.385]

Введение. Методы, изложенные в гл. I, достаточны для вычисления координат планеты в эллиптической орбите для любого момента времени по элементам этой орбиты. Для различных приложений в небесной механике необходимо иметь в распоряжении методы, которые позволят разложить координаты и функции от координат в эллиптической орбите в периодические ряды. При движении по эллипсу все конечные и непрерывные функции от координат после полного обращения тела возвращаются к исходным значениям. Поэтому такие функции разложимы в периодические ряды по любой непрерыно возрастающей угловой переменной, которая за время полного обращения тела увеличивается на 2л. Угловыми переменными, представляющими в этой связи особый интерес, являются средняя аномалия I, эксцентрическая аномалия и и истинная аномалия /. Они не являются единственными аргументами, которые могут быть рассмотрены в некоторых приложениях используются другие аргументы. Функциями, которые представляются наиболее естественными для этой цели, являются пли четные, или нечетные периодическпе функции от этпх переменных, порождающие либо ряды косинусов, либо ряды синусов. Поскольку обычно удобнее оперировать степенными рядами, чем тригонометрическими разложениями, то полезно познакомиться с разложениями в экспоненциальной форме. [c.58]

Если отношение г г намного больше единицы для любых допустимых значений г и г, то Д намного превосходит г, п 1/Д, будучи очень мало11 величиной, может быть разложено в быстро сходящийся ряд эти условия выполняются для спутника, возмущаемого Солнцем. В противном случае, например, когда одна планета возмущает движение другой, разложение в ряд для 1/Д может сходиться крайне медленно этому случаю и посвящена настоящая глава. Мы будем предполагать, что разложение в ряд величины 1/Д законно всегда в тех случаях, когда оно вообще выполнимо, исключая, таким образом, любой случай, в котором Д может обратиться в нуль в результате пересечения орбит. В то время как можно установить необходимые и достаточные условия для сходимости ряда, представляющего 1/Д, такого же рода условия для сходимости рядов, представляющих сами возмущения, неизвестны для практических целей законность этих разложений можно считать установленной опытным путем. [c.401]

Метод, изложенный в этой главе, является достаточный для установления верхних пределов, а в большинстве случаев и нижних пределов для эксцентриситетов и наклонностей орбит больпшх планет, за исключением Плутона. Что же иожно сказать о реальности этих результатов По общему признанию, они являются только приближениями. Зная общий характер разложений, мы должны ожидать, что строгое решение задачи дало бы результаты, отличающиеся от приближенных значительно меньше, чем на 50%, однако математического доказательства этого утверждения не существует. [c.453]

Используя (13) и свойства корней кубического многочлена, нетрудно показать, что такое пересечение происходит с положительной скоростью, т. е. dRexi/ iR R=R, > 0. Остальные собственные значения матрицы остаются в левой полуплоскости. Поэтому, согласно бифуркационной теореме Хопфа (см., например, [167]), в окрестности R = Rj рождаются замкнутые орбиты с периодом Т ж 2л/ . Исследование условий устойчивости замкнутых орбит, сформулированных в теореме Хопфа, в данном случае потребовало бы проведения громоздких и утомительных вычислений. Для достижения цели воспользуемся методом разложения по малому параметру AR = R — R p, применяемым в гидродинамике, и получим приближенное уравнение для квадрата амплитуды колебаний. К динамическим системам такой метод применяется, например, в [162]. [c.143]

Определение положения тела, двигающегося по параболической орбите (144) — 92. Уравнение, связывающее два радиуса и хорлу. Уравнение Эйлера (146)—93. Определение положения тела, двигающегося по эллиптической орбите (148) —94. Геометрический вывод урав-иення Кеплера (149) —95. Решение уравнения Кеплера (149) — 96. Диференциальные поправки (150)—97. Графическое решение уравнения Кеплера (151) — 93. Перечисление формул (153)—99. Разложение Е в ряд (153) —100. Разложение г и v в ряды (156) — 101. Прямое вычисление полярных координат (159) —10I Опре еление положения тела, двигающегося по гиперболической орбите (163) — 103. Определение положения тела, двигающегося по эллиптической или гиперболической орбите, когда е почти равно единице (164). [c.12]

Процесс вычисления возмущений при помощи метода механических квадратур по сравнению с процессом, в котором употребляется разложение пертурбационной функции, имеет свои преимущества и недостатки. Преимущества — что в применении механических квадратур нет необходимости выражать возмущающие силы явным образом через элементы и время. Это иногяа имеет большое значение, так как в случаях, когда аксцентриситеты и наклонности велики, как в орбитах некоторых астероидов, эти выражения, являющиеся рядами, очень медленно сходятся и в случае орбит, эксцентриситеты которых превосходят 0,6627, или в случае, если радиус какой-либо одной орбиты равен какому-либо радиусу другой, ряды расходятся и не могут быть употреблены. Метод механических квадратур одинаково применим ко всем видам орбит единственное ограничение в том, что интервалы должны быть взяты достаточно короткими. [c.372]

Как упрощаются разложения пертурбационной функции, если взаимные аклонности орбит равны нулю и если орбиты — круги [c.374]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...