Матрица Ньютона

Метод Ньютона, характеризуемый высокой скоростью сходимости, широко распространен в процедурах автоматизированного проектирования. Однако по сравнению с предыдущими методами реализация метода Ньютона связана с увеличенными затратами памяти, требующимися для размещения матрицы Якоби. Кроме того, увеличивается трудоемкость вычислений на одной итерации. [c.228]

В алгоритмах решения системы конечных уравнений по методу Ньютона для вычисления поправки ДУ,- вместо обращения матрицы Якоби используют решение системы линейных алгебраических уравнений [c.228]

Решение систем нелинейных АУ выполняется итерационными методами, при этом на требуемое число итераций И в методе Ньютона решающее влияние оказывает выбор начального приближения, а в остальных итерационных методах — число обусловленности Ц матрицы Якоби решаемой системы уравнений. [c.233]

При решении задач минимизации выпуклых функций метод Ньютона обеспечивает более высокую скорость сходимости последовательных приближений к решению по сравнению с градиентными методами, однако количество вычислений на итерации метода Ньютона высоко за счет необходимости вычисления и обращения матрицы вторых производных. Минимизация квадратичных функций происходит за один шаг. [c.288]

На основе метода Ньютона разработан эффективный метод, получивший название метода переменной метрики. Идея метода заключается в использовании информации о градиенте критерия оптимальности для приближенного вычисления матрицы Гессе. Этот метод — итерационный. Поиск в нем ведется по формуле [c.288]

Главное преимущество метода переменной метрики перед методом Ньютона — отказ от вычислений матрицы Гессе на каждой итерации. Положительно определенная матрица [c.288]

Здесь f r hx)— матрица, обратная матрице производных, эле-менты которой. Метод Ньютона всегда сходится, если начальное приближение выбрано достаточно близко к решению. Основное время при вычислениях по формулам (1.84) расходуется на обращение матрицы (х< )). Для сокращения этого времени матрицу вычисленную на ( +1)-й итерации, используют для вычисления не только х< + ), но и нескольких следующих приближений. Можно один раз найти /J (х ) и вычисления по (1.84) проводить при постоянной матрице. При этом скорость сходимости итерационного процесса замедляется, однако общий выигрыш во времени может быть большим. [c.31]

После того как при очередной итерации будут определены величины Хг, Xi, 1133, Рз и 3 и вычислены параметры в точке 4, решают систему (4.23) методом Ньютона с переменной матрицей Якоби. При этом определяют а,з, Т , W3. Далее по формуле (4.21) вычисляют Лз и Рз, а по формуле (4.19) — аз и Рз. На этом очередную итерацию заканчивают. [c.120]

Отметим, что каждое из уравнений (7.45) получено в результате разрешения разностного уравнения типа (7.41) относительно неизвестной ai(n+i). Такое разрешение, во-первых, устраняет произведение малой разности а,—а больших величин на большую величину 1/т,, содержаш,ееся в правой части основного уравнения, и делает матрицу Якоби при вычислениях в методе Ньютона лучше обусловленной. [c.207]

Система (7.45) является нелинейной системой уравнений относительно a,(n+i), t=l, 2,..., N. Решение ее методом простой итерации нецелесообразно, так как условия сходимости итераций приводят к ограничению на шаг h (hxx) такому же, как при использовании явных схем. Поэтому необходимо применять какой-либо иной метод, например метод Ньютона с переменной матрицей Якоби D, элементами которой являются dfi/dak- Эту матрицу удобно находить, используя аналитические выражения для производных dfi/dak. Неизвестные адп+1) находят итерациями по формуле [c.207]

Поскольку применение метода Ньютона приводит к значительным затратам машинного времени, особенно с увеличением числа компонентов, что, как отмечалось, связано с вычислением и обращением матрицы Якоби, развиваются методы простой итерации для решения системы (7.45), в которых не требуется вычисления и обращения матрицы Якоби . [c.209]

Метод Ньютона осуществляет необходимый поиск в области варьируемых параметров, где/(Х) дважды дифференцируема и где матрица, обратная матрице Гесса целевой функции, является положительно определенной. Поиск этой области осуществляется или методом дискретного перебора значений параметров, или методом ЛП-поиска. [c.134]

Иллюстрация рассмотренного итерационного процесса для одномерного случая приведена на рис. 3.11, а. Если на каждом шаге приближения не проводить корректировку матрицы IG ] (значит оставлять прежней матрицу жесткости конструкции), а лишь уточнять невязки )с т. то итерационный процесс будет соответствовать модифицированному методу Ньютона (рис. 3.11, б). На практике для решения нелинейных задач деформирования многослойных конструкций из композиционных материалов часто применяют пошаговое нагружение. В пределах шага по нагрузке уточнение выполняют модифицированным методом Ньютона. Матрица касательных модулей корректируется при изменении нагрузки. [c.108]

Изложенные выше трудности использования метода Ньютона для решения одного нелинейного уравнения (5.12) усугубляются при применении его к решению систем нелинейных уравнений (5.16). Во-первых, возникает проблема вычисления на каждой итерации матрицы из частных производных. Во-вторых, обостряется проблема нахождения хорошего начального приближения. Для преодоления этих трудностей используют специальные модификации метода [2, 72]. [c.131]

Заметим, что все рассмотренные здесь алгоритмы допускают обычную дня метода Ньютона. — Рафсона модификацию с заменой матрицы [c.39]

Элементы матриц [С] и [D] представляют собой интегралы по толщине оболочки от эффективных жесткостей, зависящих от касательного, секущего модулей упругости и докритического НДС [186]. Интегралы вычисляем по формуле Ньютона — Ко-теса четвертого порядка. [c.83]

Линеаризация соотношений (4.108) с помощью метода Ньютона—Рафсона приводит к формуле (2.42), в которой элементы матрицы [С< >] можно определить последовательным дифференцированием компонент вектора деформаций по компонентам вектора напряжений [c.87]

ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ РАССМАТРИВАЕМОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 0(3,3) - МАТРИЦА СВЯЗИ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ ОЧЕРЕДНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПО МЕТОДУ НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА [c.470]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Метод Ньютона применялся для решения задач о легком [73] и тяжелом [11] нестационарном нагружении точечного контакта, а также для решения стационарной задачи при исследовании влияния сложной конфигурации входной границы [9]. Положение свободной границы определялось в этих работах, исходя из принципа дополнительности [57], согласно которому для оператора Рейнольдса L(p) и давления р выполняются условия Ь(р) = О, р > О — в зоне со смазкой, L(p) < О, р = О — в кавитационной зоне. Метод Ньютона использовался в работе [75] при решении стационарной задачи об эллиптическом УГД контакте. В работе [64] построением расчетных сеток, согласованных с границами области, был осуществлен учет условия др/дп = О на выходе. При применении метода Ньютона в этой работе использовалась блочно-трехдиагональная аппроксимация полной системной матрицы. [c.503]

Нестационарное уравнение Рейнольдса было получено в работе [23] с использованием модели Эйринга. Вычислительный алгоритм решения нестационарных УГД уравнений базировался на методе Ньютона и трехдиагональной аппроксимации матрицы системы. В работе изучалось влияние движущейся впадины или выступа на параметры УГД контакта. Вторая поверхность контакта задавалась гладкой. Реологическая модель Эйринга применялась также для получения нестационарных УГД уравнений в работе [16], в которой исследовались эффекты, вызываемые прохождением через контакт одиночного выступа на одной из поверхностей, а также эффекты от взаимодействия пары движущихся выступов, расположенных на противоположных поверхностях. [c.513]

Экономичность метода решения систем АУ определяется также затратами оперативной памяти. При неучете разреженности только на хранение матрицы Якоби нужно п ячеек памяти. Поэтому если для одного слова используется 8 байт, то при п=100 для хранения требуется 80 кбайт, а при п = 500 — уже 2 Мбайт. Итак, подтверждается вывод о необходимости учета разреженности при решении задач с п>п р, где Ппр зависит от характеристик используемой ЭВМ и, как правило, составляет несколько десятков. В задачах анализа распределенных моделей, в которых п может превышать 10 , экономичность метода по затратам машинной памяти становится одной из важнейших характеристик. В таких случаях применяют либо релаксационные методы, либо метод Ньютона с использованием на каждой итерации метода Гаусса, но в рамках рассматриваемого ниже диакоптического подхода. [c.234]

Методы Ньютона и переменной метрики. Ускорение поиска экстремума связано с улучшением выбора сопряженных направлений. Довольно эффективным является поиск сопр1Яженных направлений с одновременным накоплением информации о матрице Гессе критерия оптимальности. Используют соотношение [c.287]

Трудности, связанные с применением метода Ньютона, привели к разработке группы методов, которые называются квазиньютоновскими методами переменной метрики или градиентными методами с большим шагом. Сущность их заключается в аппроксимации матрицы Гессе или обратной к ней матрицы таким образом, чтобы ограничиться только использованием первых производных. [c.246]

Для решения этой системы, как правило, используется интерационный метод Ньютона—Рафсона, основанньг на сочетании неявных методов интегрирования с методами обработки разреженных матриц. Это позволило разработать простые и эффективные алгоритмы форми ювания математических моделей электронных схем ни основании метода узловых потенциалов. [c.162]

Известно также, что сходимость метода Ньютона к решению зависит от близости начального приближения к этому решению. В связи с этим начальное приближение в точке +1 целесообразно задавать посредством экстраполяции искомых функций с использованием их значений в предшествующих точках. И наконец, время расчета существенно зависит от точности задания данных в начальной точке отрезка интегрирования, если эта точка находится в околоравновесной области, как, наиример, для течений в соплах. Даже незначительные ошибки в начальных данных (в четвертой — пятой значащих цифрах) в силу малых значений т могут привести к длительному счету начального участка из-за медленной сходимости итераций. Поэтому в начальной точке целесообразно также решать систему (7.45) методом Ньютона с переменной матрицей, полагая второй член в левой части (7.45) равным а,-. [c.208]

Обратную матрицу (dF/dX) а-то порядка можно вычислять не на каждой итерации, а делать это только при фиксациях на некоторых границах Д/р О (р S 1, а) либо откреплениях от них, т. е когда меняется структура матрицы. Иногда рассматривают видоизменение метода Ньютона, где матрицу dFldX подсчитывают только в начальной точке Х , тем самым значительно упрощая вычисления. Однако сходимость этого процесса значительно хуже, чем в методе Ньютона. [c.29]

Будем считать, что в физических соотношениях (3.89), связывающих приращення напряжений и деформаций, матрица касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми, поэтому при использовании соотношений (3.89) не будем делать различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. На рис. 3.7 условно показан процесс вычиааений. Здесь р vi и обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется постоянной. [c.100]

Рассмотренные модификации могут существовать и как самостоятельные методы, и как вспомогательное средство получения приближения для метода Ньютона — Канторовича. Так, в работе (38J предложен итерационный метод, который представляет собой метод последовательных нагружений с учетом нагрузочной невязки с автоматическим выбором значения шага, а затем переходит в сходящийся процесс Ньютона — Канторовича. Такая вычислительная схема очень привлекательна, хотя йолучени регулирующего параметра трудно в реализации Приближения по итерациям, которые приводились выше при описании методов решения нелинейных уравнений, не могут служить объективными характеристиками, так как количество вычислений на одной итерации для различных методов различно. Так, если в методе упругих решений на каждой итерации необходимо только вычислить дополнительные нагрузки (/—Аии+in), а для получения А использовать уже обращенную матрицу, соответствующую оператору До, то в методе переменных параметров, наоборот, на каждой итерации необходимо составлять и решать систему линейных уравнений, оставляя правую часть без изменений. В методе Ньютона на каждой итерации надо делать и то и другое, т. е. составлять и решать систему линейных уравнений, а также изменять правые части. [c.85]

Алгоритм метода Ньютона обладает меньшими Na, Пд и А а по сравнению с алгоритмом метода итераций, однако составление в процессе вычислений матрицы Якоби по dfJdXj (г, / = 1, 2,. . п) приводит к необходимости пользоваться внешней памятью при реализации алгоритма на средних машинах типа Минск-2 и М-20 . [c.185]

Более эффективный в смысле сходимости итерационный процесс метод Ньютона Рафсона (1.5.12) использовался в работах [475—478,408, 394, 506, 390, 414, 515, 269, 439, 431, 406, 480]. Однако этот метод требует корректировки касательнш матрицы жесткости на каждом шаге итерационного процесса, что сопрово ается значительными затратами машинного времени. Это устраняется при применении для итераций модификации метода Ньютона (1.5.13), так как при зтом для итераций используется касательная матрица жесткости, построенная на предыдущем шаге по параметру. Такой подход к организации итерационного процесса на каждом шаге по параметру применялся в работах [420,318,517, 515 476,518,1,397, 535,191,134,303, 536]. [c.192]

При решении контактной задачи в качестве исходного приближения выбирается решение линейной бесконтактной задачи. Эффективность подобного подхода при решении контактных задач нелинейной теории оболочек продемонстрирована в работах [121,127, 1291. Линейные краевые задачи решаются методом ортогональной прогонки С. К. Годунова. Коэффициенты матрицы [С] и вектора [D] (11.27) получаем численным интегрированием по формулам Ньютона — Котеса четвертого порядка. Уравнения (11.24) — (11.29), дополненные граничными условиями (П. 12) и условиями сопряжения (11.23), полностью определяют НДС осесимметрично нагруженной конструкции из оболочек вращения на п-т приближении итерационного процесса. Если необходимо получить ряд решений при пошаговом изменении нагрузки q, то начальное приближение для находим экстраполяцией по решениям для. ... .. Процесс последовательных приближений заканчивается, когда модуль максимального относительного расхождения компонент yt вектора решения Y для каждой точки ортогона-лизации меньше наперед заданного значения [c.39]

Недостатком итерационной процедуры стандартного метода Ньютона — Рафсона является то, что на всех итерациях при решении системы уравнений (6.9) надо формировать матрицу t+At (i-i) проводить ее факторизгщию. В модифицированном методе Ньютона — Рафсона [49, 62, 122] касательная матрица жесткости не пересчитывается на каждой итерации. Вместо этого в уравнениях вида (6.9) на каждой итерации используется одна и та же матрица К (т обозначает некоторый момент времени на предыдущих шагах, например т = t или г = 0). Недостатками итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона являются ее более медленная сходимость и более частая расходимость по сравнению с процедурой стандартного метода Ньютона — Рафсона. [c.188]

Как отмечено выше, стандартный метод Ньютона — Рафсона является мощным инструментом решения нелинейных задач, однако он трудоемок в применении, поскольку требует вычисления и триангуляризации касательной матрицы жесткости на каждой итерации. Модифицированный метод Ньютона — Рафсона существенно снижает число операций на одной итерации, однако при этом ухудшаются характеристики сходимости. Семейство квазиньютоновых методов [62] по характеристикам сходимости и числу операций на одной итерации занимает промежуточное положение между стандартным и модифицированным методами Ньютона — Рафсона. В квазиньютоновых методах на каждой итерации строится приближение к обращенной касательной матрице жесткости без вычисления ее в явном виде. [c.189]

Лискретный анализ устойчивости колонны, позволяющий учитывать различие геометрии и материала элементов, основан на разностных уравнениях (0.5), (0.6), дополненных уравнением равновесия колонны в целом. Здесь рассмотрены случаи шарнирно и жестко закрепленных краев, приведенные к однородным уравнениям и граничным условиям для изгибающих моментов М . Полная система уравнений записана в матричной форме. Критическое значение осевой сжимающей силы ищется из условия равенства нулю определителя матрицы методом Ньютона — Рафсона. [c.217]

Матрица и вектор реакций кольцевого элемента для очередного приближения по методу Ньютона — Рафсона при решении осесимметричной задачи теории пластичности вычисляются с помощью процедуры МТА321, в которой при вычислении матрицы [c.113]

МТА321 вычисления матрицы и вектора реакций кольцевого элемента с треугольным сеченнем для очередного приближения по методу Ньютона—Канторовича — Текст 465—466 [c.516]

Для численного решения задач о линейном УГД контакте широкое распространение получили алгоритмы, основанные на методе Ньютона [1, 5, 7, 49] и многосеточном методе [69]. В работе [22] предложен вычислительный алгоритм, объединяющий метод Ньютона и многосеточный метод. Особенностью этого алгоритма является сведение полной матрицы Якоби к трехдиагональной обнулением внетрехдиагональных элементов. [c.509]

В работе [63] метод Ньютона был применен для одновременного решения уравнений Рейнольдса и энергии. Якобиан системы в этом случае составлялся относительно приращений давления и температуры. Для сокращения числа вычислительных операций полная матрица системы сводилась к гексадиагональной простым обнулением внегексадиагональ-ных членов. Показано, что с ростом растет максимальная температура смазки снижаются и пиковое давление с ростом нагрузки растет тах И снижается [c.511]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...