Компоненты вектора деформаций

В качестве примера определим горизонтальную реакцию узла 1 по направлению оси у от вертикального перемещения этого же узла, т. е. элемент к изи Сначала определим компоненты вектора деформаций по области КЭ от перемещения W [c.45]

Используя далее геометрические соотношения и физический закон для материала, получаем выражения для компонентов вектора деформации е и напряжения ст е-го элемента [c.64]

Линеаризация соотношений (4.108) с помощью метода Ньютона—Рафсона приводит к формуле (2.42), в которой элементы матрицы [С< >] можно определить последовательным дифференцированием компонент вектора деформаций по компонентам вектора напряжений [c.87]

E1,E2,G - КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА ДЕФОРМАЦИЙ IJ-ГО [c.470]

Подставляя выписанные векторы в неравенство (10.14), приходим к условию упорядоченности компонент векторов деформации и напряжений [c.164]

Компоненты вектора деформаций Э связаны с компонентами тензора деформаций формулами [13, 14] [c.17]

Для трёх случаев нагружения тонкостенного трубчатого образца компоненты вектора деформаций будут иметь следующий вид [c.17]

Таким образом, в пашем случае только два компонента вектора деформации отличны от нуля. Ими на плоскости э1 эз задается процесс деформаций по произвольной программе. [c.180]

Таким образом, процесс деформаций в точке деформируемого тела можно задавать функцией времени 8 ( ) и кривой в пятимерном пространстве (/г = I, 2, 3, 4, 5), которая описывается концом вектора деформации (1.130). Такая кривая называется траекторией деформаций [69]. Компоненты вектора деформаций (1.130) выбирают так, чтобы связь между компонентами девиатора деформаций и компонентами вектора деформаций Эк была взаимно однозначной, линейной и при этом выполнялось равенство [c.56]

Однако с учетом ех + еу + вг — О условие (1.131) вьшолняется, если зависимости между компонентами девиатора деформаций и компонентами вектора деформаций Эк имеют вид [69] [c.57]

Обратные зависимости между компонентами девиатора деформаций и компонентами вектора деформаций принимают вид [69] [c.57]

Компоненты вектора деформаций Э1, Э , в этом случае спреде- [c.59]

Компоненты вектора деформаций и Эд определяются по формулам [c.60]

Запишем компоненты вектора деформаций е [c.227]

Все рассматриваемые компоненты вектора деформации можно выразить через перемещения с помощью приведенного ниже соотношения. Использованные выражения очевидны, и они здесь выводиться не будут. Читатель, интересующийся подробным выводом, может обратиться к любому учебнику по теории упругости [3]. Таким образом, имеем [c.89]

Если задан произвольный процесс сложного нагружения во времени t в точке деформируемого тела, характеризуемый компонентами 3ij(t), то конец вектора деформации в пространстве описывает определенную кривую [c.87]

Заданное поле тензора деформаций не может быть совершенно произвольным. Действительно, три компонента вектора смещения удовлетворяют системе шести дифференциальных уравнений [c.12]

Естественно предположить, что компоненты вектора перемещений и, а следовательно, напряжений и деформаций будут зависеть от времени таким же образом, как и функции (2.393) -(2.395) [c.107]

Связь компонентов тензора деформаций ij с вектором перемещений и дается формулами Коши [c.121]

При вычислении компонентов тензора деформаций Sij (Wak) необходимо учитывать, что система (х, у) для Т/является аффинной так как компонент номер а вектора Wak равен соответствующей скалярной базисной функции, то на Тг. [c.171]

Если тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации, определяющего, как мы видели, относительные изменения длин в теле, являются малыми. Что же касается вектора деформации, то он может быть в некоторых случаях большим даже при малых деформациях. Рассмотрим, например, длинный тонкий стержень. Даже при сильном изгибе, когда его концы значительно переместятся в пространстве, растяжения и сжатия внутри самого стержня будут незначительными. [c.11]

Часто бывает удобным пользоваться компонентами тензора деформации не в декартовых, а в сферических или цилиндрических координатах. Приведем здесь для справок соответствующие формулы, выражающие эти компоненты через производные от компонент вектора смещения в тех же координатах. В сферических координатах г, 6, ф имеем [c.12]

Компоненты тензора деформации как функции координат не являются вполне независимыми величинами, поскольку шесть различных компонент ui выражаются через производные всего трех независимых функций — компонент вектора U (см. задачу 9 7). Но шесть постоянных величин могут быть в принципе заданы произвольным образом. [c.25]

Остановимся на частном случае плоской деформации, при которой во всем теле одна из компонент вектора смещения равна нулю иг = 0), а компоненты и , Uy зависят только от х, у. При этом тождественно обращаются в нуль компоненты и , . Uyz тензора деформации, а с ними и компоненты уг тензора напряжений (но не продольное напряжение а , существование которого должно обеспечить постоянство длины тела вдоль оси 2). [c.32]

После того как мы таким образом исключили вовсе смещение г, мы можем рассматривать пластинку просто как некоторую двухмерную среду (упругая плоскость), не обладающую толщинок, и говорить о векторе деформации и как о двухмерном векторе с двумя компонентами и Uy. Еслн Ру — компоненты внеш-г.ей объемной силы, отнесенной к единице площади пластинки, то общие уравнения равновесия гласят [c.70]

Поскольку все деформации предполагаются малыми, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упругие колебания или волны. Начнем с рассмотрения плоской упругой волны в неограниченной изотропной среде, т. е. волны, в которой деформация и является функцией только от одной из координат, скажем, от л (и от времени). Все производные по у и г в уравнениях (22,2) исчезают. и мы получаем для отдельных компонент вектора и следующие уравнения [c.125]

Истинный вектор деформации и в волне является суммой векторов Uj и U,, компоненты каждого из которых удовлетворяют уравнению (24,1) со скоростью с = С для U и с = i для Ui. В случае объемных волн в неограниченной среде эти две части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае же поверхностных волн такое разделение на две независимые части оказывается (благодаря наличию граничных условий) невозможным. Вектор смещения и должен быть определенной линейной комбинацией векторов и, и По поводу этих последних надо также отметить, что они отнюдь не имеют теперь наглядного смысла [c.134]

Определим положение точки А х, у, z) до деформации радиус-вектором г. После деформации точка А х, у, г) переместится в положение А (х, у, z ), определяемое радиусом вектором г. Вектор АА =г —г= = U( , V, со) назовем вектором смещения, и, V, (О — компоненты вектора смещения по осям х, у, z. Очевидно, что [c.120]

В статических задачах термоупругости температурное поле является стационарным. Задачи, в которых не учитывают эффект связанности температурного поля деформаций, а также силы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем, называют квазистатическими. В этих задачах тепловые напряжения в упругом теле в рассматриваемый момент времени определяются при известном температурном поле (время здесь является параметром). При решении задач термоупругости в качестве основных неизвестных принимают компоненты вектора перемещений или тензора напряжений. В соответствии с этим различают постановку задачи термоупругости в перемещениях или в напряжениях. Во всех случаях, если это особо не оговаривается, упругие и термические коэффициенты предполагают постоянными. [c.91]

Компоненты вектора деформаций Э = + Э2Р2 определяли из выражений [c.341]

ПЛОСКОМ вапряженном состоянии. Определим упругодиссипативные характеристики многослойного материала (см. рис. 8.3) при плоском напряженном состоянии. Будем считать, что слои деформируются одинаково [см. (8.23)], а средние для пакета слоев напряжения определены формулами (8.22). При идеальной взаимосвязи слоев потери энергии в многослойном композите при циклическом нагружении равны сумме потерь энергии в монослоях. Потери за цикл нагружения в к-м слое определяются с помощью матрицы УДХ по деформациям через амплитудные значения компонент вектора деформации, или с помощью матрицы УДХ монослоя по напряжениям [ф у] через амплитудные значения напряжений. [c.257]

Фиг. 12.2. Компоненты перемещения для трехмерного симплекс-элеме1зта. Запашем компоненты вектора деформаций е

Если имеют место уравнения несовместности (IV. 186), то поле вектора смещений нельзя определить по полю тензора деформаций, так как условиями интегрируемости равенств (IV. 69) относительно компонент вектора смещений является выполнение условий совместности. Это физически объясняется также тем, что инородная материя, характеризуемая тензором г),й, определяет дополнительное поле некоторого тензора деформаций. В этом случае увеличивается количество функциональных степенен свободы сплошной среды. Вместо трех степеней, определяемых компонентами вектора смещений, среда получает шесть степеней свободы, определяемых кохмпонентами тензора деформаций в трехмерном пространстве. Введение четвертого измерения также подлежит отдельному рассмотрению. [c.535]

Добавление 1.3. Решим задачу об изменении площади элемента поверхности в теле при его деформации. Для этого рассмотрим два вектора daj и dttj, исходящих из одной и той же точки о. Площадь элементарного параллелограмма, построенного на векторах йа, и равна модулю векторного произведения daiXda2 = d5o- В декартовой системе компоненты вектора dS определяются по формуле (см. приложение I) [c.11]

Для того чтобы выразить отношение k = d5/d5o через компоненты вектора и, используем формулы, связывающие площади dSoi и d5j проекций ориентированных площадок d5o и dS,- на плоскости, перпендикулярные координатным волокнам а = onst (напомним, что переменные d рассматриваются как криволинейные координаты точки х = х а) после деформации) [c.277]

Решение. Выбираем оси координат в направлениях ребер куба. Пусть ось вырезанного из кристалла стержни имеет направление единичного вектора п. Тензор напряжений в растянутом стержне должен удовлетворять следующим условиям должно быть = рп(, где р — действующая на единицу площади оснований стержня растягивающая сила (условие на основаниях стержня) для направлений t, перпендикулярных п, должно быть = О (условие на боковых сторонах стержня). Такой тензор должен иметь вид а,/, == pntnk. Вычислив компоненты дифференцированием выражения (10,10) ) и сравнив ия с выражениями Oiit = pnjfife, получим для компонент тензора деформации выражения [c.59]

Введя, таким образом, векторхарактеризующий деформацию, и выяснив его свойства, мы можем вывести выражение для упругой свободной энергии изогнутого стержня. Упругая энергия (отнесенная к единице длины стержня) является квадратичной функцией деформации, т. е. в данном случае квадратичной функцией компонент вектора й. Легко видеть, что в этой квадратичной форме должны отсутствовать члены, пропорциональные кли Действительно, поскольку стержень однороден вдоль [c.99]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...