Ряды Ляпунова

Таким образом, в рассмотренных двух случаях задача об устойчивости периодического невозмущенного движения решается полностью рассмотрением только уравнений первого приближения, т. е. системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. А задача об устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами, как было указано выше, приводится к определению характеристических показателей, которые всегда могут быть вычислены, по крайней мере приближенно, с помощью рядов Ляпунова. [c.112]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЛЯПУНОВА 289 [c.289]

Доказательство сходимости рядов Ляпунова [c.289]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЛЯПУНОВА 291 [c.291]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЛЯПУНОВА 293 [c.293]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЛЯПУНОВА 297 [c.297]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЛЯПУНОВА 301 [c.301]

Поэтому ряды Ляпунова (6.50) заведомо остаются сходящимися абсолютно и равномерно при /п <0,18, а стало быть, например, они пригодны для построения теории движения восьмого спутника Юпитера. [c.302]

В работе М. С. Петровской показано при помощи построения другого усиливающего ряда, что ряды Ляпунова продолжают оставаться сходящимися, пока абсолютное значение т не превышает предела 0,21. [c.302]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЛЯПУНОВА 303 [c.303]

Примечание 2. Все рассмотренные в этой главе резуль таты, касающиеся доказательства сходимости рядов Ляпунова относятся к рядам, расположенным по степеням параметра т коэффициентами которых являются тригонометрические много члены относительно синусов и косинусов целых кратностей т [c.303]

Несмотря на принципиальную важность, теорема Ляпунова не дает формальных правил преобразования уравнений с периодическими коэффициентами. Поэтому для выбора новой координатной системы (новых переменных) используется дополнительная информация в виде условия неизменности (инвариантности) процессов электромеханического преобразования энергии и энергетических соотношений относительно координат. Совместный учет математических условий преобразования и дополнительной информации в некоторых случаях делает выбор новой координатной системы однозначным. Иногда же выбор осуществляется путем сравнительного анализа ряда возможных координатных систем. [c.83]

Первая теорема Ляпунова. Если потенциальная энергия V (q) консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и если это обстоятельство устанавливается из рассмотрения членов второй степени в разложении V (q) в ряд по степеням, q, то это положение равновесия неустойчиво. [c.228]

Рассматривая методы А. М. Ляпунова, следует признать, что второй метод имеет большую общность, чем первый. В частности, теоремы I и II, доказанные первым методом, можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. Затруднения, возникающие при применении второго метода, зависят от отсутствия известных правил, которые позволили бы в конкретных задачах строить функции V А. М. Ляпунова. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопрос об общих методах построения функции V в различных задачах механики. Эти затруднения в настоящее время в значительной степени преодолены ). Начиная примерно с тридцатых годов XX в. появился также ряд исследований о существовании функций А. М. Ляпунова для определенных классов задач. [c.346]

Если проанализировать работы этих ученых, го становится ясным, что ими был решен вопрос о свойствах первого приближения, полученного способами, отличающимися от способа А. М, Ляпунова. При этом выяснилось, что в ряде случаев первое приближение позволяет ответить па вопрос об устойчивости движения. Этот результат аналогичен рассмотренным здесь результатам исследований А. М. Ляпунова. [c.347]

Вторая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия имеет максимум и наличие этого максимума может быть установлено из рассмотрения членов наименее высокого порядка, которые действительно имеются в разложении потенциальной энергии в степенной ряд. [c.341]

Однако в пользу применения нормального распределения имеются очень серьезные основания. Его особое значение связано со следующими обстоятельствами в тех частых случаях, когда суммарная погрешность появляется в результате совместного действия ряда причин, каждая из которых вносит малую долю в общую погрешность, по какому бы закону ни были распределены погрешности, вызываемые каждой из причин, результат их суммарного действия приведет к гауссовому распределению погрешностей. Эта закономерность является следствием так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, [c.34]

В настоящей главе изложены методы исследования на устойчивость неоднородно-стареющих вязко-упругих стержней при различных предположениях о способах закрепления концов стержня и способах его нагружения и установлены условия устойчивости. Устойчивость изучена в нескольких принципиально отличных постановках. Принятое ниже определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определению устойчивости движения динамических систем по Ляпунову. Для ряда ситуаций получены выражения критической силы потери устойчивости, сформулированные непосредственно в терминах параметров рассматриваемых задач. Представляет интерес поведение стержня на конечном интервале времени. Приведены постановки задач устойчивости на конечном интервале времени, исходящие из определений устойчивости движения динамических систем по Четаеву [1, 513]. Одна из постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени состоит в определении ограничений на начальную погибь, при выполнении которых определяемый ею прогиб не превосходит заданного критического значения. Другая постановка задачи может быть связана с определением функционала, представляющего собой первый момент времени, именуемый критическим, к гда максимальная величина прогиба впервые достигает заданного значения. [c.230]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

В настоящее время для исследования устойчивости имеется ряд методов, в частности, два метода Ляпунова, в которых используется так называемая функция Ляпунова ), отыскиваемая применительно к исследуемой системе. Общих методов отыскания функций Ляпунова для нелинейных систем не существует. На этом самостоятельном вопросе останавливаться не будем. Обсудим лишь исследование устойчивости по первому приближению, используя при этом теоремы Ляпунова. [c.72]

Численное решение системы (3) не позволяет судить о степени влияния различных параметров на устойчивость равновесия номинальной точки БП в малом (в смысле Ляпунова). Для анализа устойчивости номинальной точки используем первую теорему Ляпунова [3]. Линеаризуем функции (4), входящие в правые части уравнений (3), в окрестности исследуемой равновесной точки Хах) разложением в ряд Тейлора с удержанием первого члена. После линеаризации система уравнений (3) приобретает вид [c.77]

Трудности практического использования прямого метода Ляпунова нередко связаны с тем обстоятельством, что в общем случае неизвестен способ построения функции Ляпунова. Ряд приемов построения этой функции разработан при введении некоторых ограничений, которым в каждом конкретном случае соответствует область применения полученных при этом результатов [57, 591. [c.75]

Теорема Ляпунова предполагает возможность разложения потенциальной энергии системы в окрестности положения равновесия в ряд по степеням обобщенных координат, отсчитываемых от этого [c.378]

Определяя содержание горючих в отобранных из одной и той же пробы уноса навесках, мы получаем ряд случайных, не совпадающих между собой значений. Причиной расхождений являются различия в температуре печи, ошибки взвешивания, неоднородность навесок и ряд других не контролируемых нами факторов. Влияние каждого из них незначительно, каждый действует самостоятельно, и поэтому можно прийти к выводу, что распределение будет нормальным. Чем уже интервал колебаний этих величин, тем с большим основанием можно утверждать, что синтезируемый результат (например, к. п. д.) имеет нормальное распределение. В случае с газовым анализом, приведенным в 4-2, принцип Ляпунова оказался нарушенным, так как появился сильно действующий фактор пристрастного и притом одностороннего отбора. [c.62]

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы. [c.265]

Эти работы вызвали длительную дискуссию Ляпунова с английским ученым Дж. Дарвином (1845—1912) по вопросу о фигурах равновесия, которые А. Пуанкаре назвал грушевидными. Дарвин отстаивал устойчивость этих фигур и на этом построил гипотезу развития двойных звезд. Ляпунов опроверг мнение Дарвина и опубликовал ряд замечательных работ, в которых дал безукоризненное математическое доказательство своего утверждения. Таким образом, возникшая полемика закончилась победой русского ученого. Еще через несколько лет, в 1917 г., Дж. Джинс обнаружил ошибку в вычислениях Дарвина, приведшую к неверному выводу об устойчивости грушевидных фигур. [c.266]

Примечание 1. Полученный предел значения т, который обеспечивает сходимость рядов Ляпунова, представляющих решение задачи Хилла, не является, разумеется, окончательным, так как его получение основано на применении усиливающих рядов, являющихся все же довольно грубым инструментом для вывода точных оценок. [c.302]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Приведем формулировку одной из теорем Ляпунова если отсутствие минимума потенциальной энергии П в исследуемом положении равновесия обнаруживается уже по членам второго порядка или вообш е по членам наименьшего порядка) в разложении функции Л qi, <72,, Qs) в ряд Тейлора, то равновесие неустойчиво. [c.43]

Во введении к первому тому мы отметили выдающиеся результаты, полученные о теории усюйчивости М. Е. Жукооскп.м и А. М. Ляпуновым. Следует также отметить исследования в этой области Э. Раута. Особо важные результаты получены А. М. Ляпуновым, создавшим наиболее совершенную для его времени теорию устойчивости движения. Мы рассмотрим некоторые результаты, полученные Л. М. Ляпуновым при изучении основных положений этой теории. Исследования А. М. Ляпунова успешно продолжали и развивали советские механики Н. Г. Четаев, В. В. Степанов, Г. В. Каменков и др. Кроме исследований по общей теории устойчивости эти ученые решили ряд конкретных задач техники, связанных с теорией регулирования движения машин и т. д. [c.38]

В ряде случаев достаточно эффективны классические способы разложения решений по степеням малого параметра, связанные с именами Остроградского, Ньюкома, Линдштедта, А. Пуанкаре, Ляпунова и А. Н. Крылова 2). А. М. Ляпунов и А. Н. Крылов усовершенствовали классический метод разложения по степеням малого параметра. Это позволяет назвать метод их именами. [c.297]

Примем стационарное движение спутника за невозмущенное п исследуем его устойчнвостг с помощью теоремы Рауса и дополнения Ляпунова, Положим г / -2-, внесем это н выражение (3.32) для функции W 1[ разложим ра.зностг. W — W в ряд ио степеням. т н 6 [c.92]

В дальнейшем Л. И. Лурье в ряде работ развил идеи, за. гоженные в первой публикации, построил функцию Ляпунова для общего случая, охватывающего весьма широкий класс регулируемых систем, и получил систему алгебраических уравнений, решение которой определяют достаточные условия абсолютной устойчивости. В монографии [33], опубликованной в 1951 г.. А, И. Лурье довел применение прямого метода Ляпунова к исследованию [c.261]

Дж. В. Стрэтт (лорд Рэлей, 1842—1919) в своем труде Теория звука впервые изложил расчеты ряда колебательных процессов с последовательным учетом нелинейных свойств колебательных систем. В современной теории колебаний используются также математические методы, развитые А. Пуанкаре (1854—1912) в его работах по небесной механике нашли применение и исследования А. М. Ляпунова (1857—1918) по устойчивости движений и методы расчета колебательных движений, развитые А. Н. Крыловым (1863—1945). Очень большое значение для формирования теории колебаний имели основополагаюш,ие работы Ван дер Поля (1889—1959) по колебаниям в некоторых нелинейных системах и общие исследования колебательных процессов в нелинейных системах, проведенные А. А. Андроновым (1901 —1952), развившим учение о самоподдерживающихся колебательных процессах, названных им автоколебаниями. Этот термин в настоящее время является общепринятым. [c.10]

Монография посвящена ряду фундаментальных задач теории нелинейных волн и важнейшим строгим результатам их исследования. На основе современных топологических методов, методов теории ветвления нелинейных операторных уравнений рассмотрены уравнения теории нелинейных волн А. И. Некрасова, Кортевега — де Фриза, Бюргера, Уизема и др. Описаны методы, позволяющие установить существование решений и проводить их построения метод Ляпунова — Шмидта, метод осредненных лагранжианов Уизема, метод обратной задачи рассеяния и др." Высокий математический уровень книги сочетается с доступностью иг1ЛО-жения. Для чтения книги достаточно знакомства с элементами функционального анализа, которые компактно изложены в приложении. [c.135]

В дальнейшем, опираясь на работы советских математиков А. А. Маркова, А. М. Ляпунова, А. Н. Колмогорова и их учеников, ряд ученых разработал стройную математическую теорию сигналов. Важнейшими явились работы американского инженера К. Е. Шеннона (1948 г.), советских исследователей В. В. Солодовникова (1952 г.) и А. А. Харкевича (1955 г.). В результате этих работ получили математическое обоснование вопросы количественной оценки информации, надежности ее передачи, кодирования сооб-ш ений, формы сигналов, их преобразования и передачи. Другими словами, кончалась пора интуитивных поисков при проектировании средств передачи информации — были получены достаточно точные критерии для сравнительной оценки различных систем связи. [c.391]

В 20 в. интенсивно развиваются теория нелинейных колебаний, основы к-рой заложены Ляпуновым и А. Пуанкаре (Н. Poin are), М. тел перем. массы и динамика ракет, где ряд исходных исследований принадлежит И. В. Мещерскому (труды кон. 19 в.) и К. Э. Циолковскому. В М. сплошной среды появляются два раздела аэродинамика, основы к-рой созданы Жуковским, II газовая динамика, основы к-рой заложены С. А. Чаплыгиным. [c.128]

Прямой метод Ляпунова и каноническое преобразование системы дифференциальных уравнений. Учение Ляпунова об устойчивости движения, в том числе и его второй (ирямой) метод,, подробно изложено в ряде монографий [1, 8, 69, 74, 77, 113]. Ниже дается краткое изложение второго метода без его подробных доказательств в объеме, необходимом для рассмотрения задачи об устойчивости движения описываемого гидропривода объемного управления. [c.531]

Особенно бурно и широко развивалась теория колебаний, в которой методы Ляпунова тоже нашли плодотворное применение. Нелинейные колебания, изучение которых стало первоочередной задачей к началу 20-х годов, стали в сущности предметом новой научной дисциплины, получившей название (пожалуй, не совсем точное) нелинейной механики. Уже к началу 30-х годов советская механика занимает в этой области ведущее положение благодаря трудам школы Л. И. Мандельштама (1879— 1944), Н. Д. Папалексн (1880—1947), А. А. Андронова (1901 — 1952), широко применявшей методы Ляпунова и Пуанкаре, и трудам Н. М. Крылова (1879—1955) и Н. Н. Боголюбова, использовавших главным образом асимптотические методы, родственные методам небесной механики. Развитие современной теории нелинейных колебаний в ряде других стран, например в США, началось с изучения переводных трудов советских ученых. [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...