Колебания упругой пластинки

Колебания упругой пластинки. Рассмотрим упругую пластинку, конец которой А зажат неподвижно (рис. 199). Если на систему не действует никакая внешняя сила, то пластинка занимает положение устойчивого равно- [c.74]

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ПЛАСТИНОК МЕТОДОМ ЛИНИЙ ОДИНАКОВОГО СМЕЩЕНИЯ [c.181]

Несмотря на то что исследованию поперечных колебаний тонких упругих пластинок в последние годы уделяется большое внимание, известно лишь относительно небольшое количество точных решений. Обш,ие методы нахождения решений таких задач разработаны достаточно хорошо, однако для проведения детального исследования конкретной задачи требуется выполнение значительного объема работ. В предлагаемой статье излагается более удобный метод решения таких динамических задач, в частности для приближенного определения основной "частоты колебаний упругих пластинок е произвольным внешним контуром, подверженных гармоническим колебаниям. [c.181]

Исследование поперечных колебаний упругих пластинок 183 [c.183]

Если уравнения (67) описывают колебания упругой пластинки или оболочки, то, как показано в статье [2], распределение (70) имеет место лишь в случае нагрузки, дельта-коррелированной в пространстве. [c.543]

Примеров гармонического прямолинейного колебания можно привести очень много. При качании длинных маятников с малыми углами отклонения от вертикали нижний конец маятника совершает гармонические колебания, причем ввиду большой длины маятника можно дугу круга принимать за прямолинейный отрезок. Точно так же, если закрепить один конец упругой пластинки и привести в движение другой, то последний при малых отклонениях будет совершать гармоническое колебательное движение, тем больше приближающееся к прямолинейному, чем длиннее пластинка или чем меньше размахи ее колебания. [c.148]

Явление резонанса представляет собой один из наиболее удобных способов измерения частоты колебаний. Располагая набором резонаторов (колебательных систем с малым затуханием), частота которых заранее известна, можно определить частоту внешней силы. Частота эта совпадает с собственной частотой того из резонаторов, который наиболее сильно колеблется под действием внешней силы. Этот принцип используется, например, в язычковом частотомере,.который представляет собой набор упругих пластинок с массами на концах. Каждая пластинка является колебательной системой, собственная частота которой определяется массой и упругостью пластинки. Частоты собственных колебаний этих пластинок заранее известны. При колебаниях [c.607]

Продемонстрировать этот случай можно при помощи следующей установки (рис. 420). На упругой пластинке Ki укреплена масса т, подобранная таким образом, что парциальная частота этого резонатора заметно отличается от удвоенной ) частоты технического переменного тока. Однако, несмотря на несовпадение частот, под действием сильного электромагнита, питаемого переменным током пластинка К все же совершает заметные вынужденные колебания. Но если на этой пластинке укрепить другую Кг, парциальная частота которой точно равна удвоенной частоте переменного тока, то эта вторая пластинка будет очень сильно раскачиваться (рис. 420, б), а колебания пластинки Ki заметно ослабеют. Если эту вторую пластинку ( успокоитель ) Кг задержать рукой так, чтобы она не смогла колебаться, то снова начинает сильно раскачиваться пластинка /С] (рис. 420, в). [c.642]

Более сложным примером связанных колебаний являются колебания мембран, представляющих собой тонкие упругие пластинки или пленки. Колебания каждой точки мембраны кроме размеров, массы и силы натяжения мембраны зависят также от положения точки на мембране, т. е. от двух координат. Поэтому нормальным колебаниям мембраны соответствуют уже ие отдельные узловые точки, а узловые линии, которые ирн данном колебании остаются [c.198]

Для приближенного описания упругих колебаний прямоугольной пластинки со сторонами 2а и 2Ь, опертой по контуру и имеющей толщину /г, пластинку приводят к системе с одной степенью свободы, сосредоточивая часть ее массы в центре пластинки. Определить коэффициент приведения, приняв в качестве уравнения изогнутой сре- [c.172]

Храповое колесо 1 приводится во вращение механизмом, не показанным на рисунке. При нажатии на кнопку 2 штифт а, затормаживающий колесо 1, освобождает его, а рычаг 3, войдя в вырез оси кнопки 2, удерживает штифт а в отведенном положении. Храповое колесо 1 начинает вращаться с возрастающей скоростью. После непродолжительного разгона колеса 1 при скорости, не превышающей нормальную для данного прибора, поворотом рычага 4 освобождают упругую пластинку 5. Пластинка 5, придя в соприкосновение с зубьями храпового колеса 1, начинает совершать колебательные движения. При отклонении пластинки 5 вниз она ударяется о зуб, затормаживая колесо 1 и получая движущий импульс. За время одного полного колебания пластинки 5 храповое колесо 1 поворачивается на один зуб. Для регулировки периода и амплитуды колебания пластинки 5 применяется успокоитель 6 с фетровой подушкой на конце, который посредством пружины 7 прижимается к пластинке 5, изменяя ее действующую длину. Поворачивая тиски 8 относительно неподвижной оси А, [c.378]

В заключение Эйлер указал, что уравнением (с) можно воспользоваться для определения абсолютной упругости пластинки Ек . Действительно,— писал он,— если заметить тон, который издает такая пластинка, одним концом заделанная в стенку, и воспроизвести такой же тон на струне, тотем самым узнаем число колебаний, совершаемых в одну секунду. Бели приравнять его выражению [c.171]

Многочисленные исследования были посвящены в XIX в. вопросу колебаний упругих тел, в том числе струн, стержней, пластинок и оболочек. Интегралы уравнений колебания упругого пространства для любых начальных условий были даны в конце 20-х годов Д. Пуассоном и М. В. Остроградским. Тогда же Пуассон обнаружил существование двух волн, распространяющихся но изотропному упругому телу с различными скоростями, относящимися как У"Ъ 1. Стокс показал впоследствии что более быстрая волна является продольной волной объемного сжатия материала, а более медленная— поперечной волной вихря смещений, не вызывающей изменения плотности. В упомянутом выше мемуаре Пуассона (1829) рассмотрена и первая конкретная пространственная задача о колебаниях шара. Следует отметить исследо [c.58]

На основе метода коллокаций исследуются свободные колебания упругих шарнирно опертых или защемленных по наружным краям прямоугольных пластинок, имеющих центральный круговой вырез. Результаты исследований представлены в виде графиков, характеризующих изменение собственных частот колебаний пластинок в зависимости от размера выреза при различных значениях коэффициента Пуассона. Поведение кривых, отражающих зависимость частот колебаний от размеров выреза, не является монотонным, и размер выреза, при котором собственная частота колебаний минимальна, как оказалось, зависит не только от вида граничных условий на краях пластинки, но и от коэффициента Пуассона. Эти результаты, как и результаты предыдущих исследований колебаний пластинок с вырезами, по всей видимости, можно объяснить механизмом перераспределения напряжений в районе границ вырезов и уменьшением массы системы. [c.95]

В настоящем исследовании рассматриваются свободные поперечные колебания тонких однородных изотропных упругих пластинок, постоянной толщины h со свободным центральным круговым вырезом. Используя соотношения трехмерной [c.97]

Исследованию свободных колебаний изотропной пластинки ступенчатой толщины уже посвящено некоторое число работ. В работе [1] исследованы осесимметричные колебания кольцевой пластинки со свободным внешним краем. В работе [2] использован аналитический метод для вычисления собственной частоты колебаний шарнирно опертой прямоугольной пластинки. В работе [3], однако, показано, что используемые в [2] соотношения непрерывности являются неточными. В работах [4, 5] предложен численный подход для прямоугольной пластинки с закрепленными сторонами, упруго сопротивляющимися вращению. Однако в имеющейся литературе автор не обнаружил работ, посвященных исследованию свободных колебаний ортотропной пластинки ступенчатой толщины. [c.156]

Рассмотрим ортотропную прямоугольную пластинку, по--казанную на рис. 1(a). Стороны пластинки предполагаются параллельными осям упругости материала пластинки. Толщина пластинки принята равной /12 для области, определенной координатами ai х й2 и bi у Ь2, и равной hi на всей оставшейся области. Предположим, что пластинка разрезана на две части с толщинами hi и /гг. Согласно классической теории малых перемещений, свободные колебания прямоугольной пластинки толщины hi i — 1, 2) описываются уравнением [c.158]

В общих чертах такая же картина, как в ст[)уие, будет наблюдаться н при колебаниях упругих пластинок или пленок. Если упругую пленку, например тонкий лист металла, натянуть на рамку, то такая NK M6pana будет обладать также бесконечным числом нормальных колебаний. Частоты этих колебаний зависят от размеров и массы мембраны и ее натяжения. Но каждому нормальному колебанию соответствуют уже не отдельные узловые точки, а целые узловые линии, которые при данном колебании остаются в покое. Такие же узловые лннии существуют и при колебаниях упругой пластинки. Обнаружить узловые линии колеблющейся пластинки можно следующим образом. Если на металлическу]о пластинку насыпать слой мелкого песка и затем возбуждагь в ней колебания, проводя но краю пластинки смычкам, то песок [c.656]

К этому же времени относятся работы Ж. Лагранжа (1736— 1813) и Софи Жермен (1776—1831). Они нашли решение задачи об изгибе и колебаниях упругих пластинок. В дальнейшем теорию пластинок усовершенствовал С. Пуассон (1781—1840) и Навье (1785—1836). [c.5]

При исследовании малых колебаний упругих пластинок Эйлер исходил из не соответствовавших характеру задачи предпосылок и не получил удовлетворительного результата. То же относится к работам его последователей М. Е. Головина и А. Лекселля (см. гл. IX). [c.172]

В работе при помощи недавно разработанного метода исследуются основные собственные частоты колебаний упругих пластинок произвольной формы. В качестве примера рассмотрен случай эдлилтической пластинки как с защемленными, так и с шарнирно опертными краями. Полученные значения частот свободных колеоании с удовлетворительной точностью совпадают с аналогичными имеющимися в литературе данными. [c.181]

Скорость распространения упругих волн в кварце по разным направлениям несколько различна (ввиду анизотропии — различия упругих свойств в разных направлениях), но близка к 5500 м1сек. Поэтому, например, для пластинки толщиной в 5 мм частота собственных упругих колебаний составит около 550 ООО гц. Вырезая пластинки разной толщины, можно получить различные частоты собственных колебаний. В пластинке могут происходить упругие колебания других типов (продольные колебания по другим направлениям, колебания изгиба и т. д.), но в ультраакустике обычно пользуются только рассмотренным выше типом колебаний — продольными колебаниями по толщине пластинки. [c.744]

Другой метод пневматического возбуждения состоит в том, что колеблющееся тело само регулирует подачу воздуха, воздействуя на золотник или клапан или изменяя проходные сечения воздухопровода при колебаниях. В простейшей конструкции упругая пластинка, пере-крываюш,ая с малым зазором отверстие воздухопровода, приходит в резонансные колебания, так как при ее перемеш,ении зазор изменяется и давление воздуха иульси11ует с частотой колебаний пластинки. [c.385]

Роберт Гук (1635—1703) положил начало механике упругих тел, опубликовав в 1678 г. работу, в которой описал установленный им закон пропорциональности между нагрузкой и деформацией при растяжении. Томас Юнг (1773-1829) в самом начале XIX в. ввел понятие модуля упругости при растяжении и сжатии. Он установил также различие между деформацией растяжения или сжатия и деформацией сдвига. К этому же времени относятся работы Жозефа -Луи. Лагранжа (1736—1813) и Софи Жермен (1776- 1831). Они нашли решение зада чи об изгибе и колебаниях упругих иластинок. В дальнейшем теорию пластинок усовершенствовали С Пуассон (1781 — 1840) и Л. Навье (1785--I8361 [c.5]

Гребеников Е. А., Тынысбаев Б. Построение и решение стандартных систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания длинной вязко-упругой пластинки.— М. Препр. ИТЭФ-39, 1978, 17 с. [c.253]

Этот результат представляет собой случай изгиба пластинок, исиользоваиный впоследствии А. Надаи для экспериментального подтверждения приближенной теории изгиба ), предложенной Кирхгоффом. О другой интересной краевой задаче упоминается н Натуральной философии Томсона—Тэйта. Здесь сообщается по этому поводу До сих пор, к сожалению, математикам не удалось решить, а возможно, что они даже и не пытались решать, прекрасную задачу об изгибании широкой, весьма тонкой полосы (подобной, например, часовой пружине) в круговое кольцо ). Лэмб исследовал антикластический изгиб по краю тонкой полосы ) и достиг большого прогресса в решении задачи о балке ). Рассматривая бесконечно длинную балку узкого прямоугольного сечения, нагруженную через равные интервалы равными сосредоточенными силами, действующими поочередно вверх и вниз, он упростил решение двумерной задачи а для некоторых случаев получил уравнения кривых прогиба. Таким путем было показано, что элементарная теория изгиба Бернулли достаточно точна, если высота сечения балки мала в сравнении с ее длиной. При этом было также показано, что поправка на поперечную силу, даваемая элементарной теорией Рэнкина и Грасхофа, несколько преувеличена и должна быть снижена до 75% от рекомендуемого этой теорией значения. Надлежит упомянуть также и о труде Лэмба, посвященном теории колебаний упругих сфер ) и распространению упругих волн по поверхности полубесконечного тела ), а также в теле, ограниченном двумя плоскими гранями ). Он изложил также и теорию колебаний естественно искривленного стержня ). Особый интерес для инженеров представляет его и Р. В. Саусвелла трактовка колебаний круглого диска ). [c.407]

Интерес к проблеме колебаний пластинок значительно оживился благодаря многочисленным и эффектным экспериментам Хладни. На французском языке Трактат по акустике Хладни был издан в 1809 г., и в этой же книге помещена программа конкурса, объявленного Парижской академией наук на тему Дать математическую теорию колебаний упругих поверхностей и [c.270]

При помощи метода Рэлея — Ритца исследуются свободные изгибные колебания и упругая устойчивость кольцевых пластинок при действии равномерно распределенной внутренней растйгивающей силы причем в качестве функций, аппроксимирующих колебания пластинок для восьми различных типов граничных условий, например защемления, шарнирного опи-рания и свободного края, используются простые полиномы. Установлено, что критическая форма устойчивости для пластинок при действии внутреннего растяжения никогда не соответствует осесимметричной форме и пластинка всегда изгибается вначале с конечным числом окружных волн. Число окружных волн, образующихся в результате потери устойчивости, увеличивается с увеличением величины коэффициента, характеризующего размеры выреза, а также с увеличением величин геометрических констант на краях (как для пластинок, нагруженных внешним сжимающим давлением). Для характерных значений коэффициента интенсивности нагружения, равного отношению текущего значения нагрузки к критическому при потере устойчивости, получены точные значения собственных частот колебаний при различных значениях размеров вырезов, сочетаний граничных условий и для широкой области изменения числа окружных волн. Формы потери устойчивости и значения основной собственной часто.ты колебаний нагруженных пластинок зависели в каждом случае от граничных условий так же, как и от значения коэффициента, характеризующего интенсивность нагружения. Было обнаружено, что условное предположение для кольцевых пластинок при действии внутренних сил о том, что растягивающие (сжимающие) силы в плоскости пластинки увеличивают (уменьшают) собственную частоту колебаний, является справедливым только для осесимметричной формы. С увеличением порядка осесимметричной формы колебаний проявляется противоположная тенденция в поведении пластинки в том смысле, что собственная частота колебаний пластинки при действии внутреннего растяжения (сжатия) возрастает (падает) с увеличением величины нагрузки. [c.30]

Поскольку такая пластинка имеет разрыв материала, обусловленный узкой трещиной, динамическое поведение пластинки будет давать различные по отношению к сплошной пластинке собственные частоты и формы колебаний, а также и распределение напряжений при изгибе. До настоящего времени информация по динамическому поведению таких пластинок отсутствует, поскольку большинство работ посвящено исследованию статической концентрации напряжений у вершины трещины при нагружении пластинки в ее плоскости [1, 2, 3]. Недавно рядом исследователей обсуждались стати-, ческие изгибные характеристики пластинок. В, 1960 г. Ноулс и Ванг [4] исследовали статический изгиб упругой пластинки, содержащей трещину. Позднее Уильямс [5], Редвуд [6], Сих и др. [7, 8] также исследовали аналогичную задачу. Однако практически не имеется работ, посвященных исследованию колебаний пластинок с трещинами, за исключением, пожалуй, работы Солески [9], применившего метод Фурье в исследо вании колебаний пластинки с шарнирно опертой трещиной, однако этот метод оказался непригодным в случае пластинок со свободными трещинаь 1и. [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...