Функция Крамерса

Релея — Джинса 151 Фронт пламени 298 Функция Крамерса 75 [c.461]

Заметим, что из дисперсионных соотношений (9.57), (9.58) для функций Грина следуют аналогичные соотношения Крамерса— Кронига для обобщенной восприимчивости (5.105), (5.106), справедливые и для квантовых систем. [c.175]

Принцип причинности, ограничивающий область интегрирования в выражениях (.1.6) и (1.9), приводит к определенным свойствам аналитичности функций x " ( oi, С02,. .., ш ). В результате возникают дисперсионные соотношения, которые в линейном случае являются хорошо известными соотношениями Крамерса — Кронига [c.13]

Задача Крамерса состоит в нахождении функции распределения молекул газа при следующих условиях (см. рис. 35). Газ заполняет полупространство х > О, ограниченное стенкой в плоскости X = О, будучи неоднородным из-за градиента г-компоненты массовой скорости вдоль оси который стремится к постоянному значению а при х >сх). Ясно, что такую ситуацию можно рассматривать как предельный случай плоского течения Куэтта (течение сдвига между двумя параллельными пластинами), когда одна из пластин отодвигается на бесконечность, в то время как отношение разности скоростей пластин к расстоянию между ними остается постоянным. [c.329]

В качестве примера применения вариационного метода рассмотрим решение задачи Крамерса (разд. 4 гл. VI) для БГК-модели [54] мы знаем, что данную задачу можно решить точно, но теперь игнорируем это обстоятельство. Если следовать методу, изложенному в разд. 12 гл. IV, то возмущение функции распределения можно выразить через единственный момент, а именно через <г-компоненту массовой скорости, V2> x). Дело в том, что плотность, температура и оставшиеся компоненты скорости остаются невозмущенными при линеаризованной постановке задачи (как нам известно из процедуры разбиения, использованной в гл. VI). Следовательно, можно записать интегральное уравнение для из, взяв соответствующий момент от [c.396]

Переход в систему координат Крамерса достигается унитарным преобразованием волновой функции [c.50]

Рис. 10.1. Нормированная волновая функция основного состояния атома водорода в системе координат Крамерса при трех значениях амплитуды колебаний свободного электрона о-кол = Г/ш . Расчеты работы [10.5] для поля линейной поляризации

Случай сложных атомов рассмотрен в работе [10.11] на примере поля циркулярной поляризации. В качестве потенциала атомного остова использовался модельный псевдопотенциал. В высокочастотном пределе построена система аналитических функций дискретного и непрерывного спектра во вращающейся системе Крамерса. Проведен расчет динамической поляризуемости атомов Ке, Кг и Аг в сильном поле излучения. Показано, что эффект сильного поля проявляется не только в изменении энергетического спектра (как выше в случае атома водорода), но и в перестройке одноэлектронного самосогласованного потенциала Хартри для атома в поле. Этот потенциал определяется параметрами лазерной волны. [c.259]

Описание потерь быстрой частицы требует релятивистского обобщения соотношений Крамерса-Кронига для функции отклика среды К [c.217]

Уравнения (2.2.3) и (2.2.4) связывают показатель преломления п и показатель поглощения и. Графики функций ш и. rt( o)— 1 в зависимости от частоты со для газа (рис. 2.2.2) в основных чертах дают представление о характере изменения п VI X вблизи резонансной частоты соо. На участках АВ и D показатель преломления возрастает с частотой. На участке ВС показатель преломления п убывает. Этот участок кривой описывает аномальную дисперсию. Отметим, что п является четной функцией относительно со, а х — нечетной. Кроме того, эти величины тесно связаны между собой. Это позволяет сделать вывод, что поглощающая среда всегда обладает дисперсией. Поскольку и и X являются составляющими одной функции, то это свидетельствует о возможности по известному показателю преломления найти показатель поглощения и наоборот. Более строго эта связь устанавливается так называемыми соотношениями Крамерса — Кронига. [c.54]

Отсюда сразу следует, что если рассматривать ш как комплексную переменную (о) = ш + гш"), то в случае пассивной среды величина является аналитической функцией в нижней полуплоскости комплексного ш ш" < 0), а в случае активной среды (т. е. в лазерах) она аналитическая в верхней полуплоскости. На этом основывается вывод (см., например, [8]) так называемых соотношений Крамерса — Кронига между вещественной и мнимой частями х = х1, - [c.28]

Кроме того, как показано в приложении Б, функция е(ка) также оказывается аналитичной в верхней половине комплексной плоскости ю, так что аналогичные соотношения выполняются и для е(кю). Соотношения Крамерса—Кронига (3.131) и (3.132), а также их аналоги для е(ка) оказыва ются весьма полезными при анализе экспериментальных данных, так как обычно на опыте измеряется либо только вещественная, либо только мнимая часть е(кю) [или е- (ка)]. Указанные соотношения позволяют по любой из этих частей непосредственно восстановить другую. [c.179]

Эта формула была выведена Крамерсом в 1923 г. Умножая на М+Ме и с помощью функции максвелловского распределения усредняя по скоростям электронов, получим спектральный коэффициент истинного [c.223]

Путем прямого вычисления проверить, что функция реакции (передаточная функция), связывающая напряжение на входе с током на выходе для последовательно соединенных емкости и сопротивления (задача 23.10), удовлетворяет соотношениям Крамерса — Кронига (задача 23.16). [c.550]

Приведенное выражение определяет 1" только для положительных со, однако, поскольку у " (со) является нечетной функцией со> это не приводит к трудностям при переходе к определению х ( ) из соотношений Крамерса — Кронига. Имеем [c.565]

Из (27.7) следует, чю К переворачивает спин, а функцию Блоха 1 )(Л, г) преобразует в г). 1е же соображения, как при выводе (20.20), показывают, что (к, г) со спином вверх вырождено по отношению к 1 >(—А, г) со спином вниз . Следовательно, и здесь справедлива теорема Крамерса Е(к) = Е[—к), но с дополнением, что оба собственных значения принадлежат состояниям с противоположно направленными спинами. Вырождение, связанное с обращением времени, не ограничено приведенным примером. Собственные значения, которые из соображения симметрии не должны быть вырожденными, могут оказаться таковыми из-за обраш,ения времени. [c.124]

В гл. V при рассмотрении временных корреляционных функций и их спектральных представлений (для брауновского движения и, в частности, на примере гармонического осциллятора) мы уже вводили функции Грина (запаздывающие) и их спектральные (частотные) представления (Фурье). Там же были получены для этого случая дисперсионные соотношения (Крамерса—Кронига), соотношения Грина—Кубо и флуктуационно-диссипационная теорема Кэллена—Вельтона. [c.164]

Метод В КБ (Венцеля, Крамерса, Бриллюэна). При исследовании периодических движений в механизмах могут быть слу чаи, когда в уравнении движения типа (9.51) функции p t) и f t) медленно изменяются по времени. Тогда функцию p t) по аналогии с уравнением консервативного типа (9.8) можно рас сматривать как медленно изменяющуюся собственную частоту. [c.175]

При медленном изменении (г), согласно методу Венцеля — Крамерса — Бриллюэна, вместо (5) для собственной функции можно написать [c.502]

Отметим, что между вещественной и мнимой частями е(т) существуют интегральные соотношения (формулы Крамерса— Кроиига), которые являются прямым следствием чрезвычайно общего физического принципа причинности. Они позволяют вычислить, например, функцию е (т), если известна для данного вещества функция е"(т) во всем диапазоне частот т. Поэтому для полной характеристики оптических свойств среды в феноменологической теории достаточно знать (например, из эксперимента) только одну из этих функций, скажем Е"(т). [c.78]

Вследствие стационарности можно ввести собственные функции и соответствующие собственные значения энергии в потенциале Крамерса-Хеннебергера [c.51]

На рис. 10.1 из работы [10.5] приведен вид волновой функции основного состояния атома водорода в колеблющейся системе координат Крамерса при значениях акол = Ю, 50 и 100 а.е. Координата z направлена вдоль оси поляризации линейно поляризованного поля, а координата р — поперечная координата цилиндрической системы координат. Видно, что возникает так называемая дихотомия, когда волновая функция концентрируется вблизи классических точек поворота кол вдоль оси z. [c.255]

Все асимптотические методы, которые мы обсудим, можно считать модификащ131ми методов Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) и стационарной фазы (СФ). Первый из них (ВКБ) более применим к дифференциальным уравнениям, а во втором (СФ) рассматриваются интегралы, содержащие быстро осциллирующие функции. В некоторых случаях метод стационарной фазы удобнее заменить методом наибыстрейшего спуска (НС), который позволяет точно учесть локализацию на комплексной плоскости стационарных точек фазового множителя. [c.340]

Венцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ) метод 157 Взаимная интенсивность 324 Взаимной когерентности функция 54 Взаимности теорема 56 Виньетирование 141, 142 Волновая оптика 249, 250 Волновое сопротивление вакуума 61 [c.651]

Квантование Бора-Зоммерфельда-Крамерса. В предыдущем подразделе мы нашли фазу волновой функции ВКБ-прибли-жения путём сшивки этого решения с функцией Эйри, разложенной в окрестности правой точки поворота Конечно, можно применить ту же процедуру и в левой точке поворота Это приводит к другому осциллирующему разложению энергетической волновой функции. Очевидно, что разложения, полученные справа или слева, должны приводить к тождественным результатам в любой точке посередине. Именно это условие приводит к квантованию энергии. [c.190]

Заметим, что интеграл действия 3 квантован в долях полуцелых значений 2тгЙ. Такое квантование по полуцелым, а не по целым значениям следует из фазового сдвига а = тг/4, который, в свою очередь, обязан своим происхождением приближённому выражению волновых функций в виде функций Эйри. Это утверждение становится ясным, если проследить происхождение множителя 1 /2. Данный результат был получен Г. Крамерсом в 1926 г. [c.191]

Эта замена справедлива, если т велико. Однако принцип соответствия ничего не говорит о том, при каком значении т мы должны вычислять эту производную. Подробный анализ стационарного уравнения Шрёдингера, проведённый Крамерсом с помощью функции Эйри приводит в конце концов к правильному квазиклассическому условию квантования [c.669]

Обработку данных по отражению Ю методом Крамерса — Кронига проводили с помощью таблиц работы [7] >, составленных для расчета частотных характеристик электрических цепей. При этом весь спектр отражения, построенный как функция частоты V в двойном логарифмическом масштабе, разбивали на 22 участка, каждый из которых аппроксимиро-Езли отрезком прямой. Для области частот О—12500 см величина коэффициента отражения принята постоянной и равной 12,8 /о в соответствии с измерениями на краю длинноволновой части исследуемого диапазона. При меньших частотах [c.148]

Заметим, что при переходе к точечным группам все более и более низкой симметрии спиновые функции в случае целочисленного спина в конце концов превращаются в 26 Н- 1 невырожденных функций, соответствующих 25+1 состояниям со (слегка) различными энергиями. В случае нолуцелого спина спиновые функции, наоборот, в пределе превращаются в функции, которые все еще дважды вырождены (учитывая упомянутое выше вырождение типов 1/21 впервые указано Крамер-сом, это остаточное вырождение существует потому, что, пока отсутствует магнитное поле, в любой атомной системе имеется дополнительный элемент симметрии — обращение времени. Иными словами, волновое уравнение инвариантно относительно замены t на —t (см. Вигнер [44] или Ландау и Лифшиц [26]). Такое вырождение, обусловленное обращепием времени, сейчас обычно называют вырождением по Крамерсу, а пары состояиий, подобные двум совпадающим состояниям (или пли двум компонентам состояния Ец (или E j , n/j), называют дублетами Кра.черса. [c.24]

Пусть / t) описывает реакцию физической системы на входной сигнал в форме б-функции, приложенный в нулевой момент времени. Функция / t), очевидно, должна быть равна нулю для отрицательных t, так как реакция системы не может опережать поступаюш,ий сигнал. Но функцию / t), равную нулю при отрицательных значениях t, можно представить в виде суперпозиции запаздываюш,их дельта-функций б (i — т), где все т положительны или равны нулю. Принимая, что мгновенным откликом системы можно пренебречь, т. е. что следует учитывать только т > О, с помош,ью результата предыдуш ей задачи показать, что веш,ественная и мнимая части функции реакции удовлетворяют соотношениям Крамерса — Кронига [c.549]

ИЗ соотношения (задача 24.7) между спектральными функциями для Рх ж а (л), и также из соотношения между среднеквадратичной флуктуацией рх и электрической поляризуемостью, получаемой из общего результата (задача 21.1). Показать, что искомый результат может быть также получен из соотношений Крамерса — Кронига, если предположить, что величина х (°°) равна нулю это эквивалентно предполюжению о том, что не существует мгновенного отклика поляризации, и поэтому является допустимым (задача 23.16). [c.567]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...