Уравнение Максвелла—Больцмана

С. Аррениус и Я. Вант-Гофф независимо друг от друга пришли к уравнению, связывающему константу скорости, температуру и энергию активации, причем это уравнение построено по типу уравнения Максвелла — Больцмана [c.297]

Распределение молекул и атомов по энергиям и координатам описывается известным уравнением Максвелла -Больцмана [c.467]

Теория переноса, называемая также теорией переноса излучения, берет свое начало с работы Шустера 1903 г. Основное дифференциальное уравнение этой теории называется уравнением переноса и эквивалентно уравнению Больцмана (называемому также уравнением Максвелла — Больцмана со столкновениями), используемому в кинетической теории газов [149] и в теории переноса нейтронов>). Такая формулировка является гибкой и способна описывать многие физические явления. Она с успехом применялась в задачах атмосферной и подводной видимости, морской биологии, оптики бумаг и фотографических эмульсий, а также при анализе распространения излучения в атмосферах планет, звезд и галактик. [c.164]

Уравнение (3-11) имеет форму закона Больцмана распределения энергии и закона Максвелла распределения молекул по скоростям и известно как функция распределения Максвелла — Больцмана. [c.98]

Оператор Фоккера—Планка, стоящий в правой части уравнения, описывает необратимость поведения частицы, связанную с трением (первый член) и диффузией в импульсном пространстве (второй член). Нетрудно убедиться, что стационарное решение, релаксацию к которому описывает уравнение Фоккера—Планка, соответствует распределению Максвелла—Больцмана [c.73]

Совершенно иначе обстоит дело, если мы пользуемся формулой распределения Максвелла - Больцмана. Обратим внимание на то, что химический потенциал л и объем ячейки а входят в уравнения (37.6) мультипликативно в виде одной и той же комбинации / а. Поэтому исключение л из системы этих двух уравнений означает одновременно исключение а. Следовательно, внутренняя энергия и оказывается функцией и Г и не зависит от а. Из формул (37.6) находим выражение [c.191]

Приходим к уравнению состояния РУ = N7. П-потенциал газа Максвелла - Больцмана может быть найден из (38.10) путем предельного перехода 1 [c.196]

Как мы уже видели в 37, уравнения, фиксирующие полное число частиц N и внутреннюю энергию V в приближении Максвелла -Больцмана, допускают исключение химического потенциала /г вместе с объемом ячейки а. В результате этого исключения получаем для внутренней энергии выражение [c.203]

Исследованию уравнений Колмогорова посвящена обширная литература. Применительно к задачам статистической динамики эти вопросы освещаются в монографиях [2, 10, 221. Однако известно по существу единственное аналитическое решение, описывающее случайные колебания нелинейной системы. Это стационарное распределение Максвелла—Больцмана для скорости и координаты [c.19]

Произведем сравнение построенного приближенного решения с известным точным результатом, который получается при дельта-коррелированном случайном воздействии на нелинейную вибро-защитную систему, описываемую уравнением (4.122). Совместное распределение координаты и (t) и скорости й (t) является распределением Максвелла—Больцмана [c.123]

Показать, что при наличии внешнего поля U г) стационарным решением кинетического уравнения Больцмана является функция распределения Максвелла — Больцмана. [c.240]

Это уравнение является основным уравнением кинетической теории газов. Его называют обычно уравнением Больцмана или Максвелла — Больцмана. Интеграл, стоящий в правой части уравнения, называется интегралом столкновений. [c.37]

Распределение примесных атомов относительно центра дислокации описывается обычно уравнением, подобным уравнению статистики Максвелла — Больцмана, которое справедливо для достаточно высоких температур [c.32]

Существует два частных случая [2, 4], для которых уравнение (68) имеет стационарное (р = 0) распределение, называемое распределением Максвелла—Больцмана [c.542]

Подчеркнем, что это уравнение дает наиболее вероятное распределение молекул в газе. Соотношение (5.13) представляет хорошо известное распределение Максвелла — Больцмана. [c.202]

В обычной теории переноса обе величины 5 и являются положительными, если перенос осуществляется дырками, т. е. пустыми состояниями в почти заполненной зоне. Уравнение (2.1) справедливо с положительным и- отрицательным знаками для дырок и электронов соответственно в широкой области значений /г. Если п достаточно мало, чтобы можно было применять статистику Максвелла—Больцмана, в формулу вводят дополнительный коэффициент , по порядку величины близкий к единице, величина которого зависит от механизма рассеяния [14]. Расхождения в знаках между и 5 можно, по-видимому, объяснить, используя представления о проводимости, вклад в которую дает более чем одна зона. Другая возможная интерпретация, основанная на справедливости формулы (2.1) для многих [c.36]

Решение уравнения Больцмана. Опишем в общих чертах метод Энскога решения уравнений Больцмана. Известно, что когда газовая смесь находится в термодинамическом и химическом равновесии, функция распределения задается классическим законом распределения Максвелла — Больцмана [c.31]

Мы показали, что равновесная функция распределения /ц(у) является решением уравнения (4.2). Будем называть ее функцией распределения Максвелла — Больцмана. Чтобы определить ее, прологарифмируем обе части уравнения (4.2) [c.86]

Предложенный здесь вывод распределения Максвелла — Больцмана никак не связан с данным ранее выводом, основанным на уравнении переноса Больцмана. Ни один из этих выводов не является строгим. В настоящем выводе сделаны предположения, которые мы не доказали, а в более раннем использовалось предположение о молекулярном хаосе, которое осталось недоказанным и не связано с использованными здесь предположениями. Настоящий способ вывода распределения Максвелла — Больцмана представляется более удовлетворительным, поскольку он яснее показывает статистическую природу этого распределения. Однако метод наиболее вероятного распределения не дает информации о неравновесном состоянии газа, в то время как уравнение переноса Больцмана позволяет получить ее. Следовательно, основная ценность уравнения Больцмана состоит в возможности его применения для описания неравновесных явлений. [c.99]

Уравнение переноса Больцмана строго справедливо для разреженного газа в тот момент, когда газ находится в состоянии молекулярного хаоса . Но мы видели, что столкновения могут разрушить возникшее состояние молекулярного хаоса . Таким образом, уравнение переноса Больцмана не может быть строго справедливым для всех моментов времени. Действительно, если бы уравнение переноса Больцмана было строго справедливым для всех моментов времени, то из него следовало бы, что распределение, которое первоначально представляло собой распределение Максвелла- Больцмана, должно всегда оставаться таковым. Из него следовало бы также, что стул [c.108]

Таким образом, при Х ->0 (7->оо) (11.12) переходит в уравнение (9.52), соответствующее случаю газа Больцмана. Средние числа заполнения (9.65) принимают вид, соответствующий распределению Максвелла — Больцмана [c.250]

Для невырожденных электронов в полупроводнике можно считать, что функция распределения /о в уравнении Больцмана в примере 4 совпадает с распределением Максвелла — Больцмана. Вычислить электропроводность для этого случая, полагая г р) = р 12т, X = А 1 v s, где Л>0и5> — 7 — постоянные. [c.402]

В результате получаем, что частным равновесным рещением кинетического уравнения Больцмана в отсутствие внешнего поля является распределение Максвелла [c.117]

Больцман также доказал, что равенство (7.34) является не только достаточным, но и необходимым условием обращения в нуль интеграла (7.33). Следовательно, распределение Максвелла является единственным рещением кинетического уравнения Больцмана в равновесном состоянии. [c.117]

Локальное распределение Максвелла (8.6) должно обращать в нуль и левую часть кинетического уравнения Больцмана [c.137]

Подставляя (7.42) в (7.40), найдем, что а з(г) = о(г) при условии, что uJ VrUo. Следовательно, равновесным решением кинетического уравнения Больцмана для газа во внешнем поле является распределение Максвелла — Больцмана [c.118]

Вариационный способ вывода плотностей вероятности для стационарных случайных процессов в нелинейных колебательных системах может быть распространен на уравнения более высокого порядка. Для рдномассовой системы таким образом получается распределение Максвелла—Больцмана [c.46]

Теоретический анализ взаимосвязанных физико-химических, динамических и радиационных процессов и явлений в средней и верхней атмосфере представляет чрезвычайно сложную задачу. Наиболее полное и строгое исследование подобной среды может быть проведено в рамках кинетической теории многокомпонентных смесей многоатомных ионизованных газов, исходя из системы обобщенных интегро-дифференциальных уравнений Больцмана для функций распределения частиц каждого сорта смеси (с правыми частями, содержащими интегралы столкновений и интегралы реакций), дополненной уравнением переноса радиации и уравнениями Максвелла для электромагнитного поля. Такой подход развит, в частности, в монографии авторов Маров, Колесниченко, 1987), где для решения системы газокинетических уравнений реагирующей смеси применен обобщенный метод Чепмена-Энскога. Однако ряд упрощений, часто вводимых при решении сложных аэрономических задач (например, учет только парных столкновений взаимодействующих молекул, предположение об отсутствии внутренней структуры сталкивающихся частиц вещества при определении коэффициентов молекулярного обмена и т.п.), существенно уменьшает преимущества, заложенные изначально в кинетических уравнениях. [c.68]

Уравнение нулевого порядка в (6.39) было решено ранее и в качестве было получено локальное распределение Максвелла — Больцмана. Это решение определяет р, и, и 9 согласно (6.16) — (6.18). Очевидно, что я-е уравнение содержит только функции /< > и /< > для Л < /г. Таким образом, можно надеяться последовательно решить эти уравнения, используя в качестве исходной функции локальное распределение Максвелла — Больцмана. Чтобы завершить изложение формальной схемы Чепмена — Энскога, необходимо только доказать суще< твование решения л-го уравнения. [c.147]

Из доказанной теоремы следует, в частности, что гауссовский функционал Ч = ехрЧ 2 является решением уравнения (29.27), лишь если он соответствует случайному полю скорости с равномерным распределением энергии по пространству волновых чисел (т. е. с F (k) = onst). Статистические свойства такого поля скорости в определенном смысле аналогичны статистическим свойствам газа, описываемого классическим каноническим распределением Максвелла — Больцмана. Однако такое поле скорости, очевидно, не обладает колмогоровской автомодельностью (при которой Е (k) т. е. F (k)k l ). Следовательно, характеристический функционал турбулентного поля скорости со спектром f (Л) удовлетворяющий уравнению (29.27), не может быть гауссовским (и вообще не может иметь вида (29.28)). [c.650]

Как и в случае статистики Максвелла — Больцмана, статистическую сумму можно представить в виде суммы произведений интегралов по группам, или подсистемам частиц. Однако группы могут существовать и при отсутствии прямого взаимодействия. Например, свободный Л-торон представляет группу Л-частиц, связанных между собой в силу их неразличимости. Уравнение (7.2) справедливо и для случаев систем фермионов или бозонов, если определение включает также диаграммы с торонами различных порядков [9, 17, 28]. На фиг. 14 показаны диаграммы, соответствующие величинам в этом более щироком смысле. [c.252]

Эти соотношения образуют систему замкнутых дифференщ1альных уравнений в частных производных. Уравнение Пуассона, являющееся одним из уравнений Максвелла, описывает распределение заряда в полупроводниковом приборе. Уравнения непрерывности описывают локальное равновесие между приходом и уходом электронов и дырок. Выражения для токов задают абсолютное значение, направление и ориентацию электронного и дырочного токов. Уравнения непрерывности и формулы для токов совсем не тривиально выводятся из уравнения Больцмана. Из-за ограниченности места привести здесь этот вывод нет возможности. Интересующихся читателей можно отослать к [15.172] и к литературе или монографиям по полупроводниковым приборам, например [15.18, 15.78, 15.136, 15.148]. [c.392]

Молекулярно-кинетический подход к исследованию опирается на изучение молекулярного (микродискретно-го) строения газа и поэтому лучше соответствует реальным условиям. Однако использование дифференциальных уравнений в частных производных требует возврата к гипотезе о квазисплошности среды и квазинепрерывности полей ее характеристик. Возникающее противоречие снимается с помощью перехода к макроскопическому описанию свойств и процессов через микроскопические свойства отдельных молекул среды, структура и элементарные процессы в которой дискретны. Этот переход осуществляется с помощью функций распределения Максвелла или Больцмана. При этом свойства среды выступают как осредненные по всем молекулам и как непрерывные функции координат и времени. [c.26]

Систему уравнений для вывода критериальных зависимостей исследуемого класса дисперсных теплоносителей получим, используя предложенную выше модель гетерогенной элементарной ячейки. Этот подход, по-види-мому, связан с минимальными физическими погрешностями, что существенно для теории подобия. Возникающая при этом математическая некорректность вывода соответствующих дифференциальных уравнений связана с тем, что к рассматриваемому молю гетерогенной системы в силу конечности его размеров и дискретности его 1компонентов неприменимы точные математические методы. Мож но полагать, что для дисперсных систем в принципе невозможно получить полностью корректную (одновременно с физической и формально-математической точек зрения) систему дифференциальных уравнений пока не будут предложены соответствующие функции распределения, аналогичные функциям Максвелла и Больцмана для газа. Поэтому в дальнейшем воспользуемся приближенным методом конечных разностей, дополнительно учитывая следующее [c.33]

Уравнение Эйлера (26а) определяет движение идеальной жидкости. Для получения уравнений гидродинамики реальной (вязкой) жидкости или газа надо искать решение уравнения Больцмана, отличное от локального распределения Максвелла. Мы получим тогда уравнения Навье—Стокса, Барнетта и т. д., в которых коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии выражаются через молекулярные характеристики. Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений термодинамики необратимых процессов. Такой вывод этих уравнений в общем случае выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь только характеристикой методов решения кинетического уравнения Больцмана и рассмотрим ряд частных задач статистической теории неравновесных систем. [c.142]

В 38 мы нашли единственное известное точное решение кинетического уравнения Больцмана — локальное распределение Максвелла V, t). Оно, как мы видели, описывает движение газа (идеальной жидкости), не обладаюшего ни вязкостью, ни теплопроводностью. Для того чтобы описать более реальное движение жидкости (газа), приходится искать приближенные решения уравнения Больцмана. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...