Математическая модель с распределенными параметрами

Математическая модель с распределенными параметрами содержит переменные, зависящие от пространственных координат, и представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных или систему интегро-дифференциальных уравнений. Важной характеристикой дифференциальных уравнений является их порядок, т. е. порядок старшей производной, которая входит в эти уравнения. Порядок производной по времени в большинстве динамических моделей процессов химической технологии — первый. Производные по координатам могут быть как первого, так и более высоких порядков. Модели обычно получаются в предположении о полном вытеснении (поршневом режиме течения) фаз. Производные второго порядка по координатам появляются в тех математических моделях, где учитывается перемешивание фаз. [c.5]

Математические модели нестационарных режимов тепло- и массообменных процессов химической технологии можно подразделить на два класса модели с сосредоточенными параметрами и модели с распределенными параметрами. [c.5]

Математическими моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие поля физических величин. Другими словами, на микроуровне используются модели с распределенными параметрами. В качестве независимых переменных в моделях могут фигурировать пространственные переменные х , х и время t. [c.114]

Если в математической модели систем КПТ, о которых шла речь в предыдущих параграфах, использовали дискретный метод описания движения, то для расчета систем КПТ с повышенной плотностью контейнеров применяют континуальные модели, т. е. модели с распределенными параметрами. [c.148]

Виды математических моделей определяются конкретными условиями протекания процессов в элементах или системе. Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве или только в пространстве, но по нескольким координатам, то такие модели называются моделями с распределенными параметрами и представляются в виде дифференциальных уравнений в частных производных. [c.144]

Эта система представляет собой математическую тепловую модель ЭМУ для средних температур его элементов, а исходная система из 11+Л тела (рис. 5.5) — ее топологическую интерпретацию, т.е. тепловую схему замещения, наглядно выражающую структурные связи при замене пространства с распределенными параметрами моделью с сосредоточенными параметрами. Данная ТС, представляя аналог, соответствующей электрической цепи, также позволяет в полной мере использовать методы и средства решения задач электротехники. [c.126]

В одномерной части тракта современных ОЭП, как правило, не встречаются звенья с распределенными параметрами. Вопросы построения математических моделей звеньев и эле иентов цифровой техники достаточно подробно освещены в литературе, поэтому в дальнейшем изложении основное внимание уделено аналоговым системам и звеньям с сосредоточенными параметрами. [c.70]

Ось пространственной координаты х совпадает с осью абсорбера и направлена снизу вверх точка х = 0 — нижняя, точка х = 1 — верхняя. В абсорбере, описываемом уравнениями в частных производных (2.1.1), в которые входят параметры 0о, 0l, 0G, распределенные по пространственной координате х, естественным образом выделяются точки входа в аппарат и выхода из него по каждому из потоков. Для газа точкой входа в аппарат является х — 0, точкой выхода — х=1, для жидкости точкой входа —J = /, а точкой выхода—х = 0. Аналогичное выделение точек входа и выхода может быть легко сделано в любой математической модели с параметрами, распределенными по одной пространственной координате. В соответствии с этим в каждой модели технологического объекта можно выделить три группы параметров. [c.38]

Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101]

При экспериментальном исследовании машин и транспортных средств нередко получаются сложные динамические характеристики, которые затруднительно воспроизвести с помощью математических моделей из небольшого числа участков простейшей формы с распределенными параметрами и набора сосредоточенных масс и жесткостей. При увеличении количества и размеров участков и количества сосредоточенных масс и жесткостей сложность вычислений быстро возрастает, достигая того предела, за которым невозможно просто воспользоваться какой-либо стандартной процедурой. Далее приходится прилагать все больше усилий для преодоления специфических трудностей вычислительной математики [1]. В этих условиях значительный интерес представляет построение специальных сложных структур и изучение их свойств с попыткой феноменологического подхода к выбору математической модели. [c.69]

В отдельную группу можно выделить методы анализа динамики гидросистем с распределенными параметрами (упругостью, массой, а иногда и сопротивлением). Эти методы развиваются в первую очередь для систем гидропрессов, в которых стремятся получить большие ускорения движущихся масс и не боятся ударов, и для гидропередач раздельного исполнения с длинными трубопроводами. Математический аппарат, используемый при этих исследованиях, весьма сложен, так как приходится решать дифференциальные уравнения в частных производных. Но они позволяют учесть распространенные волны давления по трубопроводу и выявить реакцию системы на высокочастотное возбуждение. Из-за математических трудностей решают пока частные задачи с ограниченным (один, два) количеством участков магистралей, в которых учитывается распределение жидкости по длине магистрали, для линейной модели гидросистемы [12, 27, 42, 45, 54, 58, 59, 64, 67]. [c.262]

Сложность теплотехнических объектов управления предопределяет необходимость упрощений, принимаемых на стадии выбора математической модели. Например, математическое описание динамики реальной системы с распределенными параметрами может производиться в форме обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Для расчета АСР достаточно располагать линейной моделью, которая получается в результате линеаризации исходного нелинейного уравнения. Методы построения математических моделей тепловых объектов на основе обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрены в [31, 38]. [c.466]

Математические модели парогенераторов как систем с сосредоточенными параметрами получаются из распределенных систем путем замены уравнений (2-12) или (2-13) уравнением (2-14), а уравнений (2-15) — (2-17) соответственно уравнениями (2-26) — (2-28). Все остальные эмпирические зависимости сохраняются теми же. В моделях с сосредоточенными параметрами также возможно сочетание подсистем во всех комбинациях, рассмотренных ранее. [c.51]

Вид составляющих математических моделей в значительной степени зависит от объекта проектирования и вида проектных работ, г. е. от уровня автоматизации проектирования. Можно построить иерархию математических моделей по иерархии объекта проектирования и по иерархии автоматизированных проектных работ. Так, для различных уровней иерархии объекта проектирования структурная модель может иметь вид формы, схемы, компоновки и структуры. Параметрические модели на уровнях иерархии объекта проектирования могут быть с распределенными параметрами, с сосредоточенными параметрами, непрерывные и дискретные. Поскольку структура данной книги построена по иерархии автоматизации проектных работ, в дальнейшем будут рассмотрены математические модели, соответствующие каждому уровню автоматизации проектирования с учетом особенностей, накладываемых уровнями иерархии объекта проектирования. [c.28]

После выбора динамической модели исследуемой машины (механизма) необходимо (для последующих исследований динамики) получить соответствующую ей математическую модель (уравнения движения). Для этого обычно пользуются (см. п. 5.1.6) для систем с сосредоточенными параметрами уравнениями Лагранжа П рода, для систем с распределенными параметрами — уравнениями Эйлера—Лагранжа [4]. [c.852]

С учетом тепловых процессов в рабочей среде математическая модель однородной линии с распределенными параметрами усложняется, так как добавляется уравнение распространения тепла в пространстве, занятом рабочей средой. Пример такой модели приведен в конце этой главы. [c.213]

В общем случае для анализа особенностей течения жидкости в тракте конкретного типа необходимо учитывать ряд физических свойств жидкости—сжимаемость, инерцию, вязкость. Нестационарное движение жидкости с учетом всех ее свойств описывается уравнениями гидромеханики (см. подразд. 2.2), решение которых вызывает большие трудности. Поэтому для упрощения анализа динамики пневмогидравлических систем целесообразно формировать математические модели, описывающие нестационарное течение жидкости, отдельно для низких частот (до 50 Гц) и для более высоких частот (до 500 Гц). Для низкочастотной области можно рассматривать участки гидравлических и газовых трактов ЖРД как системы с сосредоточенными параметрами, что существенно упрощает их математическое описание. При анализе динамики ЖРД в более широком диапазоне частот необходимо учитывать акустические эффекты. Соответственно приходится решать уравнения гидромеханики в частных производных, т. е. рассматривать участки трактов как системы с распределенными параметрами (см. подразд. 2.4, 3.3). [c.32]

Все приведенное ранее относилось к использованию сигнальных графов для формирования математических моделей ПГС, состоящих из агрегатов, описываемых как элементы с сосредоточенными параметрами. В ряде случаев такое приближение оказывается недостаточно обоснованным из-за большой длины трактов или расширения диапазона исследуемых частот. В настоящем разделе ограничимся рассмотрением ПГС ЖРД, участки трактов которых описываются как линейные элементы с распределенными параметрами. Для других ПГС этот вопрос рассмотрен далее. [c.137]

Описанный в данном разделе метод формирования линейной математической модели ПГС как системы с распределенными параметрами и получение на ее базе передаточных функций ПГС с использованием сигнальных графов имеет некоторые преимущества по сравнению с матричными методами, описанными в разд. 2.8. Благодаря исключению вариаций расходов в два раза уменьшается число переменных и уравнений. Соответственно каждый элемент ПГС описывается не матричным уравнением четырехполюсника, а одним линейным уравнением. Структура части сигнального графа, описывающей пассивную часть ПГС, полностью повторяет структуру описываемой части ПГС, что, с одной стороны, облегчает формирование графа, а с другой—делает граф более наглядным. [c.146]

Таким образом, при формировании математических моделей газовых трактов ЖРД, предназначенных для анализа процессов в области низких частот, в которой можно пренебречь акустическими эффектами, необходимо участок рассматривать и как элемент с сосредоточенными параметрами (емкость), и как элемент с распределенными параметрами (т. е. с учетом энтропийных волн). Далее будут выведены уравнения для неизотермического движения газа с использованием общих физических закономерностей. [c.155]

Движение в газовом тракте ЖРД неизотермическое, поэтому в его математическую модель как модель системы с распределенными параметрами кроме уравнений движения (2.2.21) и неразрывности (2.2.16) должно входить уравнение энергии. В качестве уравнения энергии при адиабатическом одномерном движении невязкого нетеплопроводного газа в тракте, характерном для трактов ЖРД, удобно использовать уравнение изменения энтропии [c.197]

Наиболее сложные математические модели и моделирующие системы рассматриваются при исследовании нестационарных тепловых процессов с учетом распределенности параметров. Для математического моделирования этих процессов применяются как аналоговые вычислительные машины (АВМ), так и электронные цифровые вычислительные машины (ЭВМ). В последние годы предпочтение отдается ЭВМ. Для математического моделирования стационарных тепловых процессов также главным образом используются ЭВМ. [c.7]

Построение математической модели таких теплотехнических объектов, как теплообменники с однофазным или двухфазным теплоносителем, может быть осуществлено с учетом распределенности параметров [42, 43]. Исходные уравнения в частных производных (уравнения сохранения энергии, сплошности, движения) решаются с учетом уравнений состояния, граничных условий и некоторых упрощающих допущений. Решение в области изображений по Лапласу позволяет получить выражения передаточных функций распределенной системы. Коэффициенты этих передаточных функций определяются с использованием теплофизических характеристик теплообменника. [c.466]

Следовательно, реальной системе с распределенными параметрами ставится в соответствие. тшнейная математическая модель, представляющая собой систему с конечным числом степеней свободы. При учете достаточно большого числа степеней свободы эта модель позволяет с необходимой точностью описать динамические свойства реальной системы в заданном частотном диапазоне. [c.375]

В качестве примера для изучения различных методов идентификации и управления была использована модель парогенератора барабанного типа с естественной циркуляцией продуктов сгорания жидкого топлива. Рассматривалась задача регулирования давления и температуры пара. Блок-схема этой части парогенератора была приведена на рис. 18.1.1. Передаточные функции отдельных блоков были получены с помощью математического моделирования нагревателя и испарителя реального парогенератора [18.5], [18.6] и приведены в приложении. Они хорошо согласуются с результатами измерений сигналов реальной установки. Нагреватель необходимо рассматривать как объект с распределенными параметрами. После проведения линеаризации трансцендентная передаточная функция для малых сигналов может быть аппроксимирована рациональной передаточной функцией с малой задержкой времени. Ошибки, возникающие при этих упрощениях, пренебрежимо малы. Объект управления с двумя входами/двумя выходами моделировался на аналоговом вычислителе, который был состыкован с управляющей ЭВМ типа НР21МХ. Чтобы упростить сравнение, в рассматриваемом примере шум объекта в модели не учитывался. Поскольку парогенератор обладает малым собственным шумом, влияние последнего на основные результаты данных исследований относительно мало. [c.501]

Основная цель этой главы заключается в рассмотрении двумерного моделирования технологических процессов и иллюстрации его применения в разработке технологии ИС. В предьщущих главах были рассмотрены основные вопросы одномерного моделирования, при этом особое внимание уделялось кинетическим процессам в многослойных структурах. Действительно, в существующей технологии часто используются слои оксида, нитрида, поликремния и силицида. Особый интерес представляет взаимодействие этих материалов с кремниевой подложкой и их влияние на те электрические свойства структур, которые определяются одномерными распределениями. Например, типичными параметрами прибора, значения которых представляют первоочередной интерес, являются пороговое напряжение канала, сопротивление заглубленных контактов истока и сопротивление растекания затворов. В отличие от этих параметров, расчет которых возможен по одномерным математическим моделям, имеется множество параметров, значения которых существенны для конструирования прибора и требуют для расчета достаточно точной аппроксимации двумерных профилей. Например, такие параметры, как емкость исток—подложка и напряжение пробоя, очень чувствительны к геометрии прибора. [c.249]

К примеру, для диапазона относительно низких частот (приблизительно до 50 Гц), характерных для многих задач динамики и управления ЖРД, его агрегаты и узлы можно в основном рассматривать как элементы с сосредоточенными параметрами, т. е. описывать обыкнрвенными дифференциальными уравнениями. Если же расширить диапазон рассматриваемых частот, то большинство узлов ЖРД (в том числе все его агрегаты и части с протоком жидкости или газа) необходимо рассматривать как элементы с распределенными параметрами и соответственно решать уравнения в частных производных. Решение же уравнений в частных производных—задача существенно более сложная, чем решение обыкновенных дифференциальных уравнений, сами решения оказываются существенно более громоздкими, требующими большего времени работы на ЭВМ. В то же время в области низких частот решения уравнений в частных производных совпадает с решением более простых обыкновенных диф ренциальных уравнений, т. е. никакого уточнения усложнение математической модели в этом случае не дает, но создает ощутимые трудности с решением. [c.8]

Гидравлические тракты связывают между собой ряд агрегатов, элементов ЖРД, которые ранее были описаны как элементы с сосредоточенными параметрами. Для формир10вания математической модели гидравлического тракта ЖРД, в которой участки тракта рассматриваются как элементы с распределенными параметрами, удобно и уравнения элементов с сосредоточенными параметрами, входящих в тракт, представлять в форме уравнений четырехполюсников. Например, уравнение для местного гидравлического сопротивления (2.1.16) при 6(ц7 ) = 0, где ц — коэффициент расхода, в обозначениях, принятых ранее для четырехполюсников, запишется (для амплитуд вариаций) в виде [c.125]

Оптимизация устройств СВЧ характеризуется рядом особенностей, которые обусловлены в первую очередь распределенным характером взаимодействия электромагнитных полей с элементами конструкции устройства. Реакции на воздействие внешних электромагнитных полей определяются внутренней геометрией устройства, и, таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению оптимальных функций, описывающих геометрию и законы изменения электрофизических параметров элементов. Задачи такого типа могут быть отнесены к оптимизационным задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами [133, 134]. Оптимизируемые функции (функции управления) в общем случае являются элементами бесконечномерных гильбертовых пространств, и, таким образом, задачи параметрической оптимизации устройства принципиально являются бесконечномерными. Отметим, однако, что построение математической модели, оптимизация н изготовление некоюрого устройства с весьма прихотливой внутренней геометрией затруднительны, а часто и невозможны. Поэтому иа практике ограничиваются использованием устройств, функция управления которых имеют простой вид (например, являются кусочно-постоянными). [c.38]

Для оценки пространственно-энергетического распределения поля упругих колебаний в нефтеводонасыщенных пластах с учетом триггерных эффектов моделировалось распространение упругих волн в конкретных геолого-физических условиях их залегания [18]. Построенная математическая модель с использованием имитационного метода Монте-Карло позволяет адекватно вводить в расчетные схемы реальные параметры насыщенного пласта коэффициент проницаемости пористой среды, коэффициент пористости, динамическую вязкость флюида, плотность материала скелета породы и флюида, модуль всестороннего сжатия скелета [c.266]

Можно згказать источники неопределенности двух типов при оперативном управлении нефтедобывающим производством. Прежде всего, невозможно построить такие математические модели объекта управления, которые позволили бы точно предсказать влияние управляющих воздействий на добычу нефти. Это объясняется рядом причин. Нефтеносный пласт - сложный объект с распределенными параметрами коллекторских свойств, а контроль состояния объекта может осуществляться только сосредоточенными измерителями на скважинах. Процесс фильтрации сопровождается многочисленными неконтролируемыми возмущениями. Поэтому возможно только приближенное моделирование пласта при этом исполь- [c.13]

Пример применения многомерного регрессионного анализа. Для практического использования эмпирических законов распределения необходимо получить зависимости экологических параметров с остальными параметрами, определяющими аварию Такие зависимости были получены с помощью программы многомерного регрессионного анализа УЫРР. Эта программа рассчитывает коэффициенты линейной полиномиальной регрессии и проводит автоматизированную отбраковку незначимых факторов. В регрессионном анализе одной из основных задач является выбор правильного, адекватного вида математической модели. С этой целью был проведен анализ различных видов моделей полиномиальные модели первого и второго порядка из класса линейного регрессионного анализа и с использованием методов линеаризации нелинейных регрессионных моделей. [c.253]

Математические модели, рассмотренные в 5.1, служат для целей анализа полученных в процессе проектирования вариантов проекта. При этом в процессе оптимизации, как правило, в целях экономии времени применяются упрощенные математические модели, в которых не принимаются во внимание факторы второго порядка (например, несимметрия и несинусоидальность питающего напряжения, невдеаль-ность распределения магнитного поля, изменение параметров ЭМУ в процессе эксплуатации и т. п.). Детальный же анализ физических процессов чаще всего проводится только для найденного оптимального варианта проекта с применением наиболее полной системной математической модели. [c.231]

Среди многочисленных методов осуществления контактов между взаимодействующими фазами во многих гетерогенных процессах фонтанирунзщий слой занимает особое место. Он является эффективным при переработке крупных, по-лидисперсных, слипающихся и спекающихся твердых частиц [34] и представляется перспективным при реализации различных технологических процессов и, в частности, одного из основных процессов химической технологии - процесса сушки твердых частиц [35]. Создание аппаратов и установок с фонтанирующим слоем, их применение требуют решения конструкторских, технологических и оптимизационных задач, при выполнении которых рассчитываются размеры аппаратов и установок, обеспечивающих максимальную эффективность технологических процессов, а также находятся величины параметров этих процессов на выходе из них. При решении таких задач необходимо уметь рассчитывать газодинамические и тепломассообменные процессы в фонтанирующем слое, находить максимальную эффективность процесса сушки, рассчитать распределения по длине и поперечным сечениям фонтанирующего слоя величин расходов взаимодействующих фаз, температуры, вязкости, скорости, количества твердых частиц и т.д. Известными методами [34, 35] рассчитываются в основном интегральные параметры процесса осушки на выходе из аппаратов, в которых фонтанирующий слой применяется. Поэтому разработка новых аппаратов и установок с фонтанирующим слоем встречает значительные трудности. С целью их устранения разработана следующая физико-математическая модель сушки твердого материала в фонтанирующем слое. [c.131]

В настоящей работе предпринята попытка определить динамические характеристики обобщенной схемы сумматорного привода в широком диапазоне изменения ее параметров. Ставятся следующие задачи определить величину и характер распределения нагрузок по ветвям привода оценить эффективность работы демпферов и амортизаторов — найти оптимальное сочетание их параметров и место установки предложить способы повышения демпфирующей способности привода. Для решения этих задач используется метод математического моделирования с применением аналоговых и цифровых вычислительных машин. Построение математической модели выполнено применительно к схеме рис. 1 с помощью метода направленных графов [3]. Применение этого метода оказалось эффективным вследствие древовидной структуры исследуемой схемы привода. Оказалось возможным с помощью структурных преобразований построить из исходной разветвленной системы эквивалентные ей в динамическом отношении расчетные схемы, удобные для исследования на ЭВМ. [c.112]

С точки зрения Шьюхарта совершенно безразлично, какова природа определимой причины. Этот вопрос остался за рамками не только математической модели, но и за рамками экономических мотивов, так как по Шьюхарту всякую определимую причину, изменяющую параметры мгновенного распределения признака качества, выгодно устранить. [c.193]

Однако вследствие того, что при динамическом нагружении в течение одного опыта в разных сечениях образца протекают различные процессы деформации е ( ) (напряженно-деформированное состояние вдоль длины образца неоднородно), дисперсии волн и наличия радиальной инерции (неоднородность напряженно-деформированного состояния по радиусу стержня), а также большой слояшости (невозможности) одновременного замера в одной и той же точке образца процесса е ( ) и а ( ) из динамических экспериментов, в настояш ее время невозможно получение динамической зависимости а от е без привлечения априорно задаваемых соотношений между напряжениями и деформациями или использования расчетов для той или иной математической модели эксперимента (например, моде.ли тонкого стержня). Попытка определения динамических уравнений состояния по некоторым косвенным эффектам (скорости распространения деформации различной величины, распределения деформации в различные моменты времени, скорости движения поверхностей испытуемого образца и т. д.) также не увенчалась успехом, поскольку было обнаружено [20, 24, 25], что указанные эффекты могут быть описаны с практически одинаковой степенью точности при помощи различных соотношений Оц — вц. Вследствие этого до сих пор еще не получено надежных уравнений, описывающих динамическое поведение материала, а по ряду определяющих параметров данные различных экспериментальных работ не только расходятся в несколько раз, но имеют и качественно различную картину. [c.135]

Используя зависимости (58) и 59), оцениваем изоморфность математической модели они характеризуют степень представлений о технологическом процессе. Прогнозирование выходного качества также тесно связано с мерой определенности. Из нескольких математических моделей выбирают ту, которая обеспечивает прогнозирование выходных параметров с наименьшей погрешностью. Найденные закономерности в первом приближении могут быть распространены и на негауссовские распределения в этом случае следует учитывать фактическое поле распределения, определяющее дисперсию искомого признака качества. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...