Интегралы движения центра инерции

Интегралы движения центра инерции 194 [c.579]

Поэтому интегралы (8.11) называются (так же как и в задаче о движении взаимно притягивающихся точек) интегралами движения центра инерции ). [c.390]

Однако, так же как и в случае задачи о движении взаимно притягивающихся материальных точек, эффективным для практических приложений оказывается лишь использование для понижения порядка системы (8.7) шести интегралов движения центра инерции всей системы. [c.396]

См. 10 гл. I и 6 гл. V. Это свойство и было использовано для вывода интегралов движения центра инерции в предыдущем параграфе. [c.396]

Шесть интегралов движения центра инерции (5 7) говорят о том, что центр инерции Ро системы п тел движется прямолинейно и равно- [c.45]

Однако, так же как и дифференциальные уравнения движения взаимно притягивающихся материальных точек, уравнения поступательно-вращательного движения неизменяемых тел имеют в общем случае только десять первых интегралов, вытекающих из принципов сохранения движения центра инерции, момента количества движения и полной энергии системы. [c.386]

Очевидно, что все, что мы сказали о движении центра инерции или об интегралах площадей, применимо без всяких изменений к случаю любого числа тел. [c.32]

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Рассмотрим, наконец, одно важное уравнение динамики системы, связанное непосредственно с интегралом энергии, найденным из уравнений движения относительно центра инерции. [c.101]

После подстановки разложений (а) в дифференциальные уравнения движения (III. 12) и (III. 14) и исследования соотношений между коэффициентами Uj и показателями степени т С. В. Ковалевская пришла к выводу, что интегралы дифференциальных уравнений движения твердого тела можно определить в виде разложений (а) лишь тогда, когда между главными моментами инерции тела и координатами центра инерции существуют такие соотношения [c.449]

Определение трех первых интегралов движения в общем случае.—Рассмотрим однородное тяжелое тело вращения, движущееся вокруг точки О своей оси, отличной от центра тяжести Г. Возьмем в качестве неподвижных осей координат три прямоугольные оси Ox УlZ , так чтобы ось была вертикальна и направлена вверх. Далее, в качестве подвижных осей, связанных с телом, возьмем три главные оси инерции в точке О ось Ог направим по оси симметрии тела к центру тяжести Г, две другие выберем произвольно в плоскости, нормальной к оси симметрии тела. Моменты инерции относительно осей Ох, Оу и Ог будут соответственно А, В = А и С. [c.114]

Получаем интеграл движения, который в случае вихрей, а также источников приводит к интегралам центра инерции. Действительно, в случае вихрей имеем [c.39]

В первом случае мы имеем дело с интегралами движения или, как иногда говорят, с хорошими квантовыми числами , во втором— с приближенными интегралами движения или с неточными квантовыми числами . Интегралами движения всякой квантовой системы, в частности ядра, является энергия, полный момент количества движения, четность волновой функции (мы говорим о так называемом внутреннем состоянии ядра, описываемом в системе координат, связанной с центром инерции, поэтому такие константы движения, как импульс ядра в целом, выпадает из рассмотрения). Рассмотрим каждую из этих величин в отдельности. [c.36]

Из (20,2) следует, что 5-матрица в представлении интегралов движения (в системе центра инерции) имеет следующий вид [c.166]

При понижении порядка системы дифференциальных уравнений проблемы трех тел до четырех можно использовать произвольные канонические переменные р. Необходимо только выразить через эти переменные интегралы площадей, и понижение порядка будет выполняться с большими или меньшими затруднениями таким же путем, как и выше. Автор показал, как можно составить канонические уравнения движения с тремя степенями свободы для случая плоского движения, если в качестве дг-коорди-нат использовать расстояния трех тел от общего центра инерции при надлежащем выборе соответствующих канонических переменных [321. Этот метод имеет свои преимущества, так как возмущающая функция оказывается алгебраической функцией переменных, в то время как оскулирующие элементы входят в возмущающую функцию трансцендентным образом. Эти преимущества достигаются и в том случае, когда вместо расстояний трех тел от общего центра инерции в качестве координат выбираются взаимные расстояния. Вывод дифференциальных уравнений оказывается точно таким же, что и при использовании в качестве обобщенных координат расстояний от центра инерции. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения в этом случае до восьмого в изящной форме было выполнено Брунсом [33]. [c.230]

Применим эти довольно скромные результаты к плоской задаче трех тел. В качестве исходных выберем решения Лагранжа, которые, согласно 16, во вращающейся системе координат являются равновесными решениями. Возьмем в качестве системы Гамильтона шесть дифференциальных уравнений (16 27), которые представляют собой результат исключения из уравнений движения интегралов центра инерции и интегралов площадей. Тогда если в случае равностороннего треугольника [c.282]

Замечание. Следует заметить, что для эллипсоида инерции с центром О движение тела по Пуансо вполне определяется двумя постоянными А и АГ первых интегралов, если отвлечься от ориентировки системы отсчета. Оно определяется также расстоянием Р=ф 2Л А центра эллипсоида инерции от неподвижной касательной плоскости и значением a J = 2Л /( верчения. Если отвлечься от времени, то движение зависит лишь от этого расстояния Р время же, необходимое для перехода от одного положения к другому, непосредственно следующему, пропорционально Ш]. [c.92]

Тело, закрепленное в центре масс. Рассмотрим движение твердого тела около центра масс при приближенном представлении ньютоновского поля сил. Тогда уравнения движения допускают интегралы (П 1.1.6а), (П 1.1.5), (П 1.1.12), (П 1.1.6). По определению у" — косинус угла с той осью, которой соответствует момент инерции С величине у соответствует в этом смысле момент инерции В, величине V — момент инерции А. [c.382]

Первые интегралы уравнений движения тя-ж №о го гироскопа. Пусть неподвижная точка О осн гироскопа совпадает с началом неподвижной системы осей и началом подвижной Охуг, Оси подвижной системы направлены по главным осям эллипсоида инерции, построенного для точ ки О. Центр масс гироскопа пусть лежит на оси Ог в точке С [c.462]

Так как разность II — тхгпзг з вследствие соотношения (7) остается в интерва.ле т 4 < 1 ограниченной, то, очевидно, достаточно установить суш ествование верхней грани значений I при 1. В начале параграфа было уже показано, что I есть монотонная функция в интервале 2 < 1- Поэтому мы должны только доказать, что I ограничено. С помош ью интегралов движения центра инерции получаем [c.52]

Наш результат показывает, что мы можем аналитически продолжить Хк, у к через особенность t = ti теперь нужно исследовать поведение Хк, у к при прохождении s через si по действительной оси s. В соответствии с разложением (14) t остается при этом действительным и проходит, возрастая, через ti. Вследствие действительности всех коэффициентов разложений в ряды Хк, Ук также остаются действительными при этом аналитическом продолжении. Из разложения (13) можно заметить, что обе материальные точки Pi п Рз, двигаясь по направлению вектора ( f i), сталкиваются при i = ii и затем отталкиваются друг от друга. Это заключение имеет, разумеется, только математический смысл, но не имеет физического значения. Для всех t > t, достаточно близко лежагцнх к ti, опять имеем х > О, и у является конечным. В силу обратной подстановки (7 31), (7 32) можно ввести опять старые координаты Хк, у к вместо f , Щ- При этом значения постоянных в интегралах движения центра инерции, постоянных в интегралах пло-ш,адей и постоянной в интеграле энергии остаются те же, что и для т i < 1, так как они получаются при аналитическом продолжении функций переменной t. То же самое справедливо и для дифференциальных уравнений, поэтому уравнения (7 16) также удовлетворяются, и можно опять перейти от них через (7 6) к системе (7 2). [c.70]

Чтобы можно было применить теорему существования 14, нужно сделать корни простыми, что удается сделать иопижепием порядка системы Гамильтона (1) с помощью интегралов движения центра инерции и интегралов площадей. Прежде всего введем линейное каноническое преобразование, аналогичное преобразованию (7 4), (7 5), а имеппо [c.156]

С математической точки зрения основные теоремы динамики — теоремы о движении центра инерции, об изменении количества движения, об изменении кинетического момента и об изменении кинетической энергии дают возможность находить в частных случаях первые интегралы дифференциальных уравнений движения. Возможность получешгя этих интегралов завггеггт от особенностей системы сил. приложенных к точкам материальной системы. Эти свойства были подчеркнуты при рассмотрении соответствующих теоре.м на протяжении последней главы. [c.105]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Эти уравнения имеют совершенно такой же вид, как и интегралы (7.8 ), (7.8") уравнений абсолютного движения системы материальных точек и имеют, кроме того, такой же механический смысл. Действительно, так как согласно принятому условию точки Gi являются центрами инерции тел А/,- (г = 0, 1, 2,. ... . ., п) то координаты цеетра мерции всей системы п+ тел, которые обозначим через I, т], определятся формулами [c.390]

Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки и их первые интегралы. Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки О в однородном поле тяжести. Ось 0Z неподвижной системы координат направим вертикально вверх. С движущимся телом жестко свяжем систему координат Oxyz оси которой направим вдоль главных осей инерции тела для неподвижной точки О. Координаты центра тяжести G в системе координат Oxyz обозначим а, Ь, с. Ориентацию тела относительно неподвижной системы координат будем определять при помощи углов Эйлера ф ср, которые вводятся обычным образом (рис. 104). [c.203]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Первые интегралы уравнений движения. Исследуем более сложный случай движения твердого тела около неподвижной точки, когда эллипсоид инерции тела относительно этой точки имеет неравные оси (т. е. АФВФС), а сумма моментов действующих на тело внешних сил относительно точки опоры равняется нулю. Практически интересный пример такого движения будет иметь место, если произвольное тяжелое тело закрепить в его центре тяжести. Если произвольное массивное тело будет двигаться в свободном пространстве (т. е. в пространстве без действия внешних сил), то легко понять, что центр масс такого тела будет двигаться прямолинейно и равномерно, а движение около центра хмасс будет соответствовать формулированным выше условиям. Эта задача о движении твердого тела была впервые исследована Л. Эйлером в 1758 г. наглядную геометрическую картину этого движения на осно- [c.443]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...