Фурье-преобразование пространство Фурье

Теперь элегантность и симметрия двух пар фурье-преобразований стала для нас поразительно очевидной. Кривая видности в спектроскопии определена во временном пространстве, т. е. она является функцией временной задержки, внесенной в два оптических пути спектрального интерферометра, в котором волновой пакет сопоставляется сам с собой (автокорреляция) здесь преобразование представляет собой интенсивность (мощность) спектра источника. В звездном (пространственном) интерферометре кривая видности является функцией расстояния между двумя точками поля освещенности, которые сравниваются (кросс-корреляция) ее преобразование представляет собой пространственное угловое распределение яркости источника. [c.143]

Этот интеграл (с точностью до нормирующих коэффициентов) есть фурье-трансформанта рассеивающей плотности р(г, t). Таким образом, отношение амплитуды рассеянной волны к амплитуде падающей равно (пропорционально) фурье-трансформанте плотности распределения рассеивающего вещества в пространстве, и поэтому математический аппарат теории рассеяния есть аппарат фурье-преобразований. [c.13]

Примером У. о. и его обратного в пространстве Lj( - ос, 00) являются взаимно обратные Фурье преобразования. [c.225]

Как преобразование Фурье от единичной щели, так и ряды Фурье для решетки пространственно определены через и в одном случае непрерывно, а в другом дискретно. Следовательно, оба представления могут быть описаны как существующие в пространстве Фурье или частотном пространстве, как показано в разд. 3.4.1 в связи с дифракционной решеткой. Это очень полезное обобщение интерпретации дифракции, и оно является верным для любой апертурной функции. [c.68]

Рис. 4.7. Фурье-преобразование в пространстве время-частота.

Голограммы Фурье обладают значительно большей информационной емкостью, чем голограммы Френеля, и это необходимо учитывать при необходимости использовать максимальную плотность записи регистрирующей среды. Предположим, что поле объекта имеет протяженность Если этот объект преобразуется по Фурье с помощью линзы с фокусным расстоянием /, то по теореме выборки преобразование Фурье этого объекта полностью определяется его выборочными точками, отстоящими друг от друга на одинаковом расстоянии, равном Я/ZLo. Если фурье-образ объекта имеет пространственную протяженность то число выборочных точек на длине Lj равно LoL /kf, и это число называется произведением пространства на полосу пропускания голограммы. Очевидно, что в случае двумерного объекта число независимых выборочных точек на голограмме Фурье дается выражением [c.193]

Перейдем теперь к рассмотрению частотного представления [5, 6). В этом случае процесс записи и восстановления трехмерной голограммы рассматривается в пространстве Фурье. Запишем волновые функции падающего на голограмму и восстановленного ею излучения в виде разложения но плоским волнам, а структуру голограммы представим в виде разложения по трехмерным гармоникам. Тогда процесс восстановления голограммы можно рассматривать как преобразование каждой плоской волны в компоненты восстановленной волны посредством отражения от соответствующих гармоник голограммы. Таким образом, основным элементом разложения структуры голограммы является пространственная гармоника. Рассмотрим свойства таких гармоник более подробно. [c.700]

Понятие пространства фурье-координат можно ввести по аналогии с радиотехникой, если найти преобразования Фурье обеих сторон равенств (18) — (20), которые выражают процесс образования изображения в плоскости пространственных координат. [c.49]

НИИ В Пространстве интерференция этих волн дает пространственное фурье-преобразование отражающей поверхности. Это приводит к периодическому усилению и ослаблению волновых фронтов и в результате — к пятнистой картине. Датчик, который служит для определения характеристик пучка, следует помещать достаточно близко к отражающей поверхности с тем, чтобы он мог усреднить отбираемый сигнал по большому числу пятен. [c.27]

Разберем теперь случай, когда А очень велико (рис. 9,6). Тогда главный максимум функции б( ,Х) очень сжимается, заостряется и увеличивается по высоте. Если мы теперь рассмотрим предельный случай, когда оо, то = НА О, т. е. функция б(Л,Х) в обратном пространстве сжимается в точку. Следовательно, Фурье-преобразование функции, имеющей всюду постоян- [c.26]

В гл. 1 мы уже видели, что амплитуда рассеяния от объекта в приближении дифракции Фраунгофера, полученная из формулы Кирхгофа или выведенная на основании теории рассеяния, описывается интегралом фурье-преобразования. Например, чтобы получить двумерную форму уравнения (2.156), в формуле (1.37) следует подставить U = ИХ, v — тД. Таким образом, можно описать амплитуду, получающуюся при дифракции, с помощью распределения в пространстве Фурье, которое, как мы увидим дальше, часто называют обратным пространством. Поскольку в дальнейшем такое описание амплитуды будет использоваться чаще всего для вывода соотношений, относящихся к дифракционным эффектам, и для их объяснения, то перейдем теперь к рассмотрению наиболее важных свойств и поведения фурье-преобразования. [c.42]

Здесь мы следуем обычным обозначениям функции в реальном пространстве будем писать строчными буквами, а фурье-преобразования — соответствуюш,ими прописными буквами. [c.44]

Это выражение отвечает фурье-преобразованию ряда дельта-функций в обратном пространстве с постоянным периодом а . [c.54]

Мы уже видели, что амплитуды при кинематическом рассеянии можно записывать с помощью фурье-преобразования распределения -в прямом или обратном пространстве. В прямом пространстве рассматриваем положение вектора г с координатами х, у, г. В обратном пространстве рассматриваем положение вектора и с координатами и, V, И. Тогда, согласно терминологии, относящейся к рентгеновским лучам, распределение р(г)в прямом пространстве связано с распределением Р(и) в обратном пространстве фурье-преобразованием [c.100]

Фурье-преобразование выражения (5.18) для реального пространства приводит к представлению Р(г) в виде [c.107]

Тогда фурье-преобразование (5.22) дает соответствующее распределение в обратном пространстве [c.108]

Фурье-преобразование дает некоторую функцию в четырехмерном обратном пространстве. Преобразование по отношению к времени в соответствии с уравнением (2.31) дает функцию частоты, поэтому запишем следующее [c.110]

Следовательно, сечение четырехмерного распределения в обратном пространстве, v = О, соответствует фурье-преобразованию усредненной во времени четырехмерной функции Паттерсона. [c.111]

Мы установили, что амплитуды рассеяния при кинематическом упругом рассеянии и интенсивности, полученные при рассеянии рентгеновских лучей на распределении электронной плотности, можно связать с распределениями в обратном пространстве, которые даются фурье-преобразованиями функций р(г) или Р(г). Теперь мы покажем, как из распределений в обратном пространстве можно получить амплитуды или интенсивности для конкретных экспериментальных условий. Для этого есть две возможности либо выразить амплитуды рассеяния через распределение в обратном простран- [c.117]

Например, в первом приближении электронограмма является плоским сечением обратного пространства, так что фурье-преобразование распределения интенсивности электронограммы дает проекцию функции Паттерсона Р(г) в направлении пучка, го является приближением, позволяющем рассматривать объект как двумерный фазовый и амплитудный объект. [c.125]

Выше Б разд. 5.5 мы видели примеры для случая четырехмерных распределений в пространстве и во времени, когда интенсивность измеряется как функция углов рассеяния и частот. Таким образом, сечение обратного пространства на плоскости v =0, соответствующее чисто упругому рассеянию [см. (5.28) ] дает проекцию функции Паттерсона в начальный момент или усредненную во времени корреляционную функцию. Проекция четырехмерного распределения рассеивающей способности в обратном пространстве в направлении v, которая дается интегралом по v в уравнении (5.29), является фурье-преобразованием сечения функции Паттерсона Р(г, 0), которая является суммой мгновенных пространственных корреляций объекта. [c.125]

Если сечение в реальном пространстве не проходит через начало координат, то в обратном пространстве вводится соответствующий фазовый множитель. Таким образом, фурье-преобразование сечения р х, у, с) дает модулированную проекцию [c.125]

Такое рассуждение применимо, если для получения усредненной по времени мгновенной функции Паттерсона Р(г, 0) усреднение проводится не в пространстве, а во времени. Фурье-преобразование выражения (7.9) дает [c.153]

Используя фурье-преобразование для получения /(и), разделим Р(г) на две части. Набор параллельных,, не имеющих правильной структуры слоев, расположенных на расстояниях с друг от друга, включая плоскость, проходящую через начало функции / (г), дает набор резких пиков на расстояниях 1/с друг от друга в направлении W в обратном пространстве. Вычитание плоскости, проходящей через начало P(r), дает отрицательную непрерывную линию в направлении w, проходящую через начало функции /(и), но это компенсируется общим положительным фоном интенсивности, возникающим из-за начального пика функции Р(г). Ряд резких колец в плоскости (х, у) функции Р г) дает набор концентрических цилиндров в обратном пространстве с осью, совпадающей с направлением W. Они отвечают набору параллельных прямых сечения функции /(и), показанных на фиг. 7.6, б. [c.167]

В качестве основы для вывода интенсивностей дифракционной картины в предположении, что условия кинематической дифракции выполняются, определим распределение рассеивающей способности в обратном пространстве с помощью фурье-преобразования функции Паттерсона. [c.375]

Усредненные величины в этом выражении не так легко оценить. Одним из методов определения рассеяния могло бы быть усреднение функции Паттерсона в реальном пространстве, а затем нахождение для каждого пика усредненной функции смещения от положения в решетке и функции размытия, уширяющей этот пик. Тогда можно было бы полностью оценить фурье-преобразование. [c.379]

Выражение для Р [а (г, /)1 получаем из Ф1ы(г. /)] обратным фурье-преобразованием в функциональном пространстве. [c.169]

Найдем выражение для корреляционной функции в одной и той же точке пространства, но в разные моменты времени. Рассмотрим случай, когда отсутствует дрейф дефектов (у = 0). Используя обратное фурье-преобразование, получаем [c.177]

Выражение в правой части этой формулы представляет собой двумерное фурье-преобразование, которое мы сейчас обратим, чтобы найти функцию Вигнера Жр. На первый взгляд, кажется, что такое об-эаш,ение осуш,ествляется непосредственно. Однако область изменения переменных и I такова, что мы не покрываем полностью пространство (С,Г]). Действительно, определена на всей оси, то есть —оо < < < 00. Напротив, покрывает только половину плоскости, так как -тг/2 < I < тг/2. [c.173]

До сих пор мы говорили лишь о характеристиках рассеяния в (к, (й)-пространстве, однако с помощью двойного фурье-преобразования функции 8 (к, (о) нетрудно установить связь с описанием рассеяния в (г, г)-нространстве. Ван Хов показал, что функции [c.69]

По определению, данному в начале главы, взаимный по пространству спектр Г ( , со) определяется как Фурье-преобразование функции пространственно-временной корреляции Я(4х) (см. табл. 2). [c.141]

В. Внешнее поле. Как уже было отмечено, в случае внешнего поля пространство становится неоднородным и 0(х, х ) перестает быть функцией только разности х — х. Ввиду этого мы будем рассматривать функцию 0 (р, р ), являющуюся фурье-преобразованием от 0 х, х ), по обоим переменным [c.119]

Выражая последний член уравнения (10.11) для электрон-фононного взаимодействия с помощью формул (10.18) и (10.19), мы находим уравнение для О в координатном пространстве. Производя фурье-преобразование этого уравнения с помощью формулы (10.20), мы получаем уравнение Дайсона (10.7). [c.132]

Распределение источников является акустически компактным, если они сосредоточены в области, линейные размеры которой малы по сравнению с Со/соо- Поэтому фурье-преобразование Р (к) этого распределения будет определено в такой области пространства волновых чисел, размеры которой весьма велики по сравнению с соц/со. Тогда осредненное значение в выражении (304), как правило, близко к значению Р (0) р в центре сферы [c.448]

Стационарные методы ЯМР относительно просты и надёжны, им свойственна существ, однозначность интерпретации результатов. Однако при исследовании широких линий ЯМР в твёрдых телах большую информацию о механизмах ядерных взаимодействий можно получить с помощью импульсных (нестационарных) методов с использованием фурье-преобразований. Применение этих методов ЯМР обусловлено возможностью усреднения нск-рых взаимодействий и сужением широких линий, хотя нек-рые взаимодействия можно усреднить, не пользуясь импульсным режимом, напр, за счёт усреднения движений ядер в координатном пространстве. Гамильтониан диполь-дипольного спинового взаимодействия содержит множитель (1—3 os 0ij), где 0—угол между направлением Но и радиусом-вектором, соединяющим спины ядер /. Обращение в О этого множителе происходит при угле 9,j = aT os (l/y 3)ft 54 44, поэтому быстрое вращение образца (до 10 об/мин) под углом 0 усредняет часть гамильтониана диполь-дипольного взаимодействия в монокристалле н приводит к сужению спектральной линии. [c.677]

Формирование изображения в оптич. системе, согласно теории Аббе,—двухэтапный процесс. Первый этап (первая дифракция )—это распространение света от входной плоскости до плоскости Ф, где формируется пространств, спектр предметной волны. На этом этапе линза Л осуществляет первое пространств, фурье-преобразова-ние. Второй этап (вторая дифракция) —распространение света от плоскости Ф (к-рая наз. фурье-плоскостью оптич. системы) до плоскости изображения. На этом этапе линза Лг осуществляет ещё одно преобразование Фурье. В результате двух последоват. преобразований Фурье возникает перевёрнутое изображение — поле с комплексной амплитудой e x,y)=f x, —у), тождественное с точностью до инверсии -предметному полю f x, j ). [c.388]

Подведем итог нашим представлениям о структурном факторе 5(/С) и Фурье-преобразовании /(/С) прямой коррелятивной функции Орнштейна — Цернике в методе жестких сфер для классических жидкостей. В вириальном разложении точные результаты пока имеются лишь для ведущих членов. В г-пространстве расчеты были выполнены Нийбоэром и Ван Ховом [111], соответствующие результаты недавно были получены в /(-пространстве Ашкрофтом и Марчем [31]. Точное решение уравнения Перкуса — Йевика [71] было получено Уэртхеймом [112], а также Тилем [113]. Согласно ожидаемой тесной связи между /(г) и парным потенциалом Ф(г) из уравнения Перкуса — Йевика, прямая корреляционная функция становится равной нулю вне диаметра жестких сфер. При рассмотрении вириального [c.110]

Для большинства исследователей, занимающихся рентгено-структурньш анализом кристаллов, дифракция — это обычная теория дифракции Фраунгофера, обобщенная для трех измерений применительно к идеальному случаю бесконечных периодических объектов со строго определенными направлениями дифрагированных пучков и с решеткой, состоящей из взвешенных точек в обратном пространстве. Основной математический инструмент — ряды Фурье. Для случаев конечных или несовершенных кристаллов в том же самом приближении одноволнового кинематического рассеяния используется фурье-преобразование, что, конечно, более сложно. [c.12]

Две блоховские волны, как предполагалось на фиг. 9.1, имеют разные коэффициенты поглощения, так как для блоховской волны 2 электроны проходят между рядами атомов, а для блоховской волны 1 они в основном проходят в непосредственной близости от атомов н поэтому имеют ббльшую вероятность поглощения. Из уравнений (9.6) и (9.7) следует, что интенсивность, определяемая интерференционным (косинусным) членом в направлениях падения и дифракции, уменьшается за счет экспоненциального множителя ехр — 1оН в то же время член с гиперболическим косинусом в обоих случаях состоит из двух частей, которым соответствуют два эффективных коэффициента поглощения цо Цл- С увеличением толщины кристалла Н интенсивность, отвечающая наибольшему коэффициенту поглощения, убывает быстрее интенсивности, отвечающей интерференционному члену, и для достаточно больших толщин интенсивность определяется только коэффициентом поглощения fio—fi/i- В таком случае интенсивности в направлениях падающего и дифрагированного лучей будут одинаковы. При условии, что составляет значительную часть цо, интенсивность каждого из этих пучков легко может превысить интенсивность пучка для ориентации, не отвечающей условию дифракции, для которой коэффициент поглощения равен Сопроцесс поглощения рентгеновских лучей в сильной степени локализован, так как он возникает в основном при возбуждении электронов с внутренних оболочек атомов. Таким образом, фурье-преобразование функции поглощения будет очень медленно убывать с расстоянием от начала обратного пространства, и значение yif , соответствующее направлению дифракционного пучка, может оказаться гораздо меньше значения цо Для прямого направления. [c.211]

Для малого почти совершенного монокристалла распределение рассеиваюш,ей способности в обратном пространстве вокруг каждой точки обратной решетки дается фурье-преобразованием функции формы кристалла. Если кристалл изогнут или деформирован или если суш,ествуют много таких кристаллов, почти параллельных друг другу, с некоторьм распределением по ориентациям или постоянным решетки, то распределение в обратном пространстве будет преобразовываться неким характерным образом, как, например, показано на фиг. 16.1 для частного случая. Следовательно, богатую информацию о размерах кристаллов, разбросе ориентаций, а также разбросе размеров элементарной ячейки можно получить при детальном исследовании распределения рассеивающей способности в обратном пространстве. [c.362]

Действительно, матричный элемент х" р динатных переменных. Совершаем фурье-преобразование по одной из них, и в результате имеем снова две переменные фурье-переменную скачка, которую мы называем р, и центральную точку скачка х. Обе величины являются с-числами, а не операторами. Поэтому функция Вигнера зависит от двух классических переменных х и р. Однако пока ещё не вполне очевидно, что эти переменные соответствуют координате и импульсу, образующим то фазовое пространство, в котором задана функция Вигнера. Мы докажем это в следующем разделе. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...