Статистическое определение энтропии

В соответствии с введенным Гиббсом (отвечающим термодинамике) статистическим определением энтропии (см. ниже) функция p(q, р) зависит лишь от однозначных аддитивных интегралов движения. Известны три таких интеграла движения энергия Н, импульс Р и момент импульса М. Поэтому [c.195]

Скорость производства энтропии при процессах рассеяния вычисляется путем дифференцирования выражения, полученного при статистическом определении энтропии, а именно [c.45]

Термодинамическая вероятность, или статистический вес макросостояния системы. Статистическое определение энтропии [c.42]

По статистическому определению энтропия имеет максимум в равновесном состоянии, а это значит, что в любом неравновесном состоянии энтропия меньше, чем в равновесном. Поскольку замкнутая система самопроизвольно, в силу теплового движения, приходит к равновесному состоянию, энтропия неравновесных систем увеличивается. Это утверждение называется законом возрастания энтропии. Смысл энтропии как параметра, характеризующего состояние, в том и состоит, что энтропия показывает степень неравновесности системы отклонение от равновесия тем больше, чем меньше энтропия (по сравнению с ее значением в равновесном состоянии). [c.69]

Естественно отождествлять величину Н с энтропией системы. Можно показать, что формула (33.20) согласуется со статистическим определением энтропии (6.10) (см. задачу 9.6). Доказательство справедливости неравенства (33.23) было дано впервые Больцманом в 1872 г. Этот результат сыграл весьма существенную роль в развитии статистической физики. На его основе было выработано представление об энтропии как мере вероятности макроскопического состояния системы. [c.227]

Энтропия — ключевое понятие в термодинамике и статистической механике. В этом параграфе мы рассмотрим статистическое определение энтропии, введенное Гиббсом для классических равновесных систем [13] и впоследствии обобщенное Нейманом на квантовые системы [163]. Мы также обсудим связь энтропии с теорией информации. Эта связь будет играть важную роль в теории неравновесных процессов. [c.44]

Одна из важнейших задач статистической механики — дать статистическое определение энтропии, применимое как для равновесных, так и для неравновесных систем из многих частиц. В классическом случае статистическое определение энтропии впервые было дано Гиббсом [13] энтропия Гиббса для классического ансамбля, описы- [c.45]

Это соотношение называется уравнением Больцмана, к — постоянная Больцмана, которая должна иметь размерность энтропии. Чтобы показать идентичность между статистическим определением энтропии по формуле (6.3) [c.89]

Термодинамика часто изучается как дедуктивный предмет без использования статистического определения энтропии, приведенного в гл. 4 (см. (4.18)). При таком ее изучении вводится ряд постулатов, которые называются законами классической термодинамики. [c.108]

Статистическое определение энтропии. Энтропия, определяемая соотношением Больцмана [c.21]

С тех пор как Людвиг Больцман (1844-1906) ввел в 1872 г. статистическое определение энтропии, энтропию принято считать мерой беспорядка системы. В соответствии с этим увеличение энтропии стали описывать как увеличение беспорядка, разрушение любой когерентности, которая могла быть в начальном состоянии, к сожалению, это привело к точке зрения, согласно которой следствия из второго начала термодинамики самоочевидны или тривиальны. Однако подобное мнение неверно даже в случае равновесной термодинамики, из которой следуют весьма нетривиальные выводы. Но равновесная термодинамика охватывает лишь небольшую толику нашего повседневного опыта. Теперь мы знаем, что нельзя описать окружающую Природу, не апеллируя к неравновесным ситуациям. Биосфера поддерживается в неравновесном состоянии потоком энергии, приходящим на Землю от Солнца, а сам поток энергии является результатом неравновесной ситуации в существующем ныне состоянии Вселенной. [c.8]

Показано, что уровень упорядоченности любой термодинамической системы может быть определен при конкретных условиях числом, а при изменении условий - функцией статистической (конфигурационной) энтропией. Поскольку упорядоченность расположения элементов системы связана с наличием структуры, то эта энтропия нами названа структурной и определяется по выражению [c.45]

В статистической физике удобно пользоваться и другим определением энтропии [c.179]

В статистической термодинамике и теории информации существуют и другие определения энтропии, которые отличаются от выражения (2.4) либо наличием аддитивных добавочных членов, либо более конкретным видом, учитывающим свойства плотности вероятности. Так как в дальнейшем нас будут интересовать лишь относительные значения энтропии, то постоянную Больцмана в формуле (2.4) можно положить равной единице. [c.40]

Воспользуемся гиббсовским определением энтропии для постановки вариационных задач статистической динамики механических систем. [c.40]

Исходным определением энтропии в статистической физике служит формула Больцмана (6.10) она позволяет вычислить энтропию замкнутой системы, состояние которой задается совокупностью внешних параметров X и энергией [c.66]

Ограничения третьего закона. Молекулярно-статистическое толкование энтропии (см. 6.1.2) позволяет убедиться в том, что в определенных случаях могут наблюдаться отклонения от третьего закона термодинамики. Энтропия кристаллов может равняться нулю при абсолютном нуле температуры только в том случае, если они состоят из одного компонента и имеют идеальное строение. В смешанных кристаллах, например, возможны различные варианты расположения элементов решетки, так что даже при абсолютном нуле остается конечная величина энтропии, которую можно вычислить из выражения для энтропии смещения (см. 6.1.3). Дополнительное необходимое условие применимости третьего закона состо- [c.119]

Одна из основных задач статистической термодинамики состоит в нахождении уравнений состояния тела, т. е. связей между внешними силами Л, внешними параметрами ]Ыг и температурой 7, а также в определении энтропии s. Покажем, что если свободная энергия известна как функция ]Ыг и 7, т. е. -ф—ap(ji, 7), где, как и прежде, х — совокупность (щ, Цг, Mr, ) то уравнения состояния и энтропия вполне определены. Для этого перепишем уравнения (2.12), (2.15), выражающие два основных закона термодинамики, в виде [c.42]

Такое определение энтропии не связано с определением Клаузиуса, которое годится для равновесного и близкого к нему состояний. Определение Больцмана пригодно и для состояний, далеких от равновесия, ибо оно исходит только из атомистической структуры термодинамических систем и статистических закономерностей механики движения атомов. И это, кстати, сыграло решающую роль в неравновесной термодинамике. Таким образом, Больцман впервые доказал, что второе начало тер- [c.269]

Однако третий закон термодинамики (в первоначальной формулировке Нернста) гласит, что величины энтропии при абсолютном нуле одинаковы статистическое определение Планка идет еще дальше и утверждает, что значение энтропии [c.282]

Для статистического ансамбля можно ввести следующее определение энтропии [c.46]

Заметим еще, что методами статистической термодинамики можно показать, что указанное здесь определение энтропии может быть дано для произвольного неравновесного состояния. [c.104]

Проведенное обсуждение основано на больцмановском постулате об энтропии, т. е. энтропия рассматривается как случайная переменная, только среднее значение которой представляет интерес в макроскопическом отношении. В статистической механике можно дать также другое определение энтропии. Ее можно с самого начала Определить при помощи распределения по возможным состояниям. В соответствии с так называемым постулатом Гиббса об энтропии имеем [c.209]

Способ, которым мы пользовались в гл.З для определения равновесной энтропии простейших макроскопических объектов и тем самым—для выяснения свойств их равновесного состоящий, трудно применять в более сложных ситуациях. Потому что он основан на вычислении статистического веса, провести которое часто бывает весьма затруднительно. В настоящей главе мы познакомимся с другим методом микроскопического описания равновесного состояния, в основе которого лежит анализ распределения подсистем по. различным возможным их микросостояниям. [c.147]

Статистическое обоснование третьего начала обычно связывают с невырожденностью основного состояния при О К тело находится в одном определенном состоянии. Термодинамическая вероятность W этого состояния равна единице, и так как энтропия то при Г=0 К энтропия 5=0. Почему такое обоснование третьего начала не является достаточным и правильным [c.98]

К конфигурационной части энтропии следует добавить вклад, обусловленный изменением колебательной части энтропии за счет появления статических дефектов. Для определения вклада колебательной энтропии рассмотрим статистическую сумму Z колеблющейся решетки, введенную в предыдущей главе [c.230]

Из статистического толкования второго начала следует, что увеличение энтропии изолированной системы отражает лишь наиболее вероятные, но не все возможные направления действительных процессов. Как бы ни мала была вероятность какого-либо процесса, приводящего к уменьшению энтропии, все же этот процесс когда-либо, т. е. через достаточно большой промежуток времени, произойдет. время Изменение состояния изолированной системы за какой-либо определенный и притом до-- Рис. 3-24. статочно большой промежуток времени, понятно, не может не быть аналогичным (конечно, только в самом общем плане) изменению состояния ее в любой из предшествующих промежутков времени равной величины (если только составляющие систему частицы, рассматриваемые в самом широком понимании как структурные элементы системы, не меняются, т. е. не превращаются беспредельно друг в друга и в новые частицы). Вследствие этого каждое из состояний системы повторяется (в более или менее сходной форме) с частотой тем большей, чем больше вероятность данного состояния. Поэтому изменение энтропии изолированной системы протекает во времени так, как показано на рис. 3-24. Подавляющее время системы находится в равновесном состоянии, отвечающем максимальному значению энтропии системы отклонившись от этого состояния, система возвращается к нему, причем если наблюдать систему достаточно долго, то случаи увеличения и уменьшения энтропии будут встречаться одинаково часто. При этом время повторяемости какого-либо отклонения системы от равновесного состояния тем больше, чем меньше вероятность данного неравновесного состояния, и быстро возрастает с увеличением размеров системы. Для обычных условий оно настолько велико, что требуются практически недостижимые промежутки времени для того, чтобы наблюдать обращение какого-либо из макроскопических процессов. Вследствие этого процессы, являющиеся необратимыми с точки зрения обычной (т. е. феноменологической) термодинамики, будут представляться практически необратимыми и со статистической точки зрения. [c.103]

Способ программной "имитации случайных функций любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных базовых воздействий и к их последующему функциональному преобразованию для получения случайной величины (функции), подчиняющейся определенному закону распределения. Для большинства же исходных параметров, как уже отмечалось выше, вид закона распределения неизвестен. В этом случае для исходной информации, заданной в неопределенной форме, выдвигаются различные гипотезы о законах распределения, исходя из принципа максимума энтропии. Выдвинутые гипотезы, естественно, не снимают проблему принятия решений в условиях неопределенности, а лишь дают возможность использовать методы статистического моделирования для всестороннего исследования этой проблемы. [c.270]

Причина, по которой такие медленные изменения были названы адиабатическими, состоит в том, что из статистической механики вытекает следующее утверждение энтропия системы определяется распределением образующих систему частей по возможным энергетическим состояниям. Поскольку никаких переходов в другие состояния во время адиабатического изменения параметров быть не может, энтропия должна оставаться неизменной такое положение дел соответствует термодинамическому определению адиабатического изменения. Стоит заметить здесь, что адиабатические инварианты играют также важную роль и в современной квантовой механике соответствующее утверждение звучит в этом случае так система, находящаяся в стационарном состоянии, будет продолжать находиться в этом состоянии даже при наличии адиабатических процессов. [c.173]

Сравнивая два состояния, можно сравнивать значения энтропии системы в этих состояниях. При этом, если энтропия состояния А больше чем энтропия состояния В, то изолированная система может перейти в состояние А, но обратный процесс перехода из Л в В невозможен. С внешней стороны здесь возникает сравнение с вероятностью состояние А более вероятно, чем состояние В. Если энтропии состояний равны, то можно считать, что состояния равновероятны, ибо система может обратимым адиабатическим путем переходить как из А в В, так и из В в А. С физической точки зрения каждое макросостояние системы, характеризуемое определенным значением энтропии, образуется некоторым числом микросостояний Р. Если число микросостояний Р, осуществляющих макросостояние А больше числа микросостояний, осуществляющих состояние В, то макросостояние А будет чаще наблюдаться, чем состояние 5, т. е. оно будет более вероятно. Число микросостояний Р, образующих какое-то макросостояние, называется термодинамической вероятностью или статистическим весом. В отличие от математической вероятности, вероятность термодинамическая— целое число, а не дробь. Между энтропией и термодинамической вероятностью существует взаимосвязь, установленная Л. Больцманом в 1877 г. [c.48]

Основной чертой термодинамики необратимых процессов является определение величины прироста энтропии и потока энтропии на основе уравнения Гиббса (3.17). Этот метод должен быть в дальнейшем обоснован с помощью статистической механики необратимых процессов. Действительно, уравнение Гиббса (3.17) первоначально было сформулировано для равновесных условий, и приложение его к условиям, когда равновесие отсутствует, составляет своего рода новый постулат, на котором базируется вся термодинамика необратимых процессов. [c.107]

Заметим, что поскольку при определении энтропии в статистическом пределе N-yoo, V- oo, V/A = o = onst) следует учитывать только основную асимптотику по числу частиц —N, то определение статистической энтропии (12.13) не является единственным. Так, например, можно использовать вместо (12.13) эквивалентные (с точностью до слагаемых nN) выражения в виде логарифмов или плотности состояний [c.197]

В разд. 10 будет показано, что равенство (9.11) выполняется для равновесных состояний, если в качестве ц взять обычное выражение для идеального газа для неравновесных состояний соотношение (9.11) можно рассматривать как определение энтропии ц для больцмановского газа. При такой интерпретации Я ясно, что Я-теорема представляет собой не что иное, как доказательство второго начала термодинамики (для больцмановского газа). В этой связи второе начало не является строгим следствием законов механики (в силу парадоксов Лошмидта и Цермело это было бы несостоятельно), но зависит от статистических аргументов, асимптотических оценок (для Л ->оо, а-> О, Мо конечно, см. разд. 2 и 3 гл. П) и определения будущего как направления времени, для которого существует статистическая тенденция переходить от маловероятных состояний к более вероятным. [c.164]

С2.6. Статистическое понятие энтропии. Статистическим весом или термодинамической вероятностью О мав юско-пического состояния называется число различных мшфосо-стояний, которые реализуют данное макроскопическое состояние (с некоторыми определенными тфмодинамическими параметрами). [c.73]

В гл. 18 мы изложим другой более удобный способ определения энтропии сразу как функции т, отправляясь от статистической суммы (см. (18.13) и (18.18)). Мы покажем, что а = —дР/дг, где свободная энергия Р = =-т1п2 (см. (7.53)). [c.84]

Стоит отметить, что из этого только что доказанного нами предложения подчас без достаточных оснований делаются далеко идущие выводы, да и самому предложению даются формулировки расплывчатые и в своей неотчетливости явно преувеличенные. Так, говорится о том, что в результате теплового взаимодействия тел запас энтропии во вселенной должен непрестанно увеличиваться. Говорится и так, что энтропия системы, предоставленной самой себе , должна увеличиваться непрестанно при этом иногда, считаясь с вероятностным обоснованием термодинамики, этому утверждению стремятся придать не безусловный, аподиктический, а вероятностный, статистический характер (энтропия с подавляющей вероятностью увеличивается) эта последняя формулировка непригодна уже потому, что энтропия, как мы видели, для изолированной системы является термодинамической, а не фазовой функцией, т. е. вовсе не может считаться случайной величиной если Е и все А., остаются неизменными, то и энтропия не изменяет своего значения меняя же надлежащим образом эти аргументы, мы можем по произволу заставить энтропию увеличиваться или уменьшаться. Правда, некоторые авторы ) пытаются расширить определение энтропии, понимая ее как фазовую функцию, могущую, следовательно, при одних и тех же значениях термодинамических переменных принимать различные значения в зависимости от фазы при этом стремятся доказать, что так понимаемая энтропия (при неизменных значениях Е и А.,) должна с подавляющей вероятностью возрастать однако, не говоря уже о том, что такое доказательство до сих пор никому не удалось и вряд ли может удасться, совершенно не видно, какое значение могло бы иметь для термодинамики это ad ho придуманное расширение понятия энтропии. [c.93]

Основываясь на этих блестящих рез льтатах, можно поставить вопрос нельзя ли найти закон Карно Клаузиуса при помощи молекулярных теорий, понимая, конечно, последние в очень широком смысле, так как общности результата должна каким-либо образом соответствовать общность предпосылок Австрийскому физику Больцману принадлежит честь первого успешного подхода к этой задаче и установления связи между понятием вероятности, определенным образом понимаемой, и термодинамическими функциями, в частности энтропией. Рядом с ним нужно считать одним из основателей этой новой ветви теоретической физики — статистической термодинамики — Уилларда Гиббса. Далее следует упомянуть работы Пуанкаре, Планка и Эйнштейна. Общий результат, который можно считать окончательно установленным, это существование связи между энтропией некоторого состояния и вероятностью этого состояния. [c.18]

ЭНТРОПИЯ (от греч. entropfa—поворот, превращение)— понятие, впервые введённое в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. В статистической физике Э. служит мерой вероятности осуществления к.-л. макроскопич. состояния, в теории информации—ые-рой неопределённости к.-л, опыта (испытания), к-рый может иметь разл. исходы. Эти трактовки Э. имеют глубо кую внутр. связь. Напр., на основе представлений об информационной энтропии можно вывести все равновесные статистич. распределения (см. 1иббса распределения). [c.616]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...