Кристаллы гексагональные упругости

V 2. Определить закон дисперсии упругих волн в кристалле гексагональной системы. [c.133]

Трансверсально-изотропный материал в отношении упругих свойств идентичен (см. гл. 1) кристаллам гексагональной сингонии. Сопоставление же предпоследней матрицы в (1.13) с третьей, которая отвечает ортотропно-му материалу, показывает с учетом (1.12), что трансверсально-изотропный материал можно рассматривать как частный случай ортотропнОго при [c.51]

Определить зависимость частоты от волнового вектора для упругих волн, распространяющихся в кристалле гексагональной системы. [c.758]

Следует отметить, что деформация в плоскости х, у (деформация с отличными от нуля Ugx, Uyy, Uxy) определяется всего двумя упругими модулями, как и для изотропного тела другими словами, в плоскости, перпендикулярной к гексагональной оси, упругие свойства гексагонального кристалла изотропны. По этой причине выбор направлений осей в этой плоскости вообще несуществен и никак не отражается на виде F. Выражение (10,9) относится поэтому ко всем классам гексагональной системы. [c.55]

Решение, Гексагональный кристалл имеет пять независимых упругих модулей (см. задачу 1 10), для которых введем обозначения [c.133]

В таком виде тензор Спт характеризует упругость среды, не нме- ющей элементов симметрии. Наличие таковых уменьшает общее ко- личество отличных от нуля модулей упругости и количество независимых модулей. В табл. 1 приведены матрицы модулей упругости для различных кристаллографических систем. Как видно из этой таблицы, упругие свойства кристаллов, например гексагональной системы, характеризуются уже только пятью независимыми мод -.-лями упругости, для кристаллов же кубической симметрии число независимых модулей уменьшается до трех. При этом следует иметь (В виду, что приведенные таблицы констант упругости относятся вполне определенному положению осей координат относительно кристаллографических осей. В изотропном теле модули упругости, естественно, не могут зависеть от направления координатных осей,. что приводит к условиям [81 [c.21]

Как видно из табл. 1, упругие свойства гексагональных кристаллов характеризуются пятью независимыми модулями Сц = С22, ja = С23, < 3.3 И С44 = С55 при этом Гбб -= — i )i2. Для их определения необходимо и достаточно произвести пять [c.256]

В табл. 15 приведены данные измерений модулей упругости гексагональных кристаллов ультразвуковыми методами, а также скорости распространения продольных и сдвиговых волн в направлении [ООН (т. е. вдоль оси Z с). [c.256]

Связь между скоростями распространения ультразвуковых волн и модулями упругости гексагональных кристаллов в оптимальных направлениях относительно кристаллографических осей [c.257]

Модули упругости и скорости распространения ультразвуковых волн в гексагональных кристаллах [c.258]

При весьма малых деформациях (упругий сдвиг порядка 10- , т. е. порядка сотых долей процента) все монокристаллы обладают определенными упругими константами [14], но не двумя, как изотропные тела, а тремя и более (до 21 модуля и коэффициента упругости). Чем более симметрична структура кристалла, тем меньше его анизотропия и тем меньшее число упругих констант достаточно для характеристики его упругих свойств. Так, например, гексагональные кристаллы различных классов характеризуются 5—7 константами, в то время как кристаллы кубической системы характеризуются всего тремя константами. Шар, изготовленный из монокристалла и подвергаемый всестороннему гидростатическому давлению для всех решеток, кроме кубической, теряет свою шарообразную форму вследствие анизотропии упругих свойств. [c.101]

Для кристаллов кубической сингонии поверхности ряда указанных выше свойств можно представить в виде сферы для кристаллов тригональной, тетрагональной и гексагональной сингонии —в виде эллипсоида вращения для кристаллов ромбической, моноклинной и триклинной сингоний — в виде трехосного эллипсоида. Во многих случаях для характеристики анизотропии свойств достаточно двухмерного изображения, тогда показывают зависимость определенных свойств от направления в пределах одной грани кристалла. На рис. 1.14 показано двухмерное изображение твердости, упругости и теплопроводности на определенных гранях кристалла. [c.31]

Рассмотрим еще гексагональную систему анизотропного тела (кристалла). В этой системе потребуем, чтобы упругие свойства тела были неизменными при следующем преобразовании координат [c.99]

Доказано, что существует всего 32 вида геометрической симметрии кристаллов, объединенных в семь сингоний, носящих названия 1) триклинная, 2) моноклинная, 3) ромбическая, 4) тетрагональная, 5) тригональная, 6) гексагональная и 7) кубическая. Всякий натуральный кристалл обладает одним из 32-х видов симметрии и может быть отнесен к одной из семи сингоний [33]. Что касается классов упругой симметрии, то их значительно меньше, так как одна и та же форма уравнений обобщенного закона Гука имеет место для нескольких видов геометрической симметрии. По упругим свойствам все кристаллы могут быть разбиты только на девять классов или групп. Выражения упругого потенциала (а следовательно, и уравнений обобщенного закона Гука) для этих девяти классов можно найти, например, в курсе А. Лява [24] (гл. 6, п. 109) и в ряде работ, упоминающихся ниже, а поэтому мы, не занимаясь специально упругостью кристаллов, можем их не приводить. Отметим только, что упругие постоянные кристаллических веществ — монокристаллов, минералов и горных пород, определялись экспериментальным путем многими исследователями. В первую очередь нужно назвать классические исследования Фойгта, изложенные в его курсе кристаллофизики [38]. Приводим найденные Фойгтом значения упругих постоянных кварца (горного хрусталя), образующего кристаллы тригональной сингонии (12 неравных нулю постоянных aij (ось z направлена по оси симметрии третьего порядка, ось х — по оси второго порядка) [c.56]

Коснемся теперь некоторых особых направлений распространения упругих волн. Для плоскости (100) кубических кристаллов (рис. 9.3) такими направлениями являются [010] и [100], для которых скорости поперечных волн равны. По аналогии с кристаллооптикой такие направления называются акустическими осями. Вдоль них, так же как и в изотропном твердом теле, возможно распространение поперечных волн с произвольной поляризацией. Акустическими осями являются, например, оси третьего, четвертого (в том числе и уже упомянутые направления [010] и [100]) и шестого порядка в кубических кристаллах, оси Z (или С) ) в тетрагональных, гексагональных и тритона льных кристаллах. Кроме того, ими могут быть и несимметричные направления, если соответствующая комбинация упругих модулей такова, что обеспечивается равенство скоростей двух квази-поперечных волн. В процессе проведения акустических экспериментов обычно стараются направлять волны вдоль направлений высокой симметрии, которыми, в частности, могут быть и акустические оси. Это связано с тем, что структуры волн в таких случаях оказываются наиболее простыми. При некоторой разориентации вектора волновой нормали относительно симметричного направления в полной мере начинают проявляться особенности, характерные для анизотропных кристаллов. Например, в случае малых отклонений волнового вектора относительно [c.218]

Поясним метод определения модулой упругости на примере кристалла, принадлежащего к ромбической системе, для которого модули Си, i2, i3, С22, С23, С33, С44, С55 и Сбб конечны. Полагая далее, что некоторые из этих модулей одинаковы, получаем результаты, соответствующие системам с более высокой симметрией — тетрагональной, гексагональной и кубической. [c.389]

С помощью термодинамической функции Гиббса, выраженной через механические напряжения и электрическую поляризацию, было показано [52], что упругие, диэлектрические и пьезоэлектрические постоянные пьезокерамики имеют те же составляющие, какими обладают гексагональные кристаллы класса Gwг/ С ), т. е. три пьезоэлектрических модуля зз, и 15, две диэлектрические проницаемости ец и 633 и четыре упругие постоянные [c.448]

Следует отметить, что деформация в плоскости х, у (деформация с отличными от нуля Uyy, и у) определяется всего двумя упругими модулями, как и для изотропного тела другими словами, в плоскости, перпендикулярной к гексагональной оси, упругие свойства гексагонального кристалла изотропны. [c.682]

Из соотношений (17.4), (17.6) и матрицы гексагональной син-гонии усматривается, что в последней уцелели лишь модули, инвариантные относительно произвольного поворота вокруг 3-й оси. Поэтому текстура с осью поворота бесконечного порядка (оо) в отношении упругих свойств ведет себя как кристаллы гексагональной сингонии. [c.294]

Берилл является кристаллом гексагональной системы, принадлежащим к классу, характеризуемому группой Dg, для которого упругие постоянные имеют в йичины [c.175]

УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ КРИСТАЛЛОВ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ и ТРИГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМ (в ЮН дин1см ) [c.380]

Выразить упругую энергию гексагонального кристалла с помощью упругих модулей в коЬрдинатах х, у, г (ось х— по оси шестого порядка). [c.58]

Простейшим типом кристаллической решетки является кубическая решетка. Встречаются также решетки в виде объемно-центрированного куба, гранецентрированного куба, гексагональная плотно-упакованиая решетка и другие. Кристаллические решетки для большинства элементов приведены на рис. 2-1 по данным [Л. 34]. Металлические элементы находятся левее черной ж ирной линии. Теория идеальных кристаллов позволяет объяснить многие струк-турно-нечувствительные объемные свойства кристаллической решетки плотность, диэлектрическую проницаемость, удельную теплоемкость, упругие свойства. Большинство кристаллов металлов (кроме марганца и ртути) имеют кубическую объемио-центрироваиную и гексагональную плотноупакованную решетки. Важным параметром решетки является длина ребра куба. Так, у хрома она равна ° [c.31]

В заключение этого параграфа остановимся на акспе-риментальных работах по исследованию упругих нелинейных свойств кристаллов сульфида кадмия. Эти кристаллы имеют гексагональную структуру, обладают фотополупро-водниковыми и помимо этого пьезоэлектрическими свойствами. С тех пор как было установлено, что этот набор свойств позволяет получить прямое усиление ультразвуковых и даже гиперзвуко-вых волн дрейфом носите-дей тока, сульфид кадмия привлек внимание многочисленных исследователей. В связи с возможностью усиления, вопрос о нелинейности сульфида кадмия представляет интерес еще ч потому, что нелинейные зффекты ограничивают усиление. В материале с таким сложным комплексом свойств возможны различного рода нелинейные эффекты. Мы остановимся на тех эффектах, которые непосредственно наблюдаются на акустической стороне . [c.346]

В ряде случаев в процессе отпуска карбиды железа выделяются внутри кристаллов мартенсита в виде тонких (толш,иной в несколько атомных слоев) пластин. Эти карбиды с гексагональной решеткой когерентно связаны с решеткой мартенсита. Вследствие того, что удельный объем карбида железа и мартенсита разный, между ними возникают напряжения II рода, вызывающие упругое искажение кристаллических решеток обеих фаз. При дальнейшем повышении температуры происходит обособление их решеток, что сопровождается уменьшением искажений кристаллической решетки мартенсита. [c.157]

Анизотропные тела (кристаллы) в зависимости от их структуры подразделяются на семь систем триклинную, моноклинную, - ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую, причем они перечислены выше в порядке возрастания степени совершенства симметрии. Элементами симметрии кристаллов являются плоскости симметрии, оси симметрии ге-го порядка, зеркально-поворотные оси симметрии -го порядка, центры симметрии и центры инверсии. Если кристалл имеет плоскость симметрии, то любые два направления в кем, симметричные относительно данной плоскости, будут экв 1валентны в отношении упругих свойств, в соответствии с чем формулы (19.2) должны быть идентичными для двух координатных систем, являющихся зеркальным отражением одна другой в этой плоскости. [c.223]

Наи необходимо также еще выяснить, как будут определяться скорости упругих волн, распространяющихся в любых направлениях, а не только-тех частных, которые были рассмотрены в разделе 1. Этот вопрос решается так же как для гексагонального кристалла и рассмотрен у Беренса [111]. Пусть направление нормали к фронту волны лежит в плоскости xz и составляет угол ф с осью Z. Тогда в случае = О мы имеем чисто сдвиговую- [c.62]

Приводимая ниже формула впервые была получена Кельвином в 1846 г. Этот результат воспроизводится во многих руководстве по теории упругости (см., например, [ ], рр. 183-185 [ ], рр. 484-485 [ ],с. 175).В 1900 г. Фредгольмом (I. Ггес1Ьо1т) был предложен метод, который в принципе позволяет найти перемещения, индуцированные сосредоточенной силой в упругой среде, обладающей любым типом симметрии. Однако с помощью этого метода удалось получить лишь два новых аналитических решения (Кренером в 1953 г. для гексагонального кристалла и Эшелби также в 1953 г. для кубического кристалла (двумерный случай)). [c.45]

Как выше отмечено (п. 1.3), анизотропные среды описываются триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной, тригональной, гексагональной и кубической системами упругой симметрии. При расчете констант упругости минералов, как правило, для определения числа и направленности их элементов упругой симметрии используются оптические, рентгено-структурные методы, нейтронного просвечивания [6,105]. Расчет констант выполняется путем использования величин скорости распространения упругих колебаний в определенных направлениях кристалла 18]. В некоторых случаях для расчета использовали показатели деформируемости кристалла [6]. Как было показано в разделе 1.1, горные породы представляют собой поликристаллические, а чаще всего полиминеральные образования, упругие свойства которых являются результатом взаимодействия фактически неопределимого числа зерен. Система упругой симметрии поликристаллических образований всегда выше, чем минералов, ее слагающих [ 105, 106]. Если, например, горная порода состоит из минеральных зерен триклинной, моноклинной сингоний, ориентировка осей которых в среднем детерминирована и определяет наличие упругой анизотропии, однако имеет и долю статистического разброса, система симмеарии такой породы будет выше сингоний минералов. Поэтому в подавляющей массе случаев горные породы будут характеризоваться типами симметрии не ниже средних сингоний ромбической, тетрагональной, гексагональной, кубической и изотропной. Это подтверждается известными экспериментальными данными [35, 107-112], а также результатами косвенной оценки, полученными с помощью микроструктурного анализа [113, 114]. [c.94]

Если число сфер в модели велико, то благодаря их гексагональной упаковке всю модель можно рассматривать как соответствующий кристалл с осью симметрии, совпадающей с осью 2, для которого справедлива следующая матрица упругих констант Сц, входящих в формулу (1,52) для открытой системы [Гасман Ф., 1951 г.] [c.22]

Диэлектрич., магн., упругие и др. св-ва кристаллов удобно представлять в виде т. н. указательных поверхностей. Описывающий такую поверхность радиус-вектор характеризует величину той или иной кристаллофиз. константы для данного направления (см. Индикатриса в оптике). Симметрия любого св-ва кристалла не может быть ниже симметрии его внеш. фор-мы (п р и н ц и п Неймана). Иными словами, группа симметрии Сх, описывающая любое физ. св-во кристалла, неизбежно включает элементы симметрии его точечной группы С, т. е. является её надгруппой СхЗэС. Так, кристаллы, обладающие центром симметрии, не могут обладать полярными св-вами, т. е. такими, к-рые изменяются при изменении направления на обратное, напр, пироэлектрическими (см. Пироэлектрики). Наличие элементов симметрии определяет ориентацию гл. осей указательной поверхности и число компонент тензоров, описывающих то или иное физ. св-во. Так, в кристаллах кубич. сингонии все физические св-ва, описываемые тензорами второго ранга, не зависят от направления. Такие кристаллы изотропны относительно этих св-в (указательная поверхность — сфера). Те же св-ва в кристаллах ср. сингоний (тетрагональной, тригональной и гексагональной) характеризуются симметрией эллипсоида вращения, т. е. тензор [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...